九、兔生兔崽

中世纪意大利科学家斐波那契提出了兔生兔崽趣题：一对兔子每月生一对小兔子，而一对小兔子出生一月后就有了生育能力，两个月后生下第一对小兔。如果一月份有一对刚出生的小兔，而且这对小兔到了 3 月份生下第一对小兔，那么这一年将会有多少对兔子？

只要遵守趣题的法则，就能填出下表，得出结论。

这里得到的 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，……就是兔子数列。如今科学家已发现，自然界很多现象都同它有关，如树木生长，从种子发芽成小苗，到枝繁叶茂，也像兔子繁殖一般。

于是有人又把它称作“树枝数列”。

数列是按某种法则排列成的数的队伍，其中每一个数都叫作数列的项：是第几个数，就称第几项。数列都是有规律的，像兔子数列的规律是：从第 3 项起，每 1项都是它前面 2 项的和。研究数列，就得找出规律，再运用规律，解决问题。

【例 1】

找出下列数列的规律，再在括号内填入适当的数。

（1）4、8、12、16、20、（）、28、32。

（2）186、161、137、114、（）、（）、51。

（3）10、98、15、93、20、88、（）、（）。

（4）1、6、5、10、9、14、13、（）、（）。

想一想

要在数列里填空补缺，必须先找准规律。为此，要仔细分析相邻项之间的关系，或者各项与项数的关系。

做一做

（1）从第 2 项起，每 1 项与它前 1 项的差都是 4。可见括号内应填 24。

（2）计算相邻两项的差，依次是 25、24、23，随后这样的差应为 22、21、20。那么第 5 项应填 114-22-92，第 6 项应填 92-21＝71，末项应是 71-20＝51，符合。

（3）只像以上那样考察相邻项的差，较难发现规律，但若隔项考察，又可别开生面。把原数列分拆成两个子数列：10、15、20、（）；98、93、88、（）。不难看出前一子数列的缺项是 25，后一子数列的缺项是 83。可见原数列就是 10、98、15、93、20、88、（25）、（83）。它是由两个数列的对应项穿插复合而成的，这样的数列称作双序列数列。

（4）这也是双序列数列，两个子数列里相邻两项的差都是 4。可知两个缺项分别为 18、17。

理一理

有些数列的规律可用不同方式寻得，规律的语言表达也不尽相同。如数列（1），每一项的数值都是项数的 4 倍，于是可用乘法求得第 6 项为 6 ×4＝24。又如数列（4），可由第 1 项依次反复“加 5”再“减 1”得到。以后找数列规律，不妨多做些多种找法的思维训练。

【例 2】

填出下列数列的空项：

（1）1，3，9，27，（），243。

（2）1，2，6，24，120，（），5040。

（3）1，2，6，16，，44，（），328。

（4）0，3，8，15，24，（），48，63。

想一想

考察邻项的和、差，不见规律，就再考察邻项的积、商。还不成，就试着分拆子数列。又不是那回事，我就把各项“对序号”。好歹作多角度思考，从多方位入手，直至找出规律。

做一做

（1）1×3＝3，3×3＝9，9×3＝27，27×3＝81，81×3＝243。可见空项为 81。

（2）1×2＝2，2×3＝6，6×4＝24，24×5＝120，120×6＝720，720×7＝5040。

可见空项为 720。这其实就是“对序号”，规律是：求第几项，就用它的前一项乘以几。

（3）显然不能用（2）的方法。考察从第 3 项起，每一项与它前面两项的关系：（1+2）× 2＝6，（2+6）× 2＝16，（6+16）× 2＝44，（16+44）× 2-120，（44+120）× 2-328。空项为 120。

（4）对序号：第 1 项 0＝1×1-1，第 2 项 3＝2×2-1，第 3 项 8-3×3-1，第 4项 15＝4×4-1，…。规律是：第几项＝几×几-1。空项为 6×6-1＝35。

理一理

比较数列（2）与（3）可知：仅仅考察前三项，就武断“规律”，是不稳妥的。要稍多考察一些，并应将找得的规律在数列的后继部分作查验（抽查）。

【例 3】

0，1，2，3，6，7，14，15，30，___，___，___。

上面这个数列是涅涅按照一定的规律写下来的，他第一次写出 0，1，第二次写出 2，3，第三次接写 6，7，第四次接写 14，15，……这个数列最后 3 项的和应是多少？

想一想

涅涅是用每次写出两个数的方法写出该数列的。我们在考察它时，应该两项、两项地分组，再去分析各组内的共同规律和组间的相互关系。

做一做

将数列分组，两项一组，前 4 组是（0，1）、（2，3）、（6，7）、（14，15）。显见组内两数差总为 1，相邻两组的关系是：后一组的第一个数总是前一组的第二个数的 2倍。所以后继两组应为（30，31）、（62，63）。这里给出了数列最后 3 项：31、62、63。它们的和是 31+62+63＝156。

理一理

通常在数列规律不明显时，将它的项适当分组，往往能收到很好的效果。

【例 4】

在（图 53）中各数间存在某种关系。请按这种关系求出a与b。

想一想

看图中 5 圆，环形排列的相邻 2 圆都有一个公共区域。

图中的区域恰可分成两类：一类只属于 1 个圆，另一类同时属于 2 个圆。比较这两类区域里所填入的数，可以找出它们相互间的关系。

做一做

考察相邻两圆里只属于 1 个圆的区域与同属于 2 个圆的区域内所填的数之间的关系：（10+20）÷ 2＝15，又（20+40）÷ 2＝30，即两圆公共区域内的数是它两旁的只属一圆的两个区域内的数的平均数。

于是，a＝20×2-16＝24（或a＝17×2-10）。

b＝（16+40）÷ 2＝28。

经查验，无不妥。

理一理

分析图上填数规律，要留意图上区域的不同属性，从图形结构与位置关系方面作考查。

【例 5】

在下面各题的5 个数中，划去与其他4 个数特征不同的数，并从括号内选1 个合适的数替换。

（1）42，20，18，48，24。（21，54，45，10）

（2）15，75，60，45，27。（50，70，30，9）

（3）42，126，168，63，882。（27，210，33，25）

想一想

应考查5 数中某4 数的共同特征，这个特征是另1 数所不具备的。同时，这个特征在括号内的 4 数中又仅仅是某 1 数具备，其余 3 数又都不具备的。

做一做

（1）42，18，48，24 都是 6 的倍数，而 20 不是。同时在括号内只有 54 是 6 的倍数，其余不是。因此，划去 20，以 54 替换。

（2）15，75，60，45 都是 15 的倍数，而 27 不是。同时在括号内只有 30 是 15 的倍数，其余不是。因此，划去 27，用 30 替代。

（3）42、126、168、882 都是 42 的倍数，而 63 不是。同时在括号内只有 210 是42 的倍数，其余不是。因此，划去 63，换上 210。

理一理

上例中的（3），完全可以“降格以求”：看 5 数中有 4 数都是偶数，另 1 数不是，又括号内只有 210 为偶数，其余不是。这样亦可得出相同答案，而难度降低了。用同样的方法考查上例的（2）：5 数中有 4 数是奇数，另 1 数不是，又括号内只有 9为奇数，其余不是。于是得出用 9 换下 60 的不同答案。这个答案也该得到承认。

另一方面，上例的（2），如果我们一开始发现了前 4 数都是 5 的倍数，只有第 5数不是，而括号内却有 3 数都是 5 的倍数，无法从中选数的话，那么可以立即“升格”考查“是不是”15 的倍数”。总之，解题时，我们的思想是逐步到位的，不要因遇暂时困难而一筹莫展，要及时变换角度，调整策略。

【例 6】

有一列数：1，1989，1988，1，1987，……

从第三个数起，每一个数都是它前面的两个数以大减小所得的差。那么，第2004 个数是多少？

想一想

按数列形成方法去一项一项地摸到第 2004 项，是不可取的。应再写出一些项，设法研究数列的规律，利用它大跨度地计算出第 2004 项。

做一做

观数列 1，1989，1988，1，1987，1986，1，1985，1984，……发现连续 3 数中有 1 个1，划去全部的 1 之后，便得一新数列：1989，1988，1987，1986，1985，1984，……它是一个每次减少 1 的递减数列。由于 2004÷ 3＝668，原数列的第 2004 项在新数列里是第 2004-668＝1336 项，它应该是 1989-（1336-1）＝654。

理一理

此例若作如下分组：（1，1989，1988），（1，1987，1986），（1，1985，1984），…，找出各组第三数递减 2 的规律，也可求解。解作：1988-（2004 ÷ 3-1）× 2。

总之，有一些数列作适当分组（分拆也是一种分组），是对找规律能收到很好效果的方法。至于怎样分组，那可因题而异，“客随主便”了。

对于数列，一般由相邻两项的和、差、积、商找排列规律。有时把数列分组、分拆，再作考察。有时还要像例 2 之（3）那样，考查与其他（甚至不止）两项的关系。有的数列的规律，可由不同角度用不同办法找到，规律呈现的语言样式也可不一。如例 2 之（4），也可由相邻两项的差一一排列成一新数列：3，5，7，9，11，13，15。这样由 24+11＝35 求得空项。还可把题设数列作如下“分裂”：0×2，1×3，2×4，3×5，4×6，5×7，6×8，7×9（这里的每一项是 0，1，2，3，4，5，6，7 与 2，3，4，5，6，7，8，9 两数列的对应项的乘积）。这样，就可由 5 ×7＝35，求得空项。一句话，找规律时要善于发散，看出门道：要动员自己，活跃思维。

思维训练九

1.找出各组数的排列规律，然后填空。

（1）3，7，11，15，19，（），（），（）。

（2）1，2，4，8，16，（），（），（）。

（3）2，6，18，54，162，（），（），（）。

（4）1，4，9，16，25，（），（），（）。

（5）2，3，5，8，12，（），（），（）。

（6）5，7，11，17，25，（），（），（）。

（7）2，3，5，9，17，（），（），（）。

（8）1，8，27，64，125，（），343。

（9）2，9，3，8，4，（），5，6，6，5。

（10）1，2，5，10，17，（），37，50。

2.下列各题括号内二数按一定关系组合，请在□内填入适当的数。

（1）（8，7）、（6，9）、（10，5）、（□，13）。

（2）（2，3）、（5，9）、（7，13）、（9，□）。

（3）（18，10）、（10，6）、（20，11）、（□，4）。

3.有一列数组：（1，5，9），（2，10，18），（3，15，27，…求第 50 个数组内三数之和。

4.数列 1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…中第 101 个至第 110 个数的和是多少？ /gl2USkJ5vAayaTFxrWHugtfrp0E5lk+o1VCgjoip3Km1lBkA588hzuyLFVo83ON