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著名德国物理学家、数学家高斯，青少年时代就有独特钻研精神，学习成绩优异，智慧过人。出于嫉妒，有同伴动足脑筋想出难题，要当众出他洋相。这天，几人在大街上拦住高斯，把薄玻璃瓶举到他面前，瓶口塞紧了，塞子上用棉线悬空吊着一枚钱币在瓶中；他们要高斯不破瓶子，不拔塞子，把瓶中棉线弄断。高斯很恼火，但问题吸引了他。围观的人越来越多。那天天气晴朗，高斯抬头见阳光刺眼，说道：“太阳会帮我忙。”只见他拿出放大镜，让阳光通过它照射棉线。不一会，“当啷”一声，瓶中线断币落。人们拍起手来：高斯有办法！
1785 年的一天，老师在班上出了一道题：“把 1 到 100 的自然数加起来，和是多少？”出生于自来水工人家庭的 8 岁小高斯很快报出了得数。这使老师非常吃惊。
那么，高斯是采用什么办法来巧妙计算的呢？为使同学们清楚而自然地理解高斯算法，我们先来看一道简单的题目。
【例 1】
计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9。
想一想
这些加数是依次等差的。这一特性，我要好好利用。
做一做
方法一（图 46）
图 46
1+2+3+4+5+6+7+8+9＝（1+9）× 4+5＝45。
方法二（图 47）
图 47
1+2+3+4+5+6+7+8+9＝9×5＝45。
方法三
1+9、2+8、3+7、4+6 都配得 2 个 5。于是，1+2+3+4+5+6+7+8+9＝
5×9＝45。
方法四
理一理
这些方法都是“配对求和”。凡是依次等差的若干个数相加，都可以这样求和。配对求和时，要仔细观察、慎重断定的是：配几对啊？有零头吗？
【例 2】
计算：1+2+3 ＋…＋ 98+99+100。
想一想
这一百数是依次等差的，可以配对求和。设百数和为S，有：
做一做
1+2+3 ＋…＋ 98+99+100＝（1+100）× 100 ÷ 2＝5050。
理一理
这就是高斯的巧妙算法，经典的配对求和。
【例 3】
计算：11+12+13 ＋…＋ 18+19。
想一想
首尾配对成 4 对半（4 个 30 加中间数 15）。颠倒配对成 9 对，和取半。
做一做
11+12+13 ＋…＋ 18+19＝（11+19）× 9 ÷ 2＝135。
理一理
（1）此例加数个数为奇数，可以“移多补少”，配成 9 个中间数。即 11＋ 12＋13 ＋…18+19＝15×9＝135。
（2）对于起点数较大的配对求和题，可以用“分拆重组”的方法简化计算。如11+12+13 ＋…＋ 19＝10×9 ＋（1+2+3 ＋…＋ 9）＝135。
【例 4】
场子上叠堆着一垛电线杆，共有 30 层，第 1 层有 15 根，第 2 层有 16 根，…，每下 1 层就增加 1 根。这一垛电线杆共有多少根？（图 48）
图 48
想一想
这里各层电线杆根数是依次等差的，求根数总和即求 15＋ 16＋ 17＋…＋44。
做一做
15+16+17 ＋…＋ 43+44＝10×30 ＋（5+6+7 ＋…＋ 34）＝885（根）。
答：这垛电线杆共有 885 根。
理一理
30 个连续自然数相加，第一个数是 15，最后一个是几？这是一定要弄准的。不能错成 15＋ 30＝45。要是怕错的话，笨办法有二：1.扳指头从 15 起数 10 个数，得 24。——那么最后一个数该是 44 而非 45。2.这样找规律，定末数：第 1 层 1 ＋14-15，第 2 层 2+14-16，第 3 层 3+14-17，……，第 30 层 30+14＝44。
【例 5】
奇奇把 55 枚棋子放在一些盒子里，第 1 盒放 1 枚，第 2 盒放 2 枚，第 3 盒放 3枚，……，最后恰好把棋子放完。这些盒子一共有多少个？
想一想
由奇奇放棋子的方法可知，只要从 1 加起，加数依次增加 1，一直加到某个自然数，它们的和正好是 55，那么这些加数的个数就是盒数了。
做一做
先试算，再调整，直至完成：
1+2+3+4+5+6＝21，1+2+3+4+5+6+7+8＝36，
1+2+3+4+5+6-7+8+9+10＝55。
可见这些盒子共有 10 个。
理一理
以上做法朴实有效。如能熟记 1+2+3+4+5＝15，1+2+3 ＋…＋ 9＝45 等结果，那常会带来方便。
要是能从配对求和算式受到启发，由 55＝11×5＝（1+10）× 10 ÷ 2＝1+2+3＋…＋ 10 知有 10 个盒子，那更高级。
【例 6】
计算：（2+4+6 ＋…＋ 100）-（1+3+5 ＋…＋ 99）。
想一想
被减数、减数都可配对求和，再减不难。但我看出被减数的 50 个加数都分别比减数里对应的加数大 1，简单！一眼就能看出得数。
做一做
（2+4+6 ＋…＋ 100）-（1+3+5 ＋…＋ 99）＝（2-1）＋（4-3）＋（6-5）＋…＋（100-99）＝50．
理一理
配对求和的常规解法，要熟。打破常规，见机行事，要敢！
配对求和其实是变连加为乘。这种方法对求依次等差的一串数之和有效。
要用好这种方法，该对一串数合理配对。有时一串数的个数虽为偶数，也可把其中某两数先撂在一边，将其余数配对，使每对数的和恰是整十整百。如 12＋13+14 ＋…＋ 28+29，可将 12、28，13、27，14、26，…，一一配对，最后把撂下的 20 ＋29 加上。这样做是为简化计算；如若对简算无益，就不必追求了。例 3 的“理一理”给出的是简化的计算的另外两种情形。
配对求和要不错，还应弄清一串数能配多少对。一般地，配成的对数＝数的个数÷ 2。
至于例 6 的做法，那是值得称道的。它打破了常规的“配对求和”的思维定势，机动巧妙地把两和相减改成了别样的“配对（差）求和”，简捷明快，表现出极大的灵活性。思维的敏捷性、灵活性，是很高贵的品质，应大力培养。
1.计算：1+2+3+4 ＋…＋ 28+29。
2.计算：11+12+13 ＋…＋ 29+30。
3.计算：2+4+6 ＋…＋ 98+100。
4.计算：1+3+5+7 ＋…＋ 89。
5.计算：40+41+42 ＋…＋ 61。
6.计算：2+6+10+14 ＋…＋ 198。
7.从 5 起的一串数，后面一数比前面的大 5，最后一个数是 90。求这串数连加的和。
8.嘟嘟从 7 岁起每年参加植树。7 岁那年他种下第 1 棵，以后每年都比前一年多种 2 棵。他到 16 岁那年，一共种了多少棵树？
9.一堆圆木共 16 层，第 1 层有 7 根，以下每层比上一层多 1 根。这堆圆木共有多少根？
10.体育馆的A3 区共有 20 排座位，排成梯形。第 1 排 10 个座位，第 2 排 11个座位，……个体育馆的A3 区共有多少座位？
11.夏日夜晚 10 点蝉出洞后爬树，第一小时爬 5 厘米，以后每小时比前一小时多爬 8 厘米。第二天早上 6 点，它能在多高的地方唱歌了？
12.有一挂钟，一点钟敲 1 响，二点钟敲 2 响，……十二点钟敲 12 响，每半点钟也敲 1 响。这挂钟一昼夜共敲多少响？