第一节
普遍存在的数学悖论

1902 年，英国的数学家、逻辑学家和哲学家罗素（B.A.W.Russell，1872—1970）提出了一个集合论上的悖论，世称罗素悖论。这个悖论是这样陈述的：如果把集合分成这样两类，自己为自己元素者作为A类，自己不是自己元素者作为B类，那么，对于任意集合，其要么属于A类，要么属于B类，二者必居其一且仅居其一。现在问：B类集合的全体也是一个集合，那么它属于哪一类呢？如果说B属于A，那么按A的定义应该有B属于B，这导致矛盾，不可能；如果说B属于B，那么按B的定义，B应该有B属于A，这也矛盾。这里真正产生了一个无法消除的悖论。由于这个悖论完全是基于严密而清晰的数学概念提出的，因而其动摇了的是整个数学大厦的基础。

我们知道，集合论可以看作为全部数学的基础，集合论的目标就是要建立严格的集合论公理系统，从而为全部数学建立坚实的逻辑基础。由于从本质上讲，尽管有外延与内涵微妙的区别，一个集合总可以看作是与一个概念相对应的。因此，集合论的这种努力无疑就是要严格区分概念，从而为概念体系建立可靠一致的逻辑基础。而现在，罗素悖论的发现却宣告这种努力的无效性。由于每个数本身也是概念，因而当数学家们要证明建立在整数之上的算术公理系统一致性的时候，必然会遇到同样的窘境，那就是哥德尔定理。

其实，集合上的悖论远不止罗素悖论一个，具有灾难性的悖论还有康托尔悖论，是著名数学家康托尔在建立集合无穷基数理论时发现的，即所谓“所有集合之集合的基数与该集合之幂集的基数谁更大”？由于幂集的基数大于原集的基数，但另一方面，所有集合之集合的幂集也是一个集合，因此，其基数应该不大于所归属集合的基数，于是就产生了一个悖论。

悖论（paradox）一词是两个希腊词的复合，para意味着超越，dox意指相信。英国的巴罗在《不论——科学的极限与极限的科学》一书中对此有详细的论述。巴罗认为：“（悖论一词）它有许多不同的含义：如某些看起来是矛盾的，但实际上是不矛盾的（似非而是）；某些看起来是正确的，但实际上是不正确的（似是而非）；或由一个自明的出发点经严格的推理链导出矛盾（逻辑悖论）。” 当然，数学上的悖论主要是指“逻辑悖论”这第三种情况。

逻辑上的悖论往往是平庸的，如简单自指句悖论：这个句子不是真的；奎因自指句：“依附自身引号时得假”依附自身引号时得假；测试命题悖论：谁都不知道本命题是真的；断言悖论：毫无例外，世上一切事物的规律性都有例外。但它们却反映了我们思维方式的深刻性。正像哥德尔定理所揭示的那样，悖论已经在人类思维的许多方面发挥着极其重要的作用。这不仅在逻辑和数学上是如此，即使在科学发展中也是如此。

迄今为止，在科学中遭遇的悖论涉及了各个领域，美国系统哲学家拉兹洛在《微漪之塘》一书中列举的科学中的悖论包括：（1）物理世界的悖论，（2）生命世界的悖论，（3）人类心灵的悖论，（4）具体的谜团。

比如我们有相对论的“双生子佯谬”、量子理论中的“薛定谔猫佯谬”、“EPR佯谬”、量子场论中的“克莱因佯谬”、生命起源中“蛋白质与基因佯谬”、脑科学中的“他心知佯谬”和“意识觉知悖论”等等。这些悖论都说明了这样一个事实，那就是人类理性认知手段的局限性。

举例来说，量子理论中的“薛定谔猫佯谬”一般是这样描述的：“‘一只猫关在一钢盒内，盒中有下述极残忍的装置（必须保证此装置不受猫的直接干扰）：在盖革计数器中有一小块辐射物质，它非常小，或许在 1 小时内只有一个原子衰变。在相同的几率下或许没有一个原子衰变。如果发生衰变，计数管便放电并通过继电器释放一锤，击碎一个小的氢氰酸瓶。如果人们使这整个系统自在 1 个小时，那么人们会说，如果在此期间没有原子衰变，这猫就是活的。第一次原子衰变必定会毒杀了猫’。我们自己心里十分清楚，那只猫是非死即活，两者必居其一。可是，按照量子力学规则，盒内整个系统处于两种态的迭加之中，一态中有活猫，另一态中有死猫。但是，一个又活又死的猫，是什么意思呢？据推测，猫自己知道它是活还是死。然而，按照冯·诺伊曼的回归推理，我们不得不做出结论：不幸的动物继续处于一种悬而未决的死活状态之中，直到某人窥视盒内看个究竟为止。”

按照常规的逻辑，我们大家都知道，一只猫非死即活，没有其他可能。但正像逻辑命题并非都是非真即假还存在不可证一样，按照量子理论，物理实在的存在也不必处在理想的某个本征态，而是表现为全部可能本征态的迭加之中的，不是可以靠逻辑概念分析所能把握的。这就是逻辑悖论所以揭示的深刻底蕴。

哥德尔指出的：“在算术化的元逻辑中有些普通概念不可定义。证明这一点的办法是假定该概念能到手，再由此推出矛盾；在论证中我们必须默认算术的一致性。” 很明显，其也是建立在矛盾律之上的。矛盾律是概念分别的伴随性定律，但如果追根寻底，那么除非承认局限性（概念分别的局限性，比如概念的不可定义性的存在），否则必然会导致不一致性（悖论）。

逻辑上，悖论往往分为三个不同的层面来被考察，即语形的、语义的和语用的。

语形悖论，也常常称为集合论悖论。罗素悖论、布拉里－弗蒂悖论和康托尔悖论等均属于这一类。凡是只要根据命题形式上的描述，就可以从逻辑上推导出矛盾的悖论，都属于这类逻辑悖论。

语义悖论，比如理发师悖论（“一个小镇上有一位理发师，他给所有不给别人理发的人理发，那么谁给理发师理发？”）就是一个典型的语义悖论。类似这样的悖论还有很多，如说谎者悖论、拜里悖论（不能用少于十八个字定义的最小整数）、“本命题为假”等等，都属于语义悖论。因为这类悖论的逻辑矛盾的导出涉及命题的语义分析，所以称为语义悖论。

语用悖论则是语义悖论的一种特定子类，往往涉及语用要素的背景知识，比如认知性悖论、行为性悖论等等。其中“突然演习问题”就是一个经典的语用悖论，即第二次世界大战期间，瑞典广播公司播出一则通告：“下周内将进行一次防空演习，为验证备战是否充分，事先将没有任何人知道这次演习的具体日子，因此，这是一次突然演习。”

再比如，在《罗马假日》的电影中，将手伸进怪兽嘴里时，如果伸手人预测结果正确，则怪兽不会咬住其手，否则会咬住其手不放。现伸手人预测怪兽会咬住其手不放，怪兽该怎么办？这也是一则语用悖论。

其实，除了上述普遍存在的这些悖论外，哲学上著名的二律背反问题，也都说明了悖论的普遍性和深刻性。而二律背反问题纯属是由纯粹理性能力之滥用于经验领域之结果，其关键之处有两点：①认定理性为无限制者；②认定理性为综合统一者。一个一致性，一个无限性，必然会导致自相矛盾，也就是逻辑系统中完备性与一致性所揭示的根本问题。正像罗素所总结的那样：“在上述所有的矛盾中有一个共同的特点，我们可以将此特点描述为自我指称或自返性。”

确实，滥用全称性、自指性，加上事物本质上的不可命名性、不可定义性等，是产生悖论的根本原因。这不但是一切理性思维领域产生种种悖论的原因所在，也是数学中会普遍存在悖论的原因所在。 U0X3slnOF0HNNpbgv+NGGfIlhR9x9fy/Jk4BN2qHtOnYY5ulLNXZlvZNtIVU+ERc