十二、智破诸阵

爱因斯坦（1879. 5. 14—1955. 4. 18）是举世闻名的伟大科学家。他智慧而又幽默。一年暑假来临之际，学生们询问爱因斯坦新近在学术上是否有新发现。他非常神秘地说：“最近我真的有一个发现：两点之间的距离是什么？就是暑假的开端到暑假的结束。”在学生们的欢声中，他亲切地说：“祝诸位度个愉快的暑假。”

爱因斯坦成名后，仍继续为《法兰克福报》写稿。下面是他提出的一道题：图中几个圆的圆心是4 个小等腰三角形与3 个大等腰三角形的顶点，把数字1 ～9 填入圆内，使每个三角形顶点的数字和都相等。（图 68）

一些数按着一定的规则，被填在特定形状的图形里。我们称这种图形为数阵（图）。待等到我们学习研究一番之后，有了“破译”它们的规则之奥秘的真功，爱因斯坦做过的题，我们就能在笑谈之中破解了。

【例 1】

把 1、2、3、4、5、6、7 分别填入图中各〇内，使每条线段上的三数之和相等。（图 69）

想一想

中心〇内的数是重复使用在三条线段上的，其余 6 个〇内的数都只使用一次。只要上、左、右各一对数的和相等，则三条线段上的三数之和也就相等了。请看（图 70）

做一做

有如下三个基本解：（图 71）

理一理

也可以这样来找定中心数 1、4、7：

1+2+3+4+5+6+7＝28＝8×3+4

中心数一定，就全盘皆活了。

【例 2】

把 1、2、3、4、5、6 分别填入图中各小圆内，使每个大圆上四数之和都是 16。（图 72）

想一想

1+2+3+4+5+6＝21，可大圆上四数之和为 16，两个大圆上共有 16×2-32，比21 多出11 了。从哪儿多出来的？噢，是中间两个小圆内的数在两个大圆里都被计数（重复使用）了，可见 11 必为 5、6 之和。

做一做

如图（图 73）

理一理

在数阵图上“走走线”，找出重复使用的数（的和），确定交点上应该填什么，这是“破阵”的关键。

【例 3】

把1、2、3、4、5、6 分别填入图中各○内，使三角形每边上三数之和都相等。（图74）

想一想

三角形三个顶点上的数是重复使用的，三个顶点至少填 1、2、3（此时每边三数和为［（1 ＋2 ＋…＋6）＋（1 ＋2 ＋3）］÷3＝9），至多填 4、5、6，（此时每边三数和为［（1 ＋2 ＋…＋6）＋（4 ＋5 ＋6）］÷3＝12）。看来每边三数和有 9、10、11、12 四种情形。

做一做

有四个基本解如下：（图 75）

理一理

以每边三数和是 10 为例，当然这样来确定三个顶点填啥数：10× 3-（1＋ 2＋…＋ 6）＝9＝1+3+5。这里之所以取 1、3、5，而不用 1、2、6 等，那是考虑顶点三数与边中三数的“匹配”。

【例 4】

把1 ～8 八个自然数填入图中各口内，使每一横行、竖行的三数之和相等。（图76）

想一想

各行三数之和相等，那么三个“三数之和”的和必为 3 的倍数。十字中心口内的数是重复使用的，设它为a。有 1+2 ＋…＋ 8+a＝36+a，要让 36+a是 3 的倍数，这里只有取a＝3 或 6。

做一做

有每行和为 13、14 两个基本解：（图 77）

理一理

充分利用重复计算的位置的信息，常常是数阵解码的突破口所在。给这个重复位置一个未知数代码，再利用倍数关系“解码”，是我们常用的方法。

【例 5】

把 1、2、4、6 分别填入图中各空白区域内，使每个圆内四数之和都是 15。（图78）

想一想

这里 3、5、7 使用了两次（多用一次），中心区域内的数使用了三次（多用两次），其余三数备用一次。用上例“设码解码”的办法可求得中心区域内数a：（1＋2 ＋…＋ 7）＋（3+5+7）＋ 2a＝15×3，解得a＝1。

做一做

如右图。（图 79）

理一理

利用数的奇偶性破阵，更为简明。和 15 是奇数，待填四数中只有 1 是奇数，而每个圆内已填的两数和均为偶数，可见中心区域内必定填 1。

【例 6】

把 1 ～8 八个自然数填入正方形上的各○内，使每边上三数之和相等。（图80）

想一想

四条边上相等的“三数和”的和必定是 4 的倍数；所给八数和 36 是 4 的倍数。可见，各多使用了一次的四顶点上的数，（1）至少要取 1、2、3、6（它们的和 12 是 4的倍数），此时每边三数和为（36+12）÷ 4＝12；（2）至多取 3、6、7、8（它们的和 24是 4 的倍数），此时每边三数和为（36+24）÷ 4＝15。由（1）、（2）可知，本例至少有每边和为 12、13、14、15 的四个基本解。

当每边三数和为 13，分拆 13 成三数：

这样，找到了四顶点上的数为 1、2、5、8（其和是 4 的倍数），只是在填数时要注意 8 与 5 不能填在同一边（因为 8 ＋5＝13）。当然，还可以作别样分拆。

做一做

选列四个基本解如下：（图 81）

理一理

以上分拆的是每边和，由在 4 种分拆结果（用在四边上）里“重复出现”，找定四顶点填数。也可由分拆四顶点填数之和来敲定四数。不过要注意的是，分拆结果往往是多样的，当有的结果用来填图遭遇失败，应该及时调换整合。

我们已经学会抓住“关节”来破阵。

当“相等之和”已知，容易抓到“关节”。

当“相等之和”未告知，可以“设码解码”找关节。

有时，如果可能的话，我们也刻意避开“重复”（化纷繁为单纯）去求未知的“相等之和”。如爱因斯坦做过的题里，我们不在错综重叠的 7 个三角形之间纠缠，而只挑选倒置的 3 个三角形“▽”。这 3 个三角形不重复、不遗漏地涉及全部 9个数。于是可以轻而易举地求得每个三角形顶点上的三数和。

相信小朋友们能顺利拿下这个数阵。信心和勇气是积极思维的动力。

思维训练十二

1.把 1、2、3、4、5、6 分别填入各○内，使横行三数之和与竖行四数之和都等于11，都等于 12，都等于 13。（图 82）

2.把 1 ～8 八个自然数分别填入各○内，使每个五边形上五数之和都是 21。（图 83）

3.把 1 ～9 九个自然数分别填入各○内，使三角形每边四数之和都相等。（图84）

4.把 7 ～14 八个自然数分别填入各□内，使横行、竖行上的三数之和都相等。（图 85）

5.只用 2、3、5（可重复使用）填入各内，使每个三角形三个顶点上的三数之和都相等。（图 86）

6.把 2 ～9 八个自然数填入各口内，使横行五数之和与竖行四数之和相等。（图 87）

7.把 2、4、6、8、12、14、16、18 分别填入各□内，使每条横线、竖线、斜线上三数之和都是 30。（图 88）

8.把 1、2、3、4、6 填入各○内，使每条线上三数之和与每个大圆上三数之和都等于 12。（图 89）