优秀课堂实录最新章节_朱婧著

变化率与导数

朱婧

贵阳实验三中

【教学目标】

1.知识与技能

（1）了解导数概念的实际背景，理解导数的定义，知道瞬时变化率就是导数；

（2）会用定义求函数在x =x ₀ 处的导数。

2.过程与方法

通过自学培养学生的分析、对比、归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比，以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。

3.情感态度与价值观

（1）养成独立分析、动手实践的习惯；

（2）学习研究成果、尝试自我创新。

【教学重点】

理解导数的概念。

【教学难点】

将导数概念与实际问题中具体问题对应。

【教学流程】

【教学实录】

（一）引入新课

师：同学们，自学是我们要坚持提升的一种重要能力。在平时的学习当中，要学会阅读，要善于思考，还要敢于表述。今天的学习内容大家先自学，有了自己的想法后我们进行相互的交流，大家先学习书上72~76页的内容。

学生自学3分钟。

师：有的同学课前就有阅读这部分内容，读完后有没有进行归纳、提炼？我们今天学习的内容是《变化率与导数》，学完课本上的内容后，我们有思考学习的内容中“有什么”大家梳理出了哪些知识？

学生思考1分钟。

（二）梳理知识结构

1.知识梳理

师：哪位同学来试着表述一下，有什么？

生：内容中学到的有一些概念，第一个是“平均变化率”。例如，速度用变化量除以变化时间得到，以及瞬时速度的概念，导数的表示及求解导数的方法。

师：非常好，我们再请一位同学说说自己的想法。

生：课本上通过两个实例，介绍了变化率，然后介绍了平均变化率的计算公式和导数的概念、定义、计算公式。

师：两位同学回答得很好，她们读出了一些重要的概念，而且同学们还注意到了概念间的相互关系。我们大家再一起梳理一下这些概念，看看该如何理解。课本中有两个具体的例子，我们试着来表述一下问题。

师：关于平均变化率，第一个问题是气球膨胀率。

问题：很多人都吹过气球。回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢。从数学的角度，如何描述这种现象？

师：我们知道，握的体积V（单位：L）与半径r（单位：dm）之间的函数关系是V（r）= ，如果将半径r表示为体积V的函数，那么r（V）= 当空气容量V从0增加到1L时，气球半径增加了r（1）-r（0）≈0.62（dm），气球的平均膨胀率为 ≈0.62（dm/L）.

师：类似地，当空气容量V从1L增加到2L时，气球的半径增加了r（2）-r（1）≈0.16（dm），气球的平均膨胀率为 ≈0.16（dm/L）.

师：可以看出，随着气球体积逐渐变在，它的平均膨胀率逐渐变小。大家，如何表述气球膨胀率问题？

生：气球膨胀率问题中气球体积的变化引起了气球半径的变化，体积的变化除以半径的变化得到了平均变化率。

师：同学说得好吗？她是不是抓住了两个变量，气球体积和气球半径，而又是通过怎样的计算公式得到了气球膨胀率呢？

生： .

师：第二个问题，高台跳水。

问题：人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=-4.9t ² +6.5t+10。如果我们用运动员在某段时间内的平均速度v描述其运动状态，那么：

在0≤t≤0.5这段时间里， = =4.05（m/s）；

在1≤t≤2这段时间里， = =-8.2（m/s）.

师：我们又研究了怎样的变量间的关系？

生：研究了跳水的高度与时间变化量之间的关系。

师：跳水高度是关于时间的函数，在计算平均变化率时用了怎样的计算公式？

生： .

师：两个不同问题中大家能提炼出相同的研究模型。研究两个变量间的平均变化率，可以怎样计算？

生：分子是函数值的差，分母是自变量的差。

师：用符号语言怎样表示？

生：问题中函数关系用y = f（x）表示，那么问题中的变化率可用式子表示。称为函数y=f（x）从x1 到x2 的平均变化率。Δx表示x2 -x1，看作是相对于x1 的一个“增量”，可用x1 +Δx代替x2；类似地，Δy=f（x2）-f （x1）。于是，平均变化率可以表示为 Δ，即Δ = 或

师：同学们，我们从特殊的具体问题中得到了一般方法用于计算各类变化率的平均变化率。在我们的生活中是不是都用平均变化率去描述物体运动过程中速度的变化情况呢？

生：不是，是用瞬时速度。

师：为什么不用平均速度而要用瞬时速度呢？是遇到了一些什么问题吗？

生：有时会遇到一些问题，例如，高度相同时，分子会为零，计算出的变化率会为零，但不能说运动员没有动，诸如此类不能很好刻画运动状态的问题。

师：研究方式需要改进，怎样改进？

生：研究瞬时速度。

师：大家怎样理解瞬时速度？

生：瞬时速度是描述物体在某一时刻的速度。

师：瞬间、某一时刻的速度怎样得到？

生：趋近。

师：趋近就能得到吗？

生：近似值。

师：怎样发现就有近似值呢？教材中介绍了怎样的研究方法？

师：平均速度的研究过程中发现了需要研究瞬时速度，而瞬时速度怎样求得的呢？在高台跳水问题中，函数关系中把时间t对应为某一时刻2秒时，后面有介绍一种计算方法，即

h（t）=-4.9t ² +6.5t+10.

师：当t=2时，Δt<0， = =-4.9Δt-13.1；Δt>0， = =-4.9Δt-13.1。这种方法说明什么？

生：课本上的方法说明了趋近的研究方法，当Δt趋近于0时，不论是从比2大的一边还从比2小的一边，平均数度都趋近于-13.1。

师：说得很好，当Δt趋近于0时，无论是从比2大的一边还是从比2小的一边，平均速度都趋近于-13.1，我们就把-13.1叫作时间为2秒时的瞬时速度。表示为：

师：一般地，函数y = f（x）在x = x ₀ 处的瞬时变化率是 = ，我们称它为函数y=f（x）在x=x ₀ 处的导数，记作f'（x ₀ ）或，即f '（x ₀ ）= = .师：下面，我们从特殊到一般，把这些概念梳理一下，并弄清楚对应的符号表示。

师：同学们在学习和理解概念时，要多应用特殊到一般再到特殊的思想方法，学会从实例中提炼概念，对比梳理中深入理解概念，弄清概念间的关系，学会正确应用符号语言表述。

师：前面我们通过教材的阅读，思考了有什么？接下来我们接着学习做什么？课本中示范了什么问题的解答？你们能通过学习学会解答吗？

学生进行思考。

[例1] 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同半产品，需要对原没进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：℃）为y=f（x）=x ² -7x+15（0≤x ≤8），计算第2h和6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。

师：有的同学看完了，并开始试着计算了，那我们来梳理一下。首先，题目是解决什么问题？

生：求瞬时变化率。

师：对，那求瞬时变化率用的是什么方法呢？

生：解法如下。

生：由此说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速度下降。

师：大家有没有理清解答的主要步骤？第一步，是找出题目中给出的两个变量间的函数关系，利用函数关系，求出了平均变化率；第二步，是看Δx→0时，平均变化率有没有趋近一个常数。有，我们就把它称为函数在x=x ₀ 处的导数，即为x=x ₀ 时的瞬时变化率；第三步，根据计算结果回答实际问题。

师：大家根据书上的例题，试解答第6h时的瞬时速度。

学生解答。

师：很多同学都算出了答案。请答案正确的同学举手。

很多同学举手。

师：我们不仅要关注答案是否正确，还要看表述的过程，书写是否规范，哪些地方表述不严谨？哪些地方易出现错误？

师：请同桌同学互相批改一下解答过程，分享交流过程中获得的体会和收获。

生：我在计算过程中，步骤上直接算第二步得到： = ，由于没有约分，对分母Δx →0不知道该如何解决，感到过困惑。

师：我们做的这个题可以通过约分后，不出现分母趋于0的情况，问题可以解决。实际上我们在以后的学习中会出现不能约分，分母趋于0的情况，那需要我们用进一步学到的知识解答。

生：符号上f'（2）与f（2）的意义不同。

师：是的，注意熟悉新学的导数符号。

生：在计算 =时，用的是结果算出来与答案相差一个负号，我们检查出来应该与分子对应分母用2-（2+Δx），即-Δx，与答案一致。

师：回答得很好，同学们有发现不同的解答方法，通过对比发现都可以解决问题，意义上的区别也要有正确的理解。

师：f（2）-f（2+Δx）与f（2+Δx）-f（2）从实际意义上来讲有一个时间先后对应的函数值做差，会相差一个负号，但在计算时，只要注意分子分母对应就算出来的是一样的结果。那大家是否可以将导数的计算公式表述为别的等价形式？

生：还可以表示为 =

师：简单理解为用或计算结果是一样的。

生：例题中算出来的2h时的瞬时速度是负值，我们计算出来的6h时的瞬时速度是正值，我们注意到在第三步，回答实际问题时在区别，应回答为：在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速度上升。

师：说得很好，如何将计算结果对应到问题中的实际意义是特别要注意的问题。

师：大家有没有发现，有的同学把（Δx） ² 写成Δx ² 了，它们意义相同吗（Δx） ² 是x变化量的平方，Δx ² 是x ² 的变化量，大家要注意符号表示的规范。

师：很好，很多同学都不仅计算出了正确的答案，还反思了解答过程中应注意的一些重要细节，比如，符号的规范表述，一些错因分析，方法上的灵活变化，步骤的清晰化条理化，回答问题时考虑实际意义，等等。

2.探究发现

师：同学们学习了“做什么”之后，还要多思考“想什么”，多谈谈自己能接合知识想到的问题。

生：我觉得这个模型与物理里讲到的加速度相似，也是研究变化率。

师：速度是路程关于时间的变化率，加速度是速度关于时间的变化率。很好，想到了和物理知识的联系。

生：导数是根据函数的解析式求出来的，我在想，导数在函数的图像中能否体现出来？

师：很好，数形结合。这节课我们求出来的是某个时刻的一个值，不同时刻就有不同的对应值，是否也构成了一种函数关系。下一节我们也将学习导函数，并学习导函数的几何意义。

生：导数的计算与斜率的计算公式相似。

师：斜率分式中Δx趋近于0怎样理解？

生：两个点无限接近，割线斜率趋近于切线斜率。

师：我们后面将学到相应的知识。

生：我觉得趋近的方法在以前学到的二分法中用到，也是无限接近。

师：它们都是逼近的方法。

生：我们在学习数列时，求等差数列的公差与这里求平均变化率相似。

师：数列是特数的函数，n，m ∈N* 。公式上相似，但数列中的点是一个个孤立的点，而我们学习的导数是连续的，之后大家还将学习函数的连续、可导等相关知识。《微积分学》学中《导数》部分有定理：函数f（x）在x=x ₀ 处可导的充要条件是

师：大家思维的联想可以是以前学过的知识，可以是别的学科中有联系的部分，也可以是与生活实际接合的创意，等等。

师：下面大家来看看老师给大家准备的一些演示。在我们学习到的数学问题中我们会计算两点构成直线的斜率，当两个点一个为x ₀ ，另一个点为x ₀ +Δx，当Δx →0时，会怎样？

几何画板演示一：切线问题

生：曲线割线的斜率的值越来越接近x ₀ 这个点处切线的斜率。

师：圆的面积可用什么去接近什么？

几何画板演示二：圆的面积

生：可以用正多边形的面积去接近圆的面积。

师：我们用正多边形逼近圆的方法，利用正多边形面积求出了圆的面积，这是一种“以直代曲”的思想。

师：曲边梯形与直边图形的主要区别是什么？如何求曲边梯形的面积？

几何画板演示三：曲线与坐标轴围成的图形的面积

生：可以通过细分成很多个小矩形的面积之和去接近多边形的面积。

师：曲边梯形与直边图形的主要区别是，前者有一边是曲线段，面直边梯形的所有边都是直线段。我们可以用“以直代曲”的思想，用直边形（比如矩形）逼近曲边梯形的方法，求出图中阴影部分的面积。

师：同学们的可以将所学知识与学过见过的数学知识等接合，也可以和生活实际联系，我给大家看一段视频。

视频播放：《十二生肖》片段

师：通过传感器，制造仿制模型，利用“接近”做到“一模一样”。其实这是通过空间坐标系，采集了很多个头像中的点，进行定形，当很多趋近于无数时，模型逐渐逼近就“一模一样”了。老师在想，以后可以用这种方法，定做鞋子，根据不同的脚的大小和形状为大家分别定制鞋子，那样会很合脚很舒服吧。老师也是希望大家也多将所学到的知识用于生活，用于发明，用于创造。

（三）知识总结

师：同学们，我们整理一下这节课学习的内容？

师：学习了哪些概念？

生：平均速度、平均变化率、瞬时速度、瞬时变化率、函数的导数

师：它们之间的关系大家理解了吗？能用数学符号进行正确的表述吗？

生：

师：大家回忆一下学习概念之后，我们学习了解决怎样的问题？

生：求瞬时速度，即求函数在某一时刻的导数。

师：大家理清了解题步骤吗？

生：第一步，利用两个变量间的函数关系求；第二步，求Δx →0时，无限接近的常数；第三步，将计算结果接合实际意义回答问题。

师：大家在学习的过程中体会到了哪些数学思想方法？

生：数形结合、特殊到一般、对比联想，逼近等数学思想方法。

师：同学们可以试着用思维导图整理出学习过程中的收获和体会。

（四）课后作业

1.若函数f（x）=x ² -1，图像上点P（2，3）及其邻近点Q（2+Δx，3+Δy），则 = （）

A.4 B.4Δx C.4+Δx D.Δx

2.一质点运动的方程为s=5-3t ² ，若一质点在时间单段[1，1+Δt]内相应的平均速度为-3Δt-6，则该质点在t=1时的瞬时速度是（）

A.-3 B.3 C.6 D.-6

3.某物体的运动规律是s=s（t），则该物体在t到t+Δx这段时间内的平均速度是（）

A . = =

B. =

C. =

D. =

4.若可导函数f（x）的图像过原点，且满足 =-1，则f'（0）= （）

A.-2 B.-1 C.1 D.2

5.某物体做直线运动，其运动规律是的s=t ² + （t的单位是秒，s的单位是米），则它在4秒末的瞬时速度为（）

A . 米/秒

B . 米/秒

C.8米/秒

D . 米/秒

6.已知函数y = +3，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy =_____________.

7.子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速运动，如果它的加速度是a =5×10 ⁵ m/s ² ，子弹从枪口射出所用的时间为1.6×10- ³ s，则子弹射出枪口时的瞬时速度为____________m/s.

8.已知质点M按规律s =2t ² +3做直线运动。（位移单位：cm，时间单位：s）

（1）当t=2，Δt=0.01时，求；

（2）当t=2，Δt=0.001时，求；

（3）求质点M在t=2时的瞬时速度。

9.已知点P（x ₀ ，y ₀ ）是抛物线y=3x ² +6x+1上一点，且f'（x ₀ ）=0，则点P的坐标为（）

A.（1，10）B.（-1，-2）C.（1，-2）D.（-1，10）

10.设函数f（x）在x =x ₀ 处可导，则等于（）

A.f'（x ₀ ）B.f'（-x ₀ ）C.-f'（x ₀ ）D.-f（-x ₀ ）

11.已知函数f（x）= ，求f'（4）·f'（-1）的值。

12.若一物体运动方程如下，（位移单位：m，时间单位：s）

求：（1）物体在t∈ [3，5]内的平均速度；（2）物体的初速度v ₀ ；（3）物体在t=1时的瞬时速度。

【教学反思】

（一）概念教学

数学概念既是数学学科结构的基石，也是数学认知的逻辑起点，更是数学核心素养之数学抽象能力培养的主要载体，由此可见概念学习在数学学习中的重要性。“概念形成是以学生的直接经验为基础，用归纳的方式抽出一类事物的共同属性，从而达到概念的理解，概念的同化是以学生间接经验为基础，以数学语言为工具，依靠新、旧概念的相互作用理解概念。”

学生的已有数学生活、真实经验是学生学习新概念的基础，也是通向理解的台阶。数学概念教学过程中可以起步于经验，形成于抽象，深化于应用，具体操作程序为：（1）问题中形成经验，解答中萌生想法；（2）抽象中构建概念，梳理概念间的关系；（3）反思概念应用的步骤和范围；（4）对比、联想与猜测。

1.问题中形成经验，解答中萌生想法

形成经验就是对学生学习过的零碎的知识进行整理、归纳，形成由易到难、由零碎到整体的认知过程，为新概念的学习铺垫由具体到抽象、由特殊到一般的阶梯。解答中萌生想法，即对具体、个别的知识进行概括，对研究方法进行提炼，对研究过程进行挖掘，提出问题，并形成初步研究思路。

在本次课《变化率与导数》中，引入的新概念是导数，学生在概念学习的过程中，通过气球膨胀问题和高台跳水问题，能理解并计算的平均膨胀率、平均速度，提炼出平均变化率这个一般概念。然后，通过发现平均速度在刻画某一时刻的运动状态时会有一些问题，从而探究更好的研究方法，引出瞬时速度。最后，又从特殊的瞬时速度回到一般性的瞬时变化率，理解瞬时变化率即函数在x=x ₀ 时的导数，初步形成导数的概念。

教学过程中，学生自主学习态度较好，能认真完成阅读，在回答“有什么”时，设问比较开放，学生回答为动态表现，能较好地体现学生的主体性，体现学生阅读、归纳、提炼的能力。课堂上，学生很快找到关键概念的叙述，对问题有一定的理解，积极回答、敢于表述。学生会比较容易找到叙述概念的语句，但其实对概念的理解还没有深入和内化；学生表述一个概念较容易（借用书上的叙述），但用自己的语言表述一个问题往往因缺乏训练而较为困难，对训练学生的表述，即要有概念表述，还应该有问题表述、知识体系表述，等等。学生在理解了平均速度的解法后，根据不能很好刻画某一时刻运动状态，而提出的关于瞬时速度的研究表示确实有必要，从而对新概念产生的必要性表示认同。

2.抽象中构建概念，梳理概念间的关系

概念初步形成后，梳理很重要，通过对基本数学经验获得的具体过程的理性审视，回顾研究、推理过程，发掘新的方法，重构新概念的内涵，构建概念体系。将概念体系结构化、图表化、网格化往往能对促进数学知识与建构性学习的整合有着积极作用，同时加强学生认知，提高学习效率，帮助学生思维可视化。

《变化率与导数》一课中，有多个相近相连的概念。为了能很好地梳理概念间的相互关系，我采用了图形的方式，呈现了特殊到一般的数学思想，能很好地帮助学生理解平均速度、平均变化率、瞬时速度、瞬时变化率、导数概念间的关系。

3.反思概念应用的步骤和范围

数学概念源于现实生活、真实经验，是在现实情境中通过识别、抽象、概括而形成，是正确运用数学知识解读、诠释、解决生活世界的现实问题的基础，所以学生的生活世界、真实经验是概念学习的土壤，为此概念教学中要坚持两点。

（1）源于生活、经验是概念学习的起点。

从学生学习的思维来看，数学概念的获得并非是一个完整的逻辑过程，它受到学生个体思维水平、教学方式、学习环境、个人经验等多方面的影响，尤其是个人经验，在概念形成过程中需要利用已经获得的有关经验来主动提出一些可能的假设，形成初步的想法，即预想所要学习的概念可能会是什么，这就必须引导学生进入与概念学习相关的数学生活、真实经验的现实世界，为概念学习提供准确的、丰富的、现实的概念情境，为学生准备识别、抽象、概括的学习素材，促进学生主动建构。

（2）回归现实、应用是概念学习的重点。

从学生学习的过程来看，概念学习需要从自己的经验库中提取相关经验进行检验、判断、矫正，即这个概念应该是什么而不能是什么。并在获得新概念后，需要把新概念与个人经验进行关联，形成交叉的网络结构，扩充为自己的新经验。这就需要引导学生把获得的概念在现实情境问题中主动实践，为学生提供真实的、关联的问题情境，促进学生在具体情境问题解决中对获得概念的理解、内化、升华。

在《变化率与导数》教学过程中，引入概念和应用概念都是来自生活中的实际问题，一方面反复培养学生将导数知识应用于解决生活世界的现实问题意识，同时也帮助学生在反复的数学问题解答体验过程中总结经验，提升能力。

在“做什么”环节，学生通过阅读，能意识到掌握的重要知识为如何求导数。学生对导数计算的方法表现为能较快掌握，但通过教师带领下的细查，还是发现存在不少问题。一方面，学生对解答方法上的步骤化意识不强，条理不够清晰，逻辑不够严谨；另一方面，符号表示上不注意细节；通过互评交流的方式，较好地帮助学生自主发现问题，这是一个较为动态的环节，学生发现了计算导数的等价公式，发现了可导或不可导的不同可能，发现了导数计算结果与实际意义结合的不同表述，这些自主获得，较为可贵。

4.对比、联想与猜测

个体对概念的理解结果是思维过程的产物，其中包含两个方面，其一是水平方向上建立新概念与原有概念之间的联系，给新概念赋予“心理意义”；其二是垂直方向上的拓展，也说是在应用中对新概念进行适当的延伸，甚至是做出一些相关的推论，形成一些个性化的“等价表示”。无论是水平方向的联系，还是垂直方向上的延伸，都是概念理解的深化。

导数作为微积分的核心概念之一，在整个《应用数学》学习中具有相当重要的作用和地位。导数是对函数知识的深化，是极限思想的最直接应用，是解决函数相关问题的直接工具，而且导数有方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在其他学科中同样具有十分重要的作用，在生产、生活的各个领域都有广泛的应用。导数的概念的学习同时为今后研究导数的应用及积分的学习打下必备的基础，具有承前启后的重要作用。

在“想什么”环节意图为开放设问，让学生放开思维，敢于联想，大胆想象，培养一定的拓展、创新能力。在这又一动态环节，学生表现出了他们思维想象力上不可小瞧的联系能力和创造能力。学生将所学知识联系到了，物理知识中的加速度；将计算公式形式与数列中求等差数列公差对比；想到了曲线上割线斜率计算公式，割线斜率与切线斜率的关系；想到了二分法，等等。即有数学学科知识，也有其他学科知识，有一定的知识交织网格化意识。

教师给学生准备的材料为与本学科联系的知识，演示一为曲线的切线问题，通过几何画板的演示，学体形象理解了曲线上割线的两点无限接近的过程中，割线斜率趋近于切线斜率；演示二为圆面积的计算，通过几何画板的演示，学生直观理解了可以用正n边形中n无限增大，正n边形的两积逼近圆的面积；演示三为曲边梯形面积的求法，通过几何画板中演示的，用很多个越分越多，越分越小的小矩形的面积之和去逼近曲边梯形面积的方法，体会“以直代曲”的数学方法。多个演示都是帮助学生体会“逼近”这个数学思想方法，为将来学习微积分打下一定的基础。

所学知识既可与数学学科知识联系，也可与其他学科和现实生活中创造相结合。举例电影《十二生肖》中，成龙用的传感性手套，将生肖头像的立体形状数据传送过去，有了数据便可制造出“一模一样”的仿制头像，其实出现的空间坐标系，接收到的传感数据也是很多很多个点，就是因为点数趋近于无数，“以直代曲”才做出了“一模一样”的立体头像。因为影片的较高的知名度，加上课堂上图文并茂的放映，学生比较感兴趣，觉得比较新奇、比较前卫，鼓励学生大胆设想就能创造。例如，可以想象制造一种私人定制的鞋，通过对不同人不同脚的形状数据采集，为不同的人做不同的鞋子，那会大大的改善舒适度，改善生活。