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1. 代数运算规则样例学习的通过率分析
将完整样例组、无反馈不完整样例4个组和有反馈不完整样例4个组被试学会两种代数运算规则的人数及通过率列于表3-1。
表3-1 学会两种代数运算规则的人数及通过率（％）
注： n 为小组被试人数。
为考察学习“平方差”和“完全平方和”两种代数运算规则的效果，对学习两种代数运算规则的平均通过率进行 χ 2 检验。检验结果显示，在近迁移测验上，全体被试学习“平方差”运算规则的未通过率达到显著水平， χ 2 =67.222， df =1， p ＜0.001；全体被试学习“完全平方和”代数运算规则的通过率不显著， χ 2 =1.422， P ＞0.05，有反馈删除首步组和有反馈删除中间步组学习“完全平方和”代数运算规则的通过率显著， χ 2 =9.800， df =1， p ＜0.01， χ 2 =7.200， p ＜0.01。在远迁移测验上，学习“平方差”代数运算规则的未通过率达到显著水平， χ 2 =160.556， df =1， p ＜0.001；学习“完全平方和”代数运算规则的未通过率达到显著水平， χ 2 =160.556， p ＜0.001。这表明大多数六年级小学生难以通过样例学会“平方差”和“完全平方和”代数运算规则，只有部分六年级小学生可以通过样例学会“完全平方和”代数运算规则。
在近迁移测验成绩上，全体被试学习“平方差”的平均通过率与学习“完全平方和”的平均通过率差异显著（ Z =5.830， p ＜0.001）。在远迁移测验成绩上，全体被试学习“平方差”的平均通过率与学习“完全平方和”的平均通过率差异不显著（ Z =0.000， p ＞0.05）。
在近迁移测验成绩上，除了完整样例组、无反馈删除首步组、无反馈删除首尾步组学习“平方差”的通过率分别低于学习“完全平方和”的通过率，差异不显著（ Z =0.905， p ＞0.05； Z =1.342， p ＞0.05； Z =1.342， p ＞0.05）之外；其他各组学习“平方差”的通过率分别低于学习“完全平方和”的通过率，差异显著（ Z =2.236， p ＜0.05； Z =2.000， p ＜0.05； Z =2.828， p ＜0.01； Z =2.121， p ＜0.05； Z =2.333， p ＜0.05； Z =2.530， p ＜0.05）。
在远迁移测验成绩上，所有各组学习“平方差”的通过率与学习“完全平方和”的通过率差异均不显著。
2. 有或无作业反馈对用不完整样例学习两种代数运算规则效果的差异分析将有或无作业反馈条件下被试用不完整样例学会两种代数运算规则的通过率进行非参数独立样本的Mann-Whitney差异检验，检验结果见表3-2。
表3-2 在4种不完整样例下学会两种规则通过率的反馈差异检验
注：*表示 p ＜0.05；**表示 p ＜0.01；***表示 p ＜0.001。
表3-2的非参数差异检验结果显示，在“平方差”代数运算规则的近迁移测验题学习成绩上，有反馈条件下的被试经过删除首步和删除中间步样例学习的通过率与无反馈条件下的通过率差异显著（ Z =2.448， p ＜0.05； Z =3.147， p ＜0.01）；有反馈条件下的被试经过删除首中步和删除首尾步样例学习的通过率与无反馈条件下的通过率差异不显著（ Z =1.778， p ＞0.05； Z =0.539， p ＞0.05）。在“完全平方和”代数运算规则的近迁移测验题学习成绩上，有反馈条件下的被试经过删除首步和删除中间步样例学习的通过率与无反馈条件下的通过率差异显著（ Z =3.776， p ＜0.001； Z =3.138， p ＜0.01）；有反馈条件下的被试经过删除首中步和删除首尾步样例学习的通过率与无反馈条件下的通过率差异不显著（ Z =1.964， p ＞0.05； Z =1.964， p ＞0.05）。在“平方差”代数运算规则的远迁移测验成绩上，有反馈条件下的被试用删除首步、删除中间步、删除首中步和删除首尾步样例学习的通过率与无作业反馈条件下的通过率无差异；在“完全平方和”代数运算规则的远迁移测验题成绩上，有作业反馈条件下的被试用删除首步、删除中间步、删除首中步和删除首尾步样例学习的通过率与无作业反馈条件下的通过率差异不显著（ Z =1.000， p ＞0.05； Z =1.433， p ＞0.05； Z =1.000， p ＞0.05； Z =0.000， p ＞0.05）。分析结果表明，在近迁移测验上，反馈对删除首步、删除中间步的“平方差”和“完全平方和”代数运算规则样例学习的促进作用明显，对删除首中步、删除首尾步的“平方差”和“完全平方和”代数运算规则样例学习的促进作用不明显；在远迁移测验上，反馈对不完整样例的“平方差”和“完全平方和”代数运算规则样例学习的促进作用都不明显。也就是说，在近迁移测验题上，反馈对删除运算步骤较少的样例学习促进作用明显，而对删除运算步骤较多的样例学习促进作用不明显；在远迁移测验上，反馈对代数运算规则学习的促进作用不明显。
3. 删除运算步骤对两种代数运算规则学习效果的差异分析
在有或无作业反馈条件下，用4种不完整样例学习两种代数运算规则的通过率及非参数检验结果见表3-3。
表3-3 在4种不完整样例下学习两种规则的通过率差异检验结果
表3-3的非参数差异检验结果显示，在有反馈条件下，用4种不完整样例学习“平方差”运算规则的通过率分别与学习“完全平方和”运算规则的通过率差异显著（ Z =2.828， p ＜0.01； Z =2.449， p ＜0.05； Z =2.646， p ＜0.01； Z =2.828， p ＜0.01）；在无作业反馈条件下，用删除首步和删除首尾步样例学习“平方差”运算规则的通过率与学习“完全平方和”运算规则的通过率差异不显著（ Z =1.732， p ＞0.05； Z =1.732， p ＞0.05），用删除中间步和删除首中步样例学习“平方差”运算规则的通过率与学习“完全平方和”运算规则的通过率差异显著（ Z =2.236， p ＜0.05； Z =2.000， p ＜0.05）。统计分析结果表明，删除运算步骤对不同难度代数运算规则样例学习效果的影响不同。在有作业反馈条件下，六年级小学生用不完整样例学习“平方差”代数运算规则的成绩显著低于“完全平方和”代数运算规则的成绩。在无作业反馈条件下，六年级小学生用删除首步和删除首尾步样例学习“平方差”运算规则的成绩低于学习“完全平方和”运算规则的成绩，用删除中间步和删除首中步样例学习“平方差”的成绩显著低于学习“完全平方和”的成绩。所以，一般来说，用删除了运算步骤的样例学习比较难的代数运算规则的效果较差，而用删除了运算步骤的样例学习比较简单的代数运算规则的效果较好。
4. 完整与各种不完整样例学习效果的差异分析
在完整样例和有反馈的各种不完整样例下学会两种代数运算规则的人数见图3-1。
图3-1 在完整样例和有反馈的各种不完整样例下学会两种代数运算规则的人数
为考察在完整样例（完整样例的学习不涉及反馈）和有反馈的各种不完整样例下学会两种代数运算规则的效果，分别对通过完整样例和4种不完整样例学会两种代数运算规则的人数作多个独立样本的非参数差异检验，检验结果显示：通过完整样例和4种不完整样例学会“平方差”代数运算规则的人数之间存在显著差异（ χ 2 =11.756， df =4， p ＜0.05）。进一步做两个独立样本的非参数差异检验，结果显示：用完整样例学会的人数分别与用4种不完整样例学会的人数差异不显著（ Z =0.637， p ＞0.05； Z =0.947， p ＞0.05； Z =1.442， p ＞0.05； Z =1.869， p ＞0.05）；用删除首步样例学会的人数与用删除中间步样例学会的人数差异不显著（ Z =1.000， p ＞0.05）；用删除首步样例学会的人数分别与用删除首中步和删除首尾步样例学会的人数差异显著（ Z =2.669， p ＜0.01； Z =3.067， p ＜0.01）；用删除中间步样例学会的人数分别与用删除首中步和删除首尾步样例学会的人数差异显著（ Z =3.199， p ＜0.001； Z =3.559， p ＜0.001）；用删除首中步样例学会的人数与用删除首尾步样例学会的人数差异不显著（ Z =0.253， p ＞0.05）。
用完整样例和4种不完整样例学会“完全平方和”代数运算规则的人数之间存在显著差异（ χ 2 =10.873， p ＜0.05）。进一步做两个独立样本的非参数差异检验，结果显示：用完整样例学会的人数分别与用删除首步和删除中间步样例学会的人数差异显著（ Z =2.333， p ＜0.05； Z =1.964， p ＞0.05）；用完整样例学会的人数与用删除首中步和删除首尾步样例学会的人数无差异；用删除首步样例学会的人数与用删除中间步样例学会的人数差异不显著（ Z =1.000， p ＞0.05）；用删除首步样例学会的人数分别与用删除首中步和删除首尾步样例学会的人数差异显著（ Z =2.925， p ＜0.01； Z =2.925， p ＜0.01）；用删除中间步样例学会的人数分别与用删除首中步和删除首尾步样例学会的人数差异显著（ Z =2.390， p ＜0.05； Z =2.390， p ＜0.05）；用删除首中步样例学会的人数与用删除首尾步样例学会的人数无差异。
在无反馈条件下，用完整样例和4种不完整样例学会两种代数运算规则的人数见图3-2。
为考察无反馈条件下完整样例和4种不完整样例的学习效果，分别对用完整样例和4种不完整样例学会两种代数运算规则的人数做多个独立样本的非参数差异检验，检验结果显示：分别用5种样例学会“平方差”代数运算规则的人数之间存在显著差异（ χ 2 =15.573， df =4， p ＞0.01）。进一步做两个独立样本的非参数差异检验，结果显示：用完整样例学会的人数与用删除首步样例学会的人数差异不显著（ Z =1.869， p ＞0.05）；用完整样例学会的人数分别与用其他3种不完整样例学会的人数差异显著（ Z =2.342， p ＜0.05； Z =2.867， p ＜0.01； Z =2.342， p ＜0.05）；用删除首步样例学会的人数分别与用其他3种不完整样例学会的人数差异不显著（ Z =0.593， p ＞0.05； Z =1.433， p ＞0.05； Z =0.593， p ＞0.05）；用删除中间步样例学会的人数与用删除首中步样例学会的人数差异不显著（ Z =1.000， p ＞0.05）；用删除中间步样例学会的人数与用删除首尾步样例学会的人数无差异；用删除首中步样例学会的人数与用删除首尾步样例学会的人数差异不显著（ Z =1.000， p ＞0.05）。用完整样例和4种不完整样例学会“完全平方和”运算规则的人数之间不存在显著差异（ χ 2 =5.962， df =4， p ＞0.05）。
图3-2 在无反馈条件下用不同的样例学会规则的人数
这表明，在有作业反馈条件下，用删除首步和删除中间步样例学习“平方差”和“完全平方和”代数运算规则的成绩高于用完整样例、删除首中步和删除首尾步样例学习的成绩；在无作业反馈条件下，用完整样例学习“平方差”和“完全平方和”代数运算规则的成绩高于用不完整样例学习的成绩。也就是说，在有反馈条件下，用删除一步运算步骤的样例学习两种代数运算规则的效果最好；其次为完整样例学习的效果，在有反馈条件下，用删除两步运算步骤的样例学习两种代数运算规则的效果最差；在无反馈条件下，用完整样例学习两种代数运算规则的效果均好于用不完整样例学习两种代数运算规则的效果。