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1. “转换标记”样例及其数量对样例学习效果的影响
在高中数学教材中，指数与对数转换规则的运算例题都没有运用转换标记，指—对数转换运算一般是经过教师的课堂讲解传授给学生的。本研究考察了有转换标记与无转换标记样例的学习迁移效果，结果发现，有转换标记样例的学习迁移效果显著优于无转换标记样例的学习效果。该实验结果进一步表明，不仅在问题解决样例和运算样例中加入“子目标编码”可以明显提高问题解决和运算规则的学习迁移效果（Catrambone，1996；邢强，莫雷，2002；张奇，林洪新，2005），而且在转换运算样例中加入“转换标记”也能有效促进指—对数转换运算规则的学习，并提高学习迁移成绩。其原因是，在运算样例中一般都包括多步运算，利用子目标编码标记运算步骤既可以注明运算步骤的先后顺序，也可以引起被试对每步运算的前因和结果之间逻辑关系的注意。明显的运算标记可以帮助学生清楚地注意到每步运算的结果，进而通过对每步运算前后因果关系的推理，理解该步运算的运算规则，有助于对运算规则的理解和运用。在转换运算样例中加入转换标记可以使初学转换运算的学生更清楚地注意到转换运算前后的对应关系，有利于初学者理解转换运算的逻辑关系，从而提高对转换规则的理解，并提高学习效率和效果。
该研究结果对数学课堂教学和教材编写有一定启示意义。在一些有转换运算的数学教学中，教师应该采用转换标记法帮助初学者明确转换前后的对应关系，使学生更容易地理解转换运算的规则和意义。同理，在教材设计上可以采用转换标记来帮助学生理解转换关系，提高自主学习的效率和效果。
关于样例的数量对样例学习效果的影响往往受规则的复杂程度和规则变式的数量等多种因素的制约。在以前的有关研究结果中，运算样例的学习效果受样例数量的影响，即学习较简单的运算规则需要的样例数量较少；而学习比较复杂的样例需要的样例数量较多（张奇，林洪新，2005）。本研究的结果表明，学习3个指—对数转换样例与学习6个样例的迁移效果没有显著差异。这是因为样例的数量对样例学习效果的影响受指—对数转换规则变式数量的制约。在3个指—对数转运算样例中，每个样例是一种转换类型（即一种转换变式）；在6个样例中每个转换类型各有两个转换样例，但两者的转换类型数量没有变化。被试不论是学习3个样例还是6个样例都是学习3种类型的指—对数转换。如果被试只通过一个样例的学习就可以掌握一种类型的转换，那么与学习两个样例的学习效果就不会有明显的差异。
2. “解释法”样例和基础知识对对数运算规则样例学习效果的影响
以前的研究表明，小学生通过运算样例的学习，很难学会“平方差”等代数运算规则（林洪新，张奇，2007）。经分析认为，可能是学生不理解乘方运算的新算符。为此，开发出有助于学生学习新算符的样例设计方法：转换标记法和解释法。实验一的结果验证了转换标记法的样例设计可以有效促进对数运算符号涵义的学习；实验二的结果则验证了解释法的有效性。在运算样例中采用解释法设计新算符，可以利用学生已知的运算规则理解新算符的含义。例如：学习过加法运算的小学生可以通过采用解释法设计的运算样例（2×3=2+2+2；3×2=3+3）学习乘法运算符号的含义，并学会乘法运算规则。同理，学习过乘法运算的学生也可以通过采用解释法设计的运算样例（a 2 =a×a；b 2 =b×b）学习乘方运算符号的含义，并学会乘方运算规则。这种方法可以推广到许多新算符的样例学习中，对数学课堂教学和教材编写有参考价值。
实验二还考察了相关基础知识对新运算规则样例学习的影响。实验结果表明，学习过指—对数转换运算的被试（即实验二中的一、二组被试）明显比没有相关基础知识的三、四组被试在对数运算样例学习上迁移成绩好。该结果表明，基础知识的学习和掌握是学习新知识的基础。尤其在数学知识的学习中，没有相关的基础知识，学习新知识就会遇到困难。在运算样例的学习中，被试没有相关的基础知识就很难理解新算符的含义，解释法也就失去了作用。Rittle-Johnson，Durkin和Star（2009）对美国城市中学生代数运算知识水平与教学方法之间的相互作用效果进行研究，结果发现，代数运算知识水平较高的学生更多地从样例对比的方法中获益。由此可见，在已有知识的基础上学习新知识是知识学习的一般规律，在样例学习中更是如此。
3. 含有新算符的代数运算样例的设计原则
在代数运算样例中如何设计新算符以及含有新算符的运算样例，可以开发出多种设计方法，例如，在问题提出部分提到的和在实验研究中用过的方法。然而，究竟用什么方法设计运算样例中的新算符和含有新算符的运算样例，要根据新算符的性质和学生的数学基础知识来确定。某种设计方法可能只适用于某类新算符的样例设计，而不适用另一类新算符的设计。目前，我们正在根据不同的新算符和被试的数学基础知识寻找、尝试一些新的设计方法，并验证其是否有效。
不论用什么方法设计代数运算样例中的新算符和含有新算符的运算样例，其基本原理（或基本原则）是相同的，即利用新旧算符之间的数学逻辑关系和学生已有的数学基础知识，将新算符及其所代表的运算规则用学生已知的旧算符的运算或有助于学生理解新运算规则的标记来“解释”或“说明”，这样就有利于学生对新算符和新运算规则的理解或同化，从而提高运算样例的学习效果。当然，如何运用这个基本原理还要注意到学生对新算符及运算规则的理解能力和知识基础。运用转换标记法和解释法设计的样例既可适当降低样例学习的难度，又不会使学生失去在样例学习中自主领悟新算符的含义以及发现、概括和运用新规则的机会。相反，如果对含有新算符和新规则的运算样例不加任何“解释”或“标记”的设计，那么，学生在理解新算符或新规则上就会有一定的困难，从而影响样例学习的效果。如果要让学生从中理解新算符和新规则的含义，除非学生有足够聪明的理解能力（这样做只适用于个别理解能力强的学生）；要么就要增加学习样例的数量（实验表明，增加样例的数量可以增加样例之间对比的机会，从而有助于领悟规则）。