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课题名称：测量问题中两角和与差的三角函数计算
主讲教师：潘荣杰
录制时间：2015年5月4日
教学过程实录：
教师：今天我们一起来学习“测量问题中两角和与差的三角函数计算”的第一课时，核心是探索两角和与差的三角函数的公式。我们看这样一个问题。
问题1：某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上。如图所示，在地平面上有一点A，测得A与山顶C两点间距离约为290米，利用测角仪测得∠CAD为30°，∠BAD为45°。求这座电视发射塔DC的高度。
学生：设DC =x米，由∠BAD =45°，知x+BC =AB。
即x+290sin 15°=200cos 15°。
即x =290（cos 15°-sin 15°）。
教师：我们能否得到sin 15°=sin（45°-30°）=？或cos 15°=cos（45°-30°）=？或者说sin15°或cos 15°与45°、30°的正、余弦有关系吗？
教师追问：
问题2：能否通过直角三角形的边角关系求出sin 15°的值？
教师给出情境：等腰直角三角形△ABC中，∠ABC=90°，点D在边BC上，且∠DAB=30°，DE ⊥AC于E，求sin 15°的值。
学生：设AB=1。
则BD =tan 30 °，BC =tan45 °，AD=
。
DE=
，
=
。
在△
D中，CD·AB =
·DE，即（BC-BD）·AB =
·DE.
即tan 45°-tan 30°=
×
。
sin 15°=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°=
。
教师点评：此种解法非常巧妙，巧妙之处在将于每一条线段用三角函数表示出来，而不是直接计算出数值，这样处理有利于猜出sin（α-β）的公式。
教师追问：
问题3：你能猜出sin（α-β）与α、β的正、余弦之间的关系吗？
学生猜想：sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ。
教师追问：
问题4：你能借助问题2的背景证明猜想的公式吗？
已知等腰直角三角形△ABC中，∠ABC =90°，∠CAB =α，点D在边BC上，且∠DAB =β，DE ⊥AC于E。求证：sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ。
教师引导分析：构建等式不是唯一的，用不同的方式表示同一条线段（算两遍）。
学生：设AD=1。
则DE=sin（α-β），AB=cosβ，DB=sinβ。
又∠EDC =α，故CD =
。
而CD =CB -DB =tanαcosβ-sinβ，
所以
=tanαcosβ-sinβ。
故sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ。
教师点拨：巧用类比法，很好。推广工作较复杂，暂时不研究。
教师追问：
问题5：如果知道sin（α-β）的公式，我们能推导出sin（α+β）、cos（α+β）、cos（α-β）的公式吗？
学生：由sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ ①
将β换成-β得到sin[α-（-β）]=sinαcos（-β）-cosαsin（-β）
即sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ ②
=
=cosαcosβ-sinαsinβ ③
将β换成-β得到cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ ④
教师点评：综合已有知识（诱导公式），巧用代换，建立知识之间的联系，这是很重要的，既复习巩固，又推陈出新。
教师追问：公式有何结构，有何功能？请求出cos 15°的值并解决前面问题中的求塔高问题。
学生：由sin15°=
及cos 15°=cos（45°-30°）=
。
得塔高x =290（cos 15°-sin 15°）=1452（米）。
教师点评：我们经历了提出问题、探索问题、猜想公式、证明公式、应用公式、解决问题这样一个过程，这也是研究数学问题的一般思路。
教师追问：
问题6：同学们，你是如何探索两角和与差的正弦、余弦公式的，能给予证明吗？
教师：不要求非常严谨地证明，能从两角为锐角构造模型解决问题即可。
小组四汇报：我们组主要有两种方法，一是借助三角形与前面证明类似，二是应用三角函数线推导差角的余弦公式。我们重点讲解三角函数线法。
设角α的终边与单位圆的交点为P 1 ，∠POP 1 =β，则∠POx=α-β。
过点P作PM ⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α-β角的余弦线，这里要用表示α、β的正弦线、余弦线来表示OM .
过点P作PA ⊥OP 1 ，垂足为A，过点A作AB ⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC ⊥ AB，垂足为C，那么cosβ= OA，sinβ= AP，并且∠PAC =∠P 1 Ox =α。
于是OM =OB+BM =OB+CP =OAcosα+APsinα=cosαcosβ+sinαsinβ。
综上所述，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。
教师点拨：应用三角函数线推导差角的余弦公式这一方法构思巧妙，但这种推导方法对于做辅助线要求较高，存在一定的困难。此种证明方法的另一个问题是公式是在α、β均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑α、β从锐角向任意角的推广问题。
小组三汇报：我们用数量积推导了差角的余弦公式。
在平面直角坐标系xOy内，作单位圆O，以
为始边作角α、β，它们的终边与单位圆的交点为A、B，则
=（cosα，sinα），
=（cosβ，sinβ）。
由向量数量积的概念，有
·
=|
||
|cos（α-β）=cos（α-β）
由向量的数量积的坐标表示，有
·
=cosαcosβ+sinαsinβ
于是，有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。
教师点拨：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作用。
小组一汇报：应用三角形全等、两点间的距离公式推导和角的余弦公式。
设P 1 （x 1 ，y 1 ），P 2 （x 2 ，y 2 ）。
则有|P
1
P
2
|=
在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和-β，它们的终边分别交单位圆于P 2 、P 3 和P 4 点，单位圆与x轴交于P 1 ，则P 1 （1，0）、P 2 （cosα，sinα）、P 3 （cos（α+β），sin（α+β））、P 4 （cos（α-β），sin（α-β））。
∵∠P 1 OP 3 =∠P 4 OP 2 =α+β，且|OP 1 |=|OP 2 |=|OP 3 |=|OP 4 |=1。
∴△P 1 OP 3 ≅△P 4 OP 2 ，∴|P 1 P 3 |=|P 2 P 4 |，即
∴2-2cos（α+β）=2-2cosαcosβ-2sinαsinβ。
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ。
教师点拨：该推导方法巧妙地将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角α、β有关的四个点P 1 （1，0）、P 2 （cosα，sinα）、P 3 （cos（α+β），sin（α+β））、P 4 （cos（α-β），sin（α-β））建立起等量关系，通过对等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角的余弦公式。在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于P 2 ，O，P 4 三点在一条直线和P 1 ，O，P 3 三点在一条直线上这一特殊情况，还需要加以解释、说明。
小组二汇报：我们的方法有两种，一是应用三角形面积公式推导和角的正弦公式；二是构造几何图形推导和角的正弦公式。
方法一：设α、β是两个任意锐角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，在公共边上取一点B，过B点作OB的垂线，交α另一边于A。
交β另一边于C，则有S △OAC =S △OAB +S △ OBC
根据三角形面积公式，有
|
||
|sin（α+β）=
|AB||OB|+
|BC||OB|。
∴|
||
|sin（α+β）=|AB||OB|+|BC||OB|。
∵|OB|=|
|cosα=|
|cosβ，|AB|=|
|sinα，|BC|=|
|sinβ。
∴|
||
|sin（α+β）=|
|sinα|
|cosβ+|
|cosα|
|sinβ。
∵|
||
|≠0，∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ。
方法二：构造几何图形学生手绘如下，设菱形边长为1.
由阴影面积前后相等容易得sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ。
学生：惊叹、鼓掌、感慨。
教师点拨：此两种推导方法堪称绝妙！特别是方法二的构造几何图形，绝对是首创。将数形结合用到了极致。正如高斯所说：“一个人在无结果地深思一个真理后能够用迂回的方法证明它，并且最后找到了它的最简明而又最自然的证法，那是极其令人高兴的。”通过三角形面积的和巧妙地将两角和的三角函数与各个角的三角函数和联系在一起，缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的证明，因此同样需要将角的范围进行拓展。
学生：
1.本课重点是多角度探究两角和与差的正弦、余弦公式。
2.本课数学思想方法丰富，比如：特殊到一般的研究问题的方法，向量的工具作用，数形结合思想，合情推理，类比思想，方程思想等。
教师：探究源于应用，源于已有知识，共同研究、合作探索，我们的收获会更多。
1.整理本课的不同证明公式的方法，指出公式的内在联系。
2.熟练记忆公式。
1.情境设计，来源实际
本教学设计从如何解决一个实际问题出发，为学生创设了激发学习欲望的数学情境、真实情境，这既符合公式的发生发展过程。又能调动学生的思维与研究兴趣。
2.课堂教学，重视自主
自主学习的内容主要是通过投影进行展示，在这个过程中，学生自主提出公式的证明与公式的推导等问题，达到对公式的掌握；合作探究的问题通过分组探究、讨论，推选代表进行投影展示，在这个过程中，学生提出自己的看法见解。学生经历了提出问题、探索问题、猜想公式、证明公式、应用公式、解决问题的过程，这既是研究性学习的一般过程，也是研究数学问题的一般思路。
3.教学过程，突出本质
本节课始终在教师的有效指导下，学生主动参与公式的发现、推导和应用，在活动中体会数学思想方法、领悟数学本质。不管先证明哪个公式，用哪种方法证明公式，教师都从学生的最近发展区入手进行引导与点评，符合学生认知规律的证明才是最好的。
4.不拘教材，科学整合
教材将两角差的余弦公式作为“三角恒等变换”这一章的基础和出发点，公式的发现和证明是本节课的重点，也是难点。本节课没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行研究，并从简单情况入手得出结果，然后推导其他五个公式。
由于和与差内在的联系性与统一性，我们可以在获得其中一个公式的基础上，通过角的变换得到另一个公式。这样我们就可以用“随机、自然进入”的方式选择其中一个作为突破口。所以让学生任意探索出和、差角的一个公式即可，这样的安排不仅使探究更加真实，也有利于学生用不同的途径与方法解决问题，培养他们的发散思维。
本节概念课体现了一定的完整性，课容量较大，学生思考与动手时间或多或少受到一定影响，课上只是展示了部分组同学的思维活动情况，有些环节可以再紧凑些，以给更多同学创造展示的机会。
用数学家的一句话来概括本节课的探究思路与学习感悟：
G·波利亚：“在你证明一个数学定理之前，你必须猜想到这个定理；在你搞清证明细节之前，你必须猜想出证明的主导思想。”
点评专家：北京市朝阳区基础教育研究中心高中数学教研员，北京市特级教师王文英。
本课最大的特点：
1.整合
整合就是研究性学习与学科教学的整合，如何整合？本课就给出一种方式，一种方法。能将研究性学习的学生自主性、探究性的学习方式引入学科教学中去，就能让学生成为教学的主体，教师作为学生学习和成长的朋友与导师，就可以和学生一起学习，一起成长。本课也可以看作数学学科内的一个小的研究性学习，本课设计体现了知识的渐进性，系统性。通过以上的相互渗透与整合，不仅能使学生体验用研究性学习方式学习，又能使学科知识得以延伸与拓展。
2.突出亮点
（1）设计新颖、风格独到
本节课以两角差的正弦、余弦公式的探究为载体，以培养和发展学生的思维为教学的着力点，进行了精心的、富有创意的设计。具体表现在：①紧紧抓住思维的“关键点”来“教思维”，既重视问题提出的自然性与合理性，也重视问题解决的自然性与合理性；②教学重心前移，强化了公式的发现和证明的过程，整节课四分之三左右的时间用于问题的提出、公式的发现、证明思路的探讨；③强化了学生对数学思想方法和思维方法的感悟。
（2）遵循教材、超越教材
遵循教材体现在：探究的整个框架没有变，第一步是猜想结果，第二步是证明结果。超越教材体现在：一是问题的引入做了调整，二是研究和思维的切入点做了调整，使猜想和证明的思路更加宽泛。让学生任意探索出和差角的一个公式即可，这样的安排不仅使探究更加真实，也有利于学生用不同的途径与方法解决问题，培养他们的发散思维。
（3）数学思维、自然流畅
本节课教师在问题的提出、解决、拓展等方面都十分注意自然流畅这一点。教师紧紧抓住思维的“关键点”，非常重视引导和帮助学生搞清楚“为什么”和“怎样想到”这两方面的问题，有助于培养创新意识。创新意识是理性思维的高层次表现，对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强。
（4）探究过程、真实自然
一是关注问题的提出和解决的自然性与合理性，二是课堂上的小组合作，教师注意保证学生思考、讨论的时间，让学生充分表达自己的观点、看法、思路与感悟，真正做到了学生在教师的指导下自主探究、建构知识，强化一般性探究的思路与方法，激发学生探究的欲望。
（5）自主学习、生成丰富
小组研究讨论，推选代表进行投影展示，在这个过程中，学生提出自己的看法见解，学生经历了提出问题、探索问题、猜想公式、证明公式、应用公式、解决问题这样一个过程，这既是研究性学习的一般过程，也是研究数学问题的一般思路。学生思维方法丰富独特，这是教学过程中生成的资源，十分宝贵。
总之，本节课教学定位清晰合理，数学思维自然流畅，学生探究真实自然，学习效果优质高效，是一节亮点纷呈，高品质、高效益的数学课，值得大家学习和研究。