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“日出而用，日落而歇”；“寒来暑往，秋收冬藏”。自然界与社会生活中有许多现象都是不断重复出现的，都是有规律可循的。
欲知这种现象长链的某个环节上发生了或将发生什么，我们常寻得变化规律，做除法，求余数。这是为了“大数化小”“小数好找（找到答案）”。这是余数的一个好用场。
【例 1】
门楼上彩灯按“三红二绿”顺序排列。第 28 只是红灯还是绿灯？第 80 只呢？
想一想
这串彩灯排列有规律，“三红二绿”5 只一组，又一组一组地连续重复出现。过一组就过了一个“三红二绿”，过几组就是几个“三红二绿”。我关心的是题设的那只灯在某组（常常是不足 5 只的残缺组）里是第几只。由这个“第几”，再在“三红二绿”里定色，那不易如反掌吗？而指示这“第几”，正是余数的功能。
做一做
28 ÷（3+2）＝5（组）……3（只）。
80 ÷（3+2）＝16（组）。
答：第 28 只灯是红灯，第 80 只灯是绿灯。
理一理
能整组整组解决的问题，我当然不一个一个地去“啰唆”。即便是我上教室数人，能三个三个地数，何必又一个一个地点！
【例 2】
庆祝会台前按“红、橙、黄、绿、蓝、紫”顺序插了一路旗共 68 面。其中各色彩旗各有多少面？
想一想
各色彩旗6 面1 组，几经重复，以至68 面，最后1 组残缺、仅有2 面（红色、橙色）。
做一做
68 ÷ 6-11（组）……2（面）。
1×11＝11（面）。
1×11+1＝12（面）。
答：红、橙色旗各有 12 面，黄、绿、蓝、紫色旗各有 11 面。
理一理
解此类题，要注意到余数表示的是“残缺小组”的成员数，要弄清这些成员的各自身份。在统计各色总数时，不可漏计“残缺小组”成员。
【例 3】
有一列数：5，8，6，5，8，6，5，8，6，……它的第 38 个数是几？这前 38 个数的和是多少？
想一想
这列数以“5，8，6”为序，三数一组，不断重复。应该考察第 38 个数位于第几组第几个。这样，它是“5，8，6”里的“几”，就一目了然了。所有“5，8，6”小组三数和都是 19，有了它，求前 38 数的和，那是水到渠成的事。
做一做
38 ÷ 3＝12……2。
（5+8+6）× 12 十（5 十 8）＝241。
答：这列数的第 38 个数是 8，前 38 个数的和是 241。
理一理
余数可以表示残缺组的成员数，又可以表示最后一个成员（或指定的某个成员）在残缺小组里是第几号成员。余数这两方面的意义，应该体会清楚，做到明白无误，正确运用。
【例 4】
平平问凡凡：“今天是星期三，再过 23 天是星期几？”请帮着算一算。
想一想
一星期是七天，星期三之后是连续不断的星期四、五、六、日、一、二、三。7 除23 取余数，再由余数的意义排定星期几。
做一做
23 ÷ 7＝3……2。
答：再过 23 天是星期五。
理一理
关于“星期”的话题不少。一个月最少有几个星期日？最多有几个星期日？一年有多少个星期？电视专题节目《幸运 52》，是说年年有 52 周（当然还得另加1、2 天），周周有幸运。不过这 52 周零 1、2 天的一年时间却可上下纵跨 53 甚至 54周呢。你知道这其中的奥妙吗？
【例 5】
1 ～58 号一扎卡片一张一张地依次发给春春、夏夏、秋秋、冬冬 4 人，36 号卡片发给谁？46 号呢？
想一想
1 ～58 号这些号头轮流派给春、夏、秋、冬，4 个号头，一个循环。36、46 号发给谁，应根据 4 除 36、46 的余数来判定。无余，即余 0，是某个循环自始至终了。
做一做
36 ÷ 4＝9（组）。
46 ÷ 4＝11（组）……2（个）。
答：36 号发给冬冬，46 号发给夏夏。
理一理
发卡片与插彩旗，情节上似乎有别，性质上完全相同。本题如果改叙成由他们 4 人从 1 至 58 轮流取号，那不就形同例 2 插彩旗了嘛！
【例 6】
8×8×8 ×…× 8（共 99 个 8 连乘）积的个位数是几？
想一想
我们不能真的把 99 个 8 乘出来解决问题。要求的是积的个位数，我们只需考察随着因数 8 的逐一增多，积的个位数的变化情况。算式中 8 的个数依次为 1、2、3、4、5、6、…时，积的个位数依次是 8、4、2、6、8、4、……，可见积的个位数以“8、4、2、6”为一个循环，节节连续。
做一做
99 ÷ 4＝24（组）……3（个）。
答：99 个 8 连乘，积的个位是 2。
理一理
我决不做一步一步把 99 个 8 相乘的积算出来这样的蠢事！因为只要确定积的个位，而不要求知这个积，所以我努力去寻找积的个位的变化规律，再做除法，求余数，判答案。
要妙用余数，首先得懂余数的双重意义（例3 的“理一理”里已有阐述）。这是正确解答这类问题的前提。而正确解答这类问题的关键是找准规律，弄清一个循环里的成员数，从而确定除数。唯有如此，才谈得上做除法，求余数。
1.一串珠子按（图13）这样自左往右排列，那么第33 颗是什么颜色？第61 颗呢？
图 13
2.电视塔上的彩灯按“红、黄、绿、蓝”的顺序排列，第 29 只、第 48 只各是什么颜色？
3.公园里的花坛种菊花，园林工人按一棵白、四棵黄、两棵紫顺次排列，第 33棵、第 63 棵各是什么颜色的花？
4.运动场上有一排彩旗，共 38 面，按 3 面红、1 面绿、2 面黄的顺序固定。这些彩旗中，红、绿、黄三色旗各有几面？
5.小毅在桌上按两枚 5 分、两枚 2 分、两枚 1 分的次序排成硬币一条龙。前25 枚硬币中 5 分、2 分、1 分的各有几枚？
6.有一列数；1，3，5，1，3，5，1，3，5，……。第 35 个数字是几？前 35 个数的和是多少？
7.数字长龙“385161713851617138516171……”中第 71 个、第 80 个数字各是几？
8 .“142857142857142857……”中第 142857 个数字是几？
9. 2000 年“六一”儿童节是星期四，再过19 天是星期几？2003 年10 月1 日星期六，10 月 25 日星期几？
10.宁老师把 1 ～67 号拼音卡片一张一张地依次发组年、华、水、刘四个小朋友。第 59 号卡片应发给谁？
11.三（1）班第 2 小队在做报数游戏。他们 9 人围成一圈，自左往右依次报数。赵艳报“1”、钱华报“2”、孙娟报“3”、李红报“4”、周桂报“5”、吴秀报“6”、郑敏报“7”、王晨报“8”、冯雨报“9”，这样每人报的数总比前一个大 1。53 是谁报的？76 是谁报的？
12.方、袁、常、翟四人玩扑克。方把“大王”插在 54 张牌中间，从上面数下去是第 37 张。常想了想，很有把握地第一个抓起牌来，最后真抓到了“大王”。你知道常是怎么算成的吗？
13. 2003 个 7 连乘，积的个位数是几？