六、植树问题

某人问外国留学生莱斯：“我告诉父亲，我前天看的马戏有一个节目是一个人把头放进狮子口里了。父亲听了摇摇头说：‘这口饭真不好吃。’你懂这句话是什么意思吗？”莱斯笑笑说：“那就是说，狮子在想，头太硬，恐怕不容易吃。”

这是一则笑话。莱斯明明好多中国话还没学到家，却以自己对中文的一知半解，把某人的问题看得太简单，凭自己的想当然，自以为是地做错了题。

对那些看上去太简单，做起来好出错的题，要能做起来不出错，办法有二。一要多一个心眼，不要把它看得太容易，好简单。只是因为“轻敌”而招致失败，实在窝囊。二要多下一些功夫，把这类问题的奥妙学到家。既不轻敌，又有本领，那办起事来，就会得心应手。

【例 1】

在小区 100 米长的小道一侧，从头至尾每隔 10 米种上一棵广玉兰。一共要种多少棵？

想一想

每隔 10 米种一棵，100 米的小道被平均分成了 10 小段。注意：最先在起点处种上一棵，并未出现这样的“小段”，只是从第二棵起每隔10 米“再栽”一棵才出现一个又一个这样的“小段”，“再栽”几棵，就有几小段。

做一做

100 ÷ 10+1＝11（棵）。

答：一共要种 11 棵广玉兰。

理一理

有头有尾的线路上植树，头、尾都植：棵数＝段数＋ 1。这如同 5 个手指恰成 4个手丫一样。至于一头栽树、一头不栽，两头都不栽的情况下棵数与段数的关系与前面一比照，就知道了。

【例 2】

操场上有一条 200 米长的环形跑道，为长期使用方便，每隔 5 米要埋设一根白水泥小桩。一共要埋设多少根这样的小桩？

想一想

可以画个环形跑道示意图，找出小桩的根数与段数的关系：根数＝段数。

做一做

200 ÷ 5＝40（根）。

答：一共要埋设 40 根小桩。

理一理

画示意图，让抽象思维具体化，是个好办法，例 1 也可这样做。应该明白的是，画图的目的在于探寻数量关系，而绝不是去数出答数。因此图上的跑道长不必标成 200 米，有 10 米、20 米即可，甚至随手画个圆圈，不标长度，只在周上画三、四个点，找出根数与段数的关系，就是胜利。这叫事半功倍。

【例 3】

把长 80 厘米的 8 号铅丝用老虎钳剪成 20 厘米长的小段，要剪几次？

想一想

一共要剪成 80÷ 20＝4 小段。试想手抓一根铅丝，“咔嗒”一剪，剪下一小段，再一剪，又 1 小段，……，最后一剪剪下 1 小段，手里还捏着 1 小段，不用剪了。这就是说剪的次数＝段数-1。

做一做

80 ÷ 20-1＝3（次）。

答：剪成 20 厘米长的小段，一共要剪 3 次。

理一理

画个示意图如下（图 38）（箭头所指为剪口），就会明白这实际上是两头都不栽树的植树问题，解法也就顺理成章了。

【例 4】

10 张一样长的彩条纸粘接成 61 厘米的长条纸，接头处都粘合了 1 厘米。问每张彩条纸多长。

想一想

10 张纸粘接，有 9 个接头。可见 10 张纸共长 61+1×9＝70（厘米）。

做一做

（61+1×9）÷ 10＝7（厘米）。

答：每张彩条纸长 7 厘米。

理一理

这实际上还是个两头不栽树的植树问题。此例还有第二个解法：（61-1）÷10＋ 1＝7（厘米），——对粘接好的长条纸上的每一小张的左端 1 厘米都先不计长度，最后还原。无论哪种解法，关键都在弄清张数与接头数的关系。

【例 5】

小男放学回到五楼的家共登了 80 级台阶。他要再去四楼的同学家玩，又要下多少级台阶？

想一想

小男回到五楼，就是走了四段，每段是 20 级台阶。

80 ÷（5-1）＝20（级）。

答：到四楼，要下 20 级台阶。

理一理

一楼、二楼、三楼、四楼、五楼看作等距离植下的 5 棵树。于是此例就转化成 5棵树分这条路（80 级台阶）为几段的植树问题了。

【例 6】

钟楼报时。二点钟的时候，时钟“当，当”敲两响，用 3 秒时间；八点钟它敲八响要用几秒？

想一想

这一点我是清楚的：时钟敲之当当，是匀速作响的，前一响与后一响之间的间隔时间是相等的。已知 1 个间隔用时 3 秒，那么问题在于明白八响作成了几个间隔。

做一做

3 ×（8-1）＝21（秒）。

答：敲八响要用 21 秒。

理一理（图 39）

画个示意图（箭头表示敲钟），这敲钟就既有声音又有图像了。噢，这是两头都栽树的植树问题。不明这个理，就要犯 3 ×（8÷ 2）＝12 秒的错误。切记，切记！

解植树问题，要仔细审题，弄清是有头有尾的线路上植树，还是封闭线路上植树。若是前者，又要弄清是要求两头都栽，还是一头栽、一头不栽，或两头都不栽。以上四种情况分别对应着三种不同的棵数与段数的关系。选用时，稍有不慎，就要出错。倘若怕犯糊涂，可以画个示意图，把关系找准。

要善于把锯木料、剪铁丝、上楼、敲钟问题归结为植树问题。能做到这种抽象、归类，就能选择、运用对路的数学模型。这是一种才智。让看上去简单，做起来容易出错的问题，到了自己手上就不出错。

思维训练六

1.一条路长 300 米，在路两旁从头至尾每隔 5 米栽一棵树，一共要栽多少棵树？

2.把 300 厘米长的木板锯成 50 厘米长的短木板。每锯一次要用 3 分钟，一共要用几分钟？

3.一池塘周长 150 米，每隔 3 米植树 1 棵，一共可植树多少棵？

4 .一个环形跑道长 200 米，沿周围每隔 8 米插 1 面红旗，每 2 面红旗中间插 3面黄旗。跑道周围一共可插多少面旗？

5.小昕把 7 颗贝壳放在桌上排队，每 2 颗之间相距 5 厘米。头尾 2 颗相隔多少厘米？

6.幼儿园门口摆放着一排菊花 13 盆，再在每 2 盆之间摆放 2 盆玫瑰花。一共摆放了几盆玫瑰花？

7.道路旁每隔 20 米有 1 根电线杆，连两端共有 81 根。这条路有多长？

8.将一根木料锯成 1 米长的小段，一共花了 10 分钟，已知每锯下一段要花 2分钟。这根木料有多长？

9.同学们排队做操，一排 16 人，队伍共长 30 米，相邻两人之间的距离是几米？

10.第一行里有 8 颗贝壳，相邻 2 颗相距 6 厘米；第二行里有 15 颗贝壳，相邻2 颗相距 3 厘米。哪一行的贝壳排得长？

11.旅游大厦高 20 层，每层楼梯 20 级。一旅客住第 9 层，从外面回来要走多少级楼梯才能到房间？

12.小红家住五楼，她从一楼走到三楼要 2 分钟，走到五楼，需要再花几分钟？

13.时钟 5 点敲 5 下，8 秒钟敲完。10 点钟敲 10 下需要多少秒？

14.高明到 10 楼去办事，从 1 楼到 5 楼用了 100 秒。若用同样的速度到 10楼，还需要几秒？

15.车站每隔 10 分开出一辆汽车。1 小时开出多少辆？

16.甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到 4 楼时，乙跑到 3 楼。照这样的速度，甲跑到 16 楼时，乙跑到几楼？ nfGkboCGOZ5ekvmu6FyVUwcj8HAfMU5kaUZjhvZvbK31hnMqfSFGhGSeEaWsmPCQ