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样例学习（worked-example learning）是学生在已有知识经验的基础上，通过阅读和思考样例，领悟新的知识、概念或规则，并掌握其应用的过程（Bourne，Goldstein，＆ Link，1964）。
在有关“专家”和“新手”问题解决能力的差异研究中发现，专家和新手在解决下棋、几何、代数、物理等问题上存在明显的差异（Chase＆ Simon，1973；Sweller ＆ Cooper，1985）。产生差异的主要原因是专家比新手拥有相关领域的知识结构或图式。因此他们更关注问题的结构特征，进而加快了对问题的理解（Carroll，Galegher，＆ Wiener，1982）。由于单纯的问题解决练习的形式本身不利于初学者问题解决图式的习得，所以，研究者们开始关注如何通过问题解决的样例学习来提高新手的问题解决能力，进而促进了关于问题解决样例学习的研究（Anderson ＆ Fincham，1994；Renkl，Atkinson，Maier，＆ Staley，2002）。对于学生尤其是新手来说，与传统的问题解决方式相比，样例学习的效果更好、效率更高，即学生投入较少的时间和心理资源就能获得较好的学习效果（Bokosmaty，Sweller，＆ Kalyuga，2015）。
在问题解决样例的学习中，学生能否正确理解和掌握其中的原理或规则，制约着样例学习的效果（Wynder ＆ Luckett，1999）。因此，在样例设计中，如何引导学生根据具体的问题情境，掌握并运用具体的解题规则是非常重要的（Renkl，Hilbert，＆ Schworm，2009）。
上述研究表明，问题解决的样例学习可以提高学生问题解决的能力，尤其可以帮助新手尽快掌握问题解决的图式及其运用。除此之外，经过样例学习还可以使学生领悟样例中隐含的新规则并学会新规则的应用。Anderson和Fincham（1994）的实验表明，被试在学习包含产生式规则的样例后，均能通过分析样例，发现并学会使用该规则。大量研究（Clarke，Ayres，＆ Sweller，2005；Richey ＆ Nokes-Malach，2013；Seufert，2003；许德志，张奇，2011；张奇，林洪新，2005；张奇，郭菲菲，2008；张奇，张华，2014）从数学、物理、化学等各个知识领域验证了学生在学习了包含某种新规则的样例后，能够发现并运用其中的新规则。Lee和Chen（2015）的研究中借助计算机程序设计了学生可以进行虚拟操纵的样例，证实了这种样例学习能帮助五年级小学生更好地理解等分数的概念和规则，并提高了学生的学习兴趣。总体来说，这些研究侧重于采用一些设计良好的样例，让被试利用已有的相关基础知识，从样例中发现新规则并学会新规则的运用。这就是规则样例学习的研究。
在数学运算规则样例学习的研究中，张奇和林洪新（2005）的研究发现，经过样例学习，二年级小学生能够领悟四则混合运算规则。张奇和郭菲菲（2008）的研究表明，三至五年级小学生可以不同程度地学会运用“去括号”运算规则。Adams等人（2014）的研究也发现，通过辨别、改正错误等样例的学习，能使学生更加深入地理解小数的概念，并领悟小数的大小和递加运算规则。
可是，在小学生代数运算规则样例学习的研究中却遇到了问题（林洪新，张奇，2007）。该研究采用“完整”或“不完整”的样例设计以及在不完整样例的学习中给予反馈或无反馈的学习程序，考察了六年级小学生学习“平方差”与“完全平方和”的代数运算规则的效果。实验结果显示，多数被试难以学会“平方差”运算规则，只有少数被试学会了“完全平方和”运算规则。究其原因，一方面可能是不完整样例的设计方法增加了学生理解和领悟代数运算规则的难度，妨碍了学习；另一方面可能是小学生不理解代数运算样例中代数运算符号的含义，或不熟悉在代数运算中加、减同类项等代数运算策略的意义。因此，我们就如何设计样例以帮助学生领悟新算符和新的运算规则的含义进行了探索。
张奇等人经过对数学运算规则之间逻辑关系的考察后发现，新的或学生未知的数学运算符号或运算规则都可以用学生已知的运算符号或规则来表示，并提出了在数学运算样例中设计新算符或新运算规则的“解释法”。所谓的“解释法”就是将新的运算规则或新算符用学生已知的运算规则或算符来加以解释（张奇，蔡晨，2015）。例如，“a 2 ”可以用“a 2 =a×a”来表示，“ab”可以用“ab=a×b”来表示，以帮助学生理解“a 2 ”“ab”的运算含义。随后，又提出了新算符和新规则样例设计的“标记法”和“转换标记法”（张华，曲可佳，张奇，2013）。所谓的“标记法”就是将新算符和新规则的数学解释内容加上醒目的颜色或标记，以增强学生对解释内容的注意和理解。“转换标记法”就是用连线标记出转换运算样例中运算步骤之间或变量之间的对应关系。该研究分别采用“转换标记法”和“解释法”设计了“指—对数转换”运算和对数运算的样例，并通过实验验证了“解释法”和“转换标记法”样例均能帮助学生理解新算符和新规则的含义，与普通样例相比，明显提高了样例学习的效果。接着，张奇、郑伟和万莹（2014）的研究又证明了“解释法”和“解释—标记法”样例设计对小学生学习分数运算规则和比例运算规则的促进作用。其中的“解释—标记法”是“解释法”和“标记法”的结合。
尽管张奇等人在实验中（张华等，2013；张奇等，2014）证明了“解释法”“转换标记法”“解释—标记法”的有效性，即这些方法的样例设计对被试领悟新算符和新规则的促进作用。但是，这些实验中所采用的运算样例都是算术运算样例，而不是代数运算样例。例如，在“指—对数转换”运算样例和对数运算样例中只是出现了对数符号“log”，在分数运算和比例运算中也都是算术运算样例。而采用“解释法”和“解释—标记法”设计代数运算的样例是否能够起到同样的促进作用，还没有得到实验的验证。具体来说，采用这些方法设计代数运算的样例究竟能否促进小学生学会“完全平方和”和“平方差”代数运算规则，还有待实验的证实。因为，代数运算与算术运算有以下主要的不同：①算术运算是数值运算，可以算出数值结果；而代数运算是符号运算，只能得出代数式。②算术运算与代数运算的运算符号不尽相同，算术运算中的“2乘以3”写作“2×3”，而代数运算中的“a乘以b”写作“ab”。③代数乘法运算必须遵循“交换律”和“分配律”，例如，“ab=ba”“ab+ba=2ab”以及“（a+b） 2 =a（a+b）+b（a+b）=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2 ”。而算术运算却不必如此烦琐，例如，“（2+3） 2 =5 2 =25”和“（3+2）×（3-2）=5×1=5”。④代数和算术的运算策略不同，例如，要想证明“a 2 -b 2 =（a+b）（a-b）”，必须在“a 2 -b 2 ”算式中加入“+ab”和“-ab”两项，即“a 2 -b 2 = 2 a+ab-b 2 -ab=a（a+b）-b（a+b）=（a+b）（a-b）”，才能证明“a 2 -b 2 =（a+b）（a-b）”成立。而在算术运算中则是用“3 2 -2 2 =9-4=5”和“（3+2）×（3-2）=5×1=5”，直接就可以证明。所以，为了证明上述的样例设计方法在数学运算样例学习中有促进作用，必须证明它们既在算术运算样例学习中有促进作用，又在代数运算样例学习中有促进作用。这样做的目的就在于证明上述样例设计方法是在数学运算样例设计中普遍适用的方法和有普遍促进作用的样例设计方法。
因此，分别采用“解释法”和“解释—标记法”设计“完全平方和”和“平方差”的代数运算样例，仍然以六年级小学生为被试，并与普通样例比较，考察其样例学习的效果。实验1采用“解释法”设计了这两种代数运算规则的样例，并考察其学习效果是否优于普通样例的学习效果。实验2采用“解释法”和“解释—标记法”设计两种代数运算的样例，并考察“解释—标记法”样例的学习效果是否比“解释法”样例更好。值得注意的是，以往的研究中“标记”的运用往往只涉及一个或几个运算步骤，这样的标记比较简洁清晰，能起到明显的提醒注意和促进思考的作用。而该研究中所采用的“解释—标记法”对每步运算与下一步运算的转换对应关系均进行了标记。所以，标记较多，可能会增加被试的外在认知负荷，降低学习效果。有研究表明样例呈现方式也会影响样例学习效果，诸如逐步渐减呈现不完整样例（Renkl ＆ Athinson，2003）、相继呈现双内容样例（Clark，Ayres，＆ Sweller，2005）、分段呈现动态样例（Spanjers，Wouters，Van Gog，＆ Van Merriënboer，2011）等方式均能降低学习过程中的认知负荷，提高学习效果。所以，实验3将分步呈现“解释—标记”样例的学习效果与整体呈现样例的学习效果进行比较。所谓“分步呈现”是每次只呈现样例的一个运算步骤及其转换标记，待被试学习理解后再呈现下一个运算步骤，直至学习完整个样例。这样可能会降低学生样例学习的认知负荷，并提高学习效果。而整体呈现就是一次性呈现运算样例的所有运算步骤、运算标记和运算结果。实验假设是分步呈现的学习效果可能优于整体呈现的学习效果。