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教学过程：
问题1：我们在物理中学过物体作斜抛运动的轨迹是抛物线，那么如何用所学的数学知识说明这一事实呢？
我们在初中学过一元二次函数y=ax 2 +bx+c （a≠0）的图象是抛物线，物体作斜抛运动可以转化为这样一个数学问题：一个物体向斜上方抛出，抛出时的速度大小为v 0 ，方向与水平方向的夹角为α。假如只考虑重力，不计空气阻力。求证：斜抛物体的运动轨迹是抛物线的一部分。
证明：学生讲解
设计意图：一元二次函数y=ax 2 +bx+c （a≠0）的图象是抛物线，物理中学过物体作斜抛运动的轨迹是抛物线。这是学生的认知基础，但学生可能缺乏学科之间的联系，此问题就是让学生建立学科之间的联系，并由此来体会数学的应用价值。
问题2：抛物线具有怎样的几何特征呢？
抛物线在日常生活中用途相当广泛，我们经常看到的卫星接收器、雷达、手电筒等，它们的反射镜都是抛物面，抛物面的轴截面是抛物线的一部分，设计原理都是利用了抛物线的光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线，经抛物线上的一点反射后，都集中到对称轴上的一点，这点被称为“焦点”，意为聚焦光线的点。反之，从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴。我们现在研究具有这种光学性质的抛物线到底是怎样的曲线。如图，光源在焦点F处，P为抛物线上任意一点，FP为入射光线，PM为平行于对称轴的反射光线，下面我们来研究点P的性质。
由光学性质可知，作光源F关于反射面PA对称的虚光源F'，则PF=PF'。画出当点P在抛物线上其他一些位置时，虚光源F'的对应位置，请同学们观察并猜想，当点P取遍抛物线上的所有点时，对应虚光源F'的点构成了什么图形？并说明点P在抛物线上运动时，PF与PF'的长度关系。
设计意图：人教A版教材处理抛物线的引入时，采用抛物线的机械画法，直接给出抛物线的轨迹定义。教材虽然简洁明了，但还是存在以下不足：一是未能让学生了解为什么要学习抛物线；二是抛物线的引入非常直接，学生的接受过程不是很自然，特别是焦点与准线的出现比较突兀；三是未能让学生了解学习抛物线的价值所在。
新课程标准指出：“要展现知识的发生、发展、形成和应用的过程，加强数学学习活动，提供学生亲身感受、体验的机会。”
荷兰著名数学教育家弗莱登塔尔指出，实际生活中，许多概念并不是通过定义学到的，而是接触了大量实例，经反复观察、对比、体会后归纳出来的。
以抛物线的光学性质为背景构建问题情境，目的是让学生通过自主探究，参与数学知识、方法的“再创造”，体会轨迹定义中焦点和准线概念的自然发生过程。
教师用几何画板演示，学生再次感受抛物线的几何特征。得出抛物线定义。
抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹。点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线。F到直线l的距离p叫作焦准距。
点拨：此种定义反映了抛物线的几何本质，我们为什么还要研究抛物线呢？原因之一就是抛物线是几何图形，要揭示几何本质就要对几何图形中的不变量进行研究。
问题3：你能举出生活中一些与抛物线有关的例子吗？
设计意图：体现抛物线的实用价值和美学价值，学生感受学习抛物线的必要性，有利于激发学生学习动机。
问题4：抛物线有其对应方程，你认为如何建系，能使得抛物线的方程更为简单？
学生建系可能有多种情况，让学生小组合作推导方程，然后比较，以此感受哪一种建系更好。
结论：y
2
=2px（p >0）叫作抛物线的标准方程。它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴，焦点坐标是
，准线方程是x =-
。
设计意图：学生通过比较、运算来自己感受哪一种建系更好，体现自主探索、合作学习。同时让学生感悟简洁是数学的追求之一。
问题5：选择不同的坐标系将得到不同形式的标准方程，课后完成表格，并找到自己的记忆方法？（见课后作业）
设计意图：此部分内容放在下一节课研究，本节重点突出抛物线概念的形成与多角度了解抛物线以及抛物线的光学性质的实际应用。
问题6：你知道历史上圆锥曲线的几种定义形式吗？
（1）几何观点
用一个平面去截一个圆锥面，一般得到的交线就称为圆锥曲线，当平面与圆锥面的一条母线平行，且不过圆锥顶点时，结果为抛物线。代表人物：古希腊数学家阿波罗尼奥斯（前262-前190年），代表巨著《圆锥曲线论》，他几乎将圆锥曲线的性质网罗殆尽，后人几乎无插足余地。
（2）焦点准线观点
圆锥曲线是一动点到一定点和到一定直线距离的比是常数的轨迹。
常数等于1时为抛物线。代表人物：公元340年，希腊学者帕普斯（被认为是古希腊最后一位伟大数学家）。
比利时数学家G。F。Dandelin 1822年证明了圆锥曲线几何定义与焦点准线定义的等价性。从而解决了古希腊的截面定义和抛物线轨迹定义之间的不连贯。
（3）代数观点
在笛卡尔平面上，圆锥曲线的方程是二元二次方程Ax 2 +Bxy+Cy 2 +Dx+Ey+F =0.
代表人物：法国两位数学家笛卡尔（1596-1650）和费尔马（1603-1665）。
设计意图：数学作为知识的一部分，与其他知识领域有着紧密的联系。我们要尽可能多的同其他科目建立联系，比如历史、科学、哲学、社会科学、艺术、音乐、文学等，这样才能使数学的发展同人类文明的发展联系起来。与数学史联系起来，至少可以让学生感受到数学家探索的艰辛与成就的伟大，以此来激励学生学习的热情。
例题1:
①若一个动点P（x，y）到一个定点F（1，0）和一条定直线l：x=-1的距离相等，这个点的运动轨迹方程是______，轨迹是______。
②画出抛物线y 2 =4x的图形，并指出焦点坐标及准线方程。
③抛物线
上一点M到焦点的距离是a
，则点M到准线的距离是____，点M的横坐标是____。
设计意图：本题组是抛物线定义及标准方程的初步应用，题目突出体现了定义中的距离转化，意在培养学生的转化意识。
例题2：微波通讯、聚热、发电（如太阳灶、太阳炉、太阳能光电站）等方面都用到了抛物线的“光学特性”。
①从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的对称轴。
②一束平行光垂直于抛物线的准线，向抛物线的开口射进来，经抛物线反射后，反射光线汇聚在抛物线的焦点。
上述性质你能找到证明的思路吗？
教师：提示学生用情境中的图形作为背景进行研究。
学生：小组讨论、分析、汇报、补充。
设计意图：抛物线在实际生活中有诸多应用，而且是数学发展中的重大成果之一，具有丰富的实用价值和文化价值。阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线》只提到椭圆和双曲线的焦点而没有提到抛物线的焦点，更没有焦点准线的统一定义，可能没有发现抛物线的光学性质。通过让学生去挑战问题，可以培养其积极主动、勇于探索的学习方式，去感受解析法的巨大魅力，以及在“再创造”的过程中获得成功、喜悦。
1.本课重点从焦点准线观点与方程观点认识了抛物线，了解了抛物线的其他定义形式。
2.本课数学思想方法丰富，如合情推理、转化思想、数形结合。
3.了解数学历史、数学文化，数学来源于生活又服务于生活，我们要学以致用，要与其他知识相联系，数学是有用的，数学让我们严谨，数学让我们明辨是非。
1.已知抛物线的标准方程是y 2 =8x，求它的焦点坐标和准线方程。
2.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M（3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值。
3.选择不同的坐标系将得到不同形式的标准方程，请完成表格，并找到自己的记忆方法。
抛物线的标准方程的四种形式
续表
4.已知点P是焦点为F的抛物线y 2 =2x上的一个动点，点A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值。
在一个星期内，每小组完成一篇关于圆锥曲线发展史或三种定义的等价关系证明的数学小论文。
王贵军，特级教师，正高级教师，高考命题专家。
本课遵循概念学习的六个环节，重点放在了概念的引入、归纳这两个环节，概念引入自然，用实例归纳出概念，给学生提供了亲身感受、体验的机会。
情境设计独具匠心，以抛物线光学性质引入，以抛物线光学性质证明与应用结束，前后呼应。抛物线在实际生活中有诸多应用，而且是数学发展中的重大成果之一，具有丰富的实用价值和文化价值。本节课很好地体现了这两种价值。
难点突破讲究方式方法。问题情境的设计，突破了概念自然发生这一难点，学生通过两种建系方式的对比突破了“合理建系”这一难点，课前预习、合作学习解决了抛物线光学性质的证明这一难点。
教学过程突出数学本质。本课始终从数（标准方程）与形（几何特征）两个方面揭示抛物线的本质特征。从学生已有知识出发，让学生在问题解决的过程中合情找出抛物线的几何特征，给学生留下较深刻的印象。
本课注重拓展提升，注重数学文化，既尊重历史，又尊重教材。多角度认识抛物线，感受其中的文化价值。
本课引领学生通过各领域知识的学习，在逐步培养抽象、推理、想象、创造等能力的过程中渗透社会主义核心价值观教育。在参与观察、实验、猜想、证明等活动中发展演绎推理能力，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的科学探究能力，有利于学生养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑的学习习惯，形成严谨求实的科学态度。最终让学生在解决问题的“再创造”过程中建构属于自己的认知结构，改变对数学的态度，认识到数学的科学价值和应用价值。