“数”统江山，“形”走天下
——向量中的最值问题的考查类型与求解策略

向量是近代数学中最基本、最重要的概念之一，它具有丰富的实际背景和广泛的应用功能，是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一。高中数学课程引入向量，极大地丰富了高中数学的内涵，也拓宽了高中数学解题的思维空间。也是高考试题的重要载体。近年高考向量小题又呈现出综合性强、立意新、难度大、解法多等特点，进而成为较难小题的热点素材，在高三复习中，很有必要对此问题进行深入研究，从而揭示问题本质与解题方法。本文就根据自己的课堂教学实践来阐述一下向量中的最值问题的考查类型与求解策略。

一、整体运算转化法，坐标运算是通法

例题1：正三角形 ABC 的边长为1，点 P 是 AB 边上的动点，点 Q 是 AC 边上的动点，且 ， ， 则 的最大值为___。

【解析一】如图1

＝ ·（ ＝ ·

＝ － ＋ · × ＝ －

所以当 λ ＝ 时， 的最大值为

【评注】此种解法是函数思想的一种表现，是高中数学解决最值问题的一种通法，同时也是向量数量积的一种整体运算，将所求数量积最值问题转化为已知模和夹角的向量的数量积最值问题。注意培养学生的转化意识，并体会平面向量基本定理在转化法中的应用。

【解析二】如图2

以 AB 为 x 轴， AB 边所在的高为 y 轴，建立平面直角坐标系

由 AB ＝ 1则 设 由 ＝

P （ － λ ，0）设 Q （ m ， n ），由 ＝（1 － λ ） 得

m ＝ ， n ＝（1 － λ ） 所以

所以 ＝ ，

＝ ＝ － ，故 时，

【评注】合理建立直角坐标系，将数量积的最值问题转化为代数的最值问题。在一般形式给出的向量问题中，通过建立平面直角坐标系就可以把一般形式的向量用向量坐标表示出来，实现向量之间运算的完全数量化，就可以用代数方法去解决向量问题，要牢固树立建立坐标系来解决向量问题的意识。

二、坐标运算力无限，几何投影更直观

例题2：如图3在正方形 ABCD 中，已知 AB ＝ 2， M 为 BC 的中点，若 N 为正方形内（含边界）任意一点，则 · 的最大值是___。

【解析一】以 A 为原点，建立平面直角坐标系，如图4，则 M （2，1），设 N （ x ， y ）易知 ，又

由线性规划知识可知 x ＝ y ＝ 2时，2 x ＋ y 取到最大值6

所以 ＝ 6

【评注】建立直角坐标系，将数量积的最值问题转化为代数最值问题，向量的坐标运算是几何问题向代数问题转化的一条道路。真可谓：“因为有运算，向量力无限。”要有意突出坐标运算在解决向量问题中的重要性。

【解析二】如图5

因为 ，即

所以 MG ＝ ，故

所以 ＝ ＝

【评注】具有运动变化思想，能从投影、轨迹角度找到问题的几何背景，注意提炼坐标法与几何法具备的情境条件。

三、性质放缩神来笔，运动轨迹思路宽

例题3：（2013年高考湖南）已知 是单位向量， ＝ 0.若向量 满足 ＝ 1，求 的取值范围。

【解析一】由 ＝ ＝ 1， ＝ 0可得

＝ ＋ ＋ · ＝ 2，所以

由 － ＝ 1

得 － · ＋ ＝ 1

即 ＋ 1 ＝ 2 · ·

所以

【评注】联想数量积的性质 ≤ 求数量积的最值，当使用坐标法产生困惑，我们还可以运用整体运算、整体放缩、数形结合等方式尝试求解。

【解析二】如图6，以 所在直线为 x ， y 轴建立直角坐标系

设 ＝（1，0）， ＝（0，1）， ＝（ x ， y ）

由 ｜＝ 1得

（ x －1） ² ＋（ y －1） ² ＝ 1可知圆心（1，1）与（0，2）之间的距离为2

所以 ＝ ＋ 1］

【评注】由向量垂直引导我们建立直角坐标系，进而产生代数方程，由方程再联想到曲线，从而找到问题的几何背景。这种代数与几何的相互转化，有助于学习者综合能力的提高。目标求 的范围，而 ＝ 我们可能有怎样的方向？当然可以从三角换元、参数方程、距离、截距等方面进行求解。

四、通法亦有无奈时，几何背景巧突破

例题4：（2016年浙江高考）已知向量 ＝ 1，｜ ＝ 2，若对任意单位向量 ，均有 ＋ 则 的最大值是___。

【解析】如图7， ＋ ≤ 当且仅当 与 共线时取等号依据题意 ，即 ·

又

所以1 ＋ 2 ＋ 4≤6

即 ≤ ，所以

【评注】题目很难进行坐标化，通法产生困惑！从而进一步回归到对几何背景的挖掘与研究上。 的几何意义是 在 上的投影之和是本题的关键。向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究与向量有关的问题时，一定要结合图形进行分析、判断和求解，这是研究想问题的重要方法和技巧。

综上，平面向量中的最值问题的处理，既要掌握通法——运用向量的运算来解决问题，又要善于根据题目的不同情境转化为图形中的相应位置关系。深刻感受向量的二重性，根据题目的不同情境，采取不同的方法，几何法与代数法多角度比较分析，才能使学习者真正体会到向量在解决问题中的工具作用，以及它的巨大魅力。

潘荣杰/文