第一节
数学教师的专业知识

21 世纪的中学数学教师要在多层次、多方位的理论上，具有较广、较深、较丰富的数学知识。所谓“多层次”，是指中学数学教师不仅要精通中学数学，还要掌握高等数学以及现代数学知识；所谓“多方位”，是指中学数学教师不仅要精通上述纯数学，还要懂得数学是一门有悠久历史的科学，在社会生活中数学涉及人类文化的每一个角落，数学不仅是理论研究成果构成的大厦，而且是一种活动与过程。为此，我们把数学教师的专业主体知识分为两部分：作为传授任务而被传授的那部分知识，即数学；为完成知识传授的任务所必需的另一部分知识，即教育理论。

狭义的数学知识即苏联当代著名教育家斯托利亚所说的“数学活动的结果”，这是作为中学数学教师所必须掌握的。首先，要精通中学数学，通晓中学数学的全部内容，切实掌握这些基础知识的结构和理论体系，正确把握其重点和难点，能正确、敏捷、综合、灵活地解题；系统掌握这一层次的数学基础知识，是胜任中学数学教学的起码要求。其次，要掌握与中学数学教学直接有关的高等数学知识，如解析几何、数学分析、高等代数、高等几何等，它们既体现着中学数学的自然延伸和发展，又对中学数学教学具有实际指导意义；掌握这些知识能使中学数学教师形成正确的数学观念，有助于其居高临下地认识中学数学教材，推动中学数学教学研究和改革。最后，由于科学技术的迅猛发展，中学数学教师要了解数学研究的新动态，不断充实和更新自己的知识结构，提高业务水平。

广义数学知识即数学活动过程，现代教学论认为，数学教学是数学活动的教学，数学教学不仅要反映数学活动结果，而且要注意展现得到这些结果的数学思维过程。因此，作为 21 世纪的中学数学教师，不仅要精通数学基础理论，即掌握“数学活动的结果”，而且还要掌握“数学活动的过程”。

在数学的历史上，数学的重要概念、方法等都曾经历了缓慢的发展时期，在这个过程中蕴含着许多数学思想方法、科学家的趣事等。因此，作为 21 世纪的中学数学教师应该对该学科的历史有一定了解。了解世界数学发展的大致脉络和初等数学发展史，了解数学发展史和当代数学家的生平和数学成就等，以加深对数学的演变和发展的认识，从而使自己在数学教学过程中，适时利用数学史材料对学生进行爱国主义、历史唯物主义、献身科学的精神等方面教育。

应用数学知识，当前数学教育普遍存在着所学数学知识脱离实际，学会了数学到社会用不上。而现今社会不论哪个行业，都可以从中发现应用数学的足迹，中学毕业后，一部分学生将继续升学，另一部分学生将走向社会，不论去向如何，学生都期望自己所学的知识能有用武之地。这就要求中学数学教师在自己的主体专业知识中，让应用数学占有相应的比重，注意搜集日常生活中与数学有关的信息，如球赛场次、社会保险、储蓄利率、工商纳税、环境保护、股市走势图、房地产价值变化示意图等。使自己在教学中，能结合实际，培养学生学数学、用数学的能力，从而去解决目前面临的或今后将要遇到的一些实际问题。

数学思想方法在数学中占有十分重要的地位，任何数学问题的解决无不以数学思想为指导，以数学方法为手段，它是培养有能力、有创造性人才的关键，因此，中学数学教师要掌握中学数学中的数学思想方法，如化归原则、变换原则、数形结合、特殊化、一般化、分解与组合、构造、字母代数、方程与函数、集合与映射、优化等数学思想方法。了解数学思想方法的几次重大转折：从算术到代数、从综合几何到几何代数化、从常量数学到变量数学、从必然数学到或然数学、从明晰数学到模糊数学、从手工证明到机械证明，进而全面了解数学思想方法演变历史及其规律，在数学教学过程中，如概念形成过程、思路的探索过程、规律的被揭示过程等，适时渗透思想方法，使学生体会数学的精神思想和实质内涵。

日本数学家米山国藏曾说：“对于学生们而言，作为知识的数学，通常是出校门后不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，那些深深地铭刻于头脑中的数学的精神、思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等都随时随地地发生作用，让他们受益终身。”因此，数学精神、数学理性、数学思维方法是一位合格的数学教师必备的素养和关注的重点，在教学过程中，不仅要教给学生知识，并且要教给他们技能、思维方法和有条不紊的工作习惯。

同时，在新课程理念下，在世界数学教育改革中，整体意识、数学建模、问题解决、数学学习心理、数学核心素养等又对数学教师提出了新的要求。

一、辩证思维与整体观点

辩证思维就是以辩证的（联系和矛盾的）观点看待客观事物和人类思维，其实质在于“辩证”二字。主要体现为：第一，具体性。即辩证思维必须是具体思维，辩证思维形式必须体现对象的多样性的统一。第二，系统性。即辩证思维必须是全面的、系统的思维，必须是对事物多形态、多侧面、多关系、多层次的综合把握。第三，灵活性。即辩证思维必须是综合把握事物发展趋势的思维，必须体现对象运动的灵活性与确定性的统一。概言之，辩证思维就是具体的思维、全面的思维和灵活的思维。

整体思维是辩证思维的重要形式，系统整体观点，就是在力求考查事物整体系统的基础上，居高临下，分析把握事物各局部变化特征及在整体中的作用，从而获得事物的整体知识，把握事物的总体规律。抓住事物的本质，用全面的、运动的、发展的眼光去分析问题、解决问题，可促进思维深刻、全面而辩证。把这一思想用于单元知识教学，要求教师从完整的单元知识体系出发，综合、动态地把握整体中各组成部分或知识点在单元知识体系中的作用。因此，整体观点指导下的数学复习更有效，由于数学复习是学生在已经具备了初步数学知识和方法的基础上，进行综合与提高的再学习，学生的思维素质、思维材料都为整体思维训练提供了最佳环境。

数学复习一般包括三个步骤：数学概念（定义、公式、定理等）的梳理、数学知识与方法的综合与应用、数学解题训练。运用联系、运动变化和发展的整体思维观点控制数学复习的三个环节，明显地改变了过去单纯的应试教育模式，提高了学生的数学素质，有效地形成良好的数学认知结构。

（一）用联系的观点看待数学概念，使数学知识连成块

数学概念的发展有其自身的规律，教材在排序上遵循递进的原则，比较适合初学者的思维规律，但在纵向联系上缺乏可逆性，在复习中则可打破这一界限，从某概念出发去联系数学中的任何概念，使所有的数学概念形成一个整体，构成一个知识的集成块，下面以映射概念说明之。

案例：集合的映射往往因为不易被学生理解或考纲要求不高而在教学中不被重视，不做深究。但作为现代数学基本概念，它与集合一样重要，在数学概念中起统帅作用。

联系Ⅰ（映射与函数概念）：用映射定义函数比较抽象，但只要用例子来说明就不难理解，设

对应关系f：x→sinx=y，x∈A，y∈B，是集合A到B的一个映射，象的集合C= ，这个映射就是以集合A为定义域，集合C为值域的函数。

联系Ⅱ（映射与排列组合概念）：任何一个排列都是元素的集合到位置集合的一个映射，反之亦然。如集合A=｛a，b，c｝到集合B=｛m，n，p｝的一一映射，可把集合B中的 3 个元素看成 3 个位置，集合A中的 3 个元素看成被取元素，这样的一一映射的个数即为 3 个元素 3 个位置的全排列数 。如果考虑所有映射，除了一一映射即B中的 3 个元素都有原象外，还有 1 个、2 个元素有原象的两类排列，其映射个数分别为 ，这样共有 27 种不同映射。

联系Ⅲ（映射与概念应用）：在数学问题解决中，最本质的就是寻求问题与原有概念（包括结论）的映射关系。广义上讲，任何两个数学概念或问题均可建立起多次的映射关系而连通，用这个观点去认识数学概念，就形成了数学思维全方位的“信息网络”，数学的知识点不再是孤立的，而是整体联系的。

（二）用发展的观点进行解题训练，使原有的数学思想与方法不断深化与提高

数学复习离不开解题，解题并不需要搞题海战术，而是要通过解一题发展一片，或是数学思想的深入，或是数学方法的推广，甚至是学科分支的跨越，如数与形的结合、一般化与特殊化、构造法等都是常见的解题后发展的思想方法。

案例：比较log ₁₉₉₃ 1994 与log ₁₉₉₄ 1995 的大小，解答时，可考虑它的简单情况log ₂ 3＞log ₃ 4。

类比即得log ₁₉₉₃ 1994 ＞ log ₁₉₉₄ 1995，问题解决后再推广。

（1） ；

（2）a ＞ 1，d ＞ 0 有 ；

（3）若b ＞ a ＞ 1，d ＞ c ＞ 1，a ＜ c且 ，则

这里，我们再从求等差数列通项公式的另一种方法（教材采用的是归纳法）——阶差法出发，来探讨一下解题方法的发展。

对于等差数列有a _n -a _n-1 =d，那么，利用阶差法 ＝ ＋（n-1）d，由此可来解决下列问题：

（高考题）设｛a _n ｝是正数组成的数列，其前n项和为S _n ，并且对于所有的自然数n，a _n 与2 的等差中项等于S _n 与2 的等比中项，（Ⅰ）求数列的通项公式；（II）令 ，求 。

解：由题意 得 ，

则

整理得

故

故

又 为 的阶差数列。

则

一般地，数列｛a _n ｝可由递推数列｛a _n -qa _n-1 ｝来表示的均可类似地求通项

特别地，等比数列的递推关系为 ，则它的通项为

上述是笔者运用整体思维观点控制数学复习过程的一孔之见，还很不完善，有待进一步探究。

过去的数学教学大纲明确规定了“提高学生思维能力”的教学目的。数学辩证思维作为思维能力的最高级、最活跃、最富有创造性的成分是高中数学素质教育的基本构成成分之一。进行辩证思维训练理所当然成为数学教学研究与数学教育改革的热门话题。

（三）形成辩证思维观念训练

复数是进一步学习微积分、复变函数的基础。无论是数学知识结构还是数学思想方法都是在中学阶段进行辩证思维训练的最好的材料，以复数教学进行辩证思维训练可使学生的思维形成单向型与多向型、封闭型与开放型、静态型与动态型的辩证统一结构，完善思维方式和思维品质。

复数教学中的辩证思维训练是以复数知识与复数方法为材料，包括思维观念、思维形式及思维策略等方面的训练。

辩证思维观念在复数中突出表现为矛盾性、运动性、整体性等特征。

（1）矛盾性。数的发展是数内部矛盾激化的结果，对复数概念的引入可用方程解的观点来揭示其矛盾的过程，如x-1=0 在自然数集上有解，而x＋1=0 在自然数集上无解，从而引入负数，导致由自然数集扩展到整数集；x ² -2=0 在有理数集上无解，而引入无理数导致实数集的产生；x ² ＋1=0 在实数集上无解，而引入虚数，导致数的概念扩大到复数集。在复数运算中，代数形式基本可以按实数内的多项式运算进行，但做乘除法及高次幂运算很烦琐，因而引入复数的三角形式。这种矛盾不断产生不断解决的过程贯穿复数教学的始终。

（2）运动性。如前所述，复数是在实数的基础上发展起来的，在教学中利用数的性质揭示数的空间性，从而反映数的运动性。实数可建立与某一直线（如数轴即一维空间）上点的一一映射关系，这样具有有序性及运算的封闭性，而复数与实数对（二维空间）构成对应关系，不再具备有序性，而突出了运动性。这种运动性在复数运算、应用中无时不表现出来。

（3）整体性。复数集代数、几何、三角、矢量数学于一体，诸如“模←→绝对值←→距离”“复数←→点←→向量”等系统把数学各分支串成链，在复数应用中特别活跃。复数在数学中的显要地位，决定了复数的统帅作用，复数的联系性与多向性完善了各种数学对象的横向与纵向的网络，并且不断被引申和推广。

（四）掌握思维辩证策略训练

以简驭繁，用简单的观点来看待和处理较复杂的形式，是抓住形式表现的数学本质及辩证关系，寻求问题解决的最佳途径。

案例：若复数z满足（z＋1） ^{2 n} ＋（z-1） ^{2 n} =0，求证：z必为纯虚数。

若将复数z的代数形式或三角形式代进去，相当困难。但由条件得（z＋1） ^{2 n} ＝-（z-1） ^{2 n} ，取模

，即得 ，

由性质有 ，

化简得 ，

Re（z）=0.

以退求进，复数解题中有时需要从一般向特殊后退，从抽象向具体后退，从高维向低维后退，从强命题向弱命题后退，进而归纳、类比、联想，以求问题解决。

案例：在复平面内，正n边形两个顶点Z _p ，Z _q （p ＜q）所对应的复数为z _p ，z _q ，求其他顶点所对应的复数。

解决此问题，我们要想到它的特殊情况：在复平面内，正三角形按顺时针方向的两个顶点Z ₁ ，Z ₂ 对应的复数为z ₁ ，z ₂ ，则按顺时针方向的第 3 个顶点Z ₃ 所对应的复数为

对于正n边形的按顺时针方向的两个相邻顶点所对应的复数为 ，由于它的内角为 ，则按顺时针方向的第 3 个顶点所对应的复数为

同理第 4 个顶点所对应的复数为

第k个顶点所对应的复数为

不妨假设，Z _p ，Z _q 是正n边形按顺时针方向的第p、q个顶点，则

从而z _p＋1 ＝

因此，正n边形按顺时针方向的第k个顶点所对应的复数

对于逆时针方向的情况可类似解。

数形相助（促），复数在反映数量关系和空间图形的联系方面表现尤为突出，在解复数问题中，要把它的条件与结论的数式结构与形态结构广泛地辩证地结合起来，迅速形成正迁移。

案例：已知复数z满足 ，求 取最大值和最小值时的复数z。

如果直接从式子计算相当烦琐，但从它所反映的几何图形结构入手非常简洁。

如图1-2 所示，Z点的集合是在复平面上以（3，4）为圆心，2 为半径的圆及圆内所有点。

由三角形中线公式 ＝ =2（1＋ ，

而 取最大值和最小值分别为 7 和 3，即圆心与原点连线及延长线所交圆周上的点即为所求。

故取最大值时复数 ＋ ，取最小值时复数 ＋isin（arcsin 。

变通化归。化归法是一种独特思维方式，把复数问题化为实数问题，使生疏问题变为熟悉问题。

案例：解方程

因求出 即可求出z，z= ，原方程化为实数方程，平方化简得 。

动静转换。复数题常有以动求静或以静求动、局部调整、整体观察，达到对某些处于运动或静止的状态相互转化。

案例：已知复数z满足 ，复数w满足

，求 的最大值和最小值。

z、w所对应的点分别在圆和椭圆上运动，且相互无依赖关系，即z、w是相互独立的变量。要确定 的最值，必须相对固定某一变量。如果椭圆 ＋ 上的点相对固定，则问题可局部解决：

将椭圆方程化为参数形式，即

点（3＋ cosθ，2sinθ）到圆心（3，5）的距离为

最大值 ，最小值 ，因此 的最大值为 ，最小值为 。

合理划分，在复数中的逻辑划分中时常遇到，在划分中要选好划分标准。合理划分，既不重复又不遗漏，还要简洁。

案例：设a ≥ 0，在复数集上解方程 。

如设z=x＋yi，涉及复数实部、虚部，无疑麻烦。但变形方程 则z为实数或纯虚数。

（1）当z为实数x时，方程为 ，故 ，因此 。

（2）当z=yi（y ∈R，y ≠ 0）时，方程为 ：

当 时， 当 0 ＜ a ≤1时， =1 ± ；当a ＞ 1 时无解。

二、数学建模与问题解决

数学建模是指通过对实际问题的抽象、简化、确定变量和参数，并应用某些规律，建立起变量、参数间的确定的数学问题，求解该数学问题，解释、验证所得到的解，从而确定能否用于解决实际问题的多次循环，不断深化的过程。如设计产品参数、规划交通网络、制订生产计划、预报经济增长、确定投资方案等，都需要将研究对象的内在规律，用数学的语言和方法表达出来，并将求解得到的数量结果返回到实际问题中去。建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。在这一过程中，要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。这就需要一定的数学基础、敏锐的洞察力和想象力以及对实际问题的浓厚兴趣。

数学建模活动对于提高学生综合素质、培养创新精神与合作精神、促进教学改革起着重要的推动作用。对学生意志力、洞察力、想象力、自学能力、数学语言翻译能力、综合应用分析能力、科技新成果的使用能力等均有不同程度的培养和提高。数学建模是理论与实践之间的一道桥梁，是发现问题到解决问题的重要途径，是培养抽象思维乃至发散思维的有效手段，是实施素质教育的最好途径。

因此，全体数学教育工作者要展开对数学建模教学的讨论，并付诸教学的实际操作中，以适应当今社会大环境和未来数学素质教育的需要。

（一）数学建模

数学建模（Mathematical Modelling）是一种数学的思考方法，即对现实的现象通过心智活动，抓住其重要且本质的特征，并用数学符号加以表示。从科学、工程、经济、管理等角度看数学建模就是用数学的语言和方法，通过抽象，简化建立能近似刻画，并解决实际问题的一种强有力的数学工具。

顾名思义，“modelling”一词在英文中有“塑造艺术”的意思，从而可以理解从不同的侧面、角度去考察问题就会有不尽的数学模型，从而数学建模的创造又带有一定的艺术特点。而数学建模最重要的特点是要接受实践的检验，要经历多次修改模型渐趋完善的过程，数学建模是运用数学模型解决问题的一个侧面，即把工业、农业、科学技术、商品经济及日常生活中所遇到的有关现象或过程归纳抽象成数学模型并加以解答，由此可见数学建模的过程即是问题解决的过程。

案例：我们不妨再看看北京中学生进行的数学建模——《卖报问题》：

米嘉同学的姥姥离休在家，平时无事可做，便和家里商量，想自己卖报纸。谁也没有想到卖了一个月之后，收益并不太理想，有时甚至赔本，并且经常出现报纸卖不出去堆积在家中或报纸卖完了却还有人要买的情况。姥姥为此事着急，米嘉也经常安慰老人，并一直想找到原因之所在，因此他找到几个同学，说了此事。在他们反复琢磨，认真分析，并统计了每天卖报纸的情况之后，决定用数学模型来解决这个“卖报问题”。

（1）时间：1999 年 1 月 1 日至 1999 年 1 月 31 日。

（2）地点：北京市西城区北太平庄立交桥附近地区。

（3）调查对象：米嘉同学的姥姥每日卖报纸的情况。

（4）调查目的：通过调查的数据，建立数学模型，计算出卖报者在一个月中订多少份报纸为最佳选择，并能够获得最大的收益。

（5）调查数据：米嘉同学的姥姥从报社买进报纸的单价为 0.24 元/份，卖出的价格为0.40 元/份，卖不完的报纸还可以以0.08 元/份的价格退回报社，但是在一个月之内，米嘉同学的姥姥每天从报社进的报纸的份数必须相同。因为报社规定，销售报纸的人在一个月内每天必须订购相同的报纸份数，在此期间，不可随意更改订购的份数。

由以上的各项数据，他们可以参照性地决定每月每天应该订购多少份报纸，才能获得最高收益。

因此，他们设米嘉同学的姥姥每天订购x份报纸，每月亏损额为f（x），即当f（x）最小时，米嘉同学的姥姥卖报纸获得的利润额最多；又因为通过对数据的分析，他们发现总计需要的报纸数量多集中在 130～ 160 份之间，所以他们可以近似地认为 1999 年 1 月 1 日至 1999 年 1 月 31 日的这 31 天里，每日卖报纸的总数为130 ～ 160 份的情况各出现一天（表1-1）。

所以可以得出（见表1-1），因报纸未卖完而亏损的金额：

（0.24-0.08）｛（x-130）＋（x-131）＋（x-132）＋……＋［x-（x-1）］｝，因报纸卖完但仍有需求而亏损的金额：

（0.40-0.24）｛（160-x）＋（159-x）＋（158-x）＋……＋｛（x-l）-x］｝.

由此可以得出以下的式子：

f（x）=（0.24-0.08）｛（x-130）＋（x-131）＋（x-132）＋……＋［x-（x-1）］｝＋（0.40-0.24）｛（160-x）＋（159-x）＋（158-x）＋……＋［（x＋l）-x］｝；

f（x）=（0.24-0.08）｛（x-130）［x-131＋x-（x-1）］/2）＋（0.40-0.24）｛（160-x）［160-x＋（x＋l）-x］/2｝；

f（x）=0.16｛（x-130）［x-130＋x-（x＋l）］/2｝＋0.16｛（160-x）［160-x＋（x＋1）-x］/2｝；

f（x）=0.16［（x ² -259x＋16770＋x ² -321x＋25760）/2］；

f（x）=0.16（x ² -290x＋21265）；

设x ² -290x＋21265=t，

即x ² -290x＋21265-t=0

因△≥0，

可得△=2902-4（21265-t）≥0

即 84100-85060＋4t≥0

4t≥960

t≥240

当t=240 时，f（x）有最小值，即 38.4 元；

此时x值为 145 份，即米嘉同学的姥姥每日订 145 份即可获得最大利润680.80 元。

误差分析：

由于他们的假设欠适度，并且数据统计有误差，所以主观地造成了误差。

又由于卖报纸受客观条件的影响，如购买者、天气、环境等，所以又造成了误差。

结论：

他们通过较为合理的数学模型，最终提出了米嘉同学的姥姥每日订 145 份或接近 145 份报纸即可获得最大利润。（最大利润额近似为 680 元/月）

反馈：

他们把所推出的结论告诉了米嘉同学的姥姥。她欣然地接受了建议，于是抱着试一试的心态在 1999 年 2 月 1 日至 1999 年 2 月 28 日期间进行了尝试，结果这个月比以往任何一个月的利润都高。

由此可见，中学生数学建模通常是采集“数据”→建立模型→数学推理→得出结论→解决问题。

（二）数学建模教学

数学建模是在数学教学中贯彻应用性原则的重点体现，也是数学素质的基础，因而应从提高受教育者的数学意识的角度出发，把数学建模贯穿到数学概念的建立、数学解题及效果评价的始终。

数学建模是一种十分复杂的创造性劳动，现实世界中的事物形形色色，五花八门，不可能用一些条条框框规定出各种模型如何具体建立，因此，在数学建模教学中要把握下列一些步骤和原则：

（1）模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息。

（2）模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做必要的、合理的假设，使问题的主要特征凸显出来，忽略问题的次要方面。

（3）模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系并问题化。

（4）模型求解：利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要做出进一步的简化或假设。解决数学问题，注意要尽量采用简单的数学工具。

（5）模型分析：对所得到的解答进行分析，特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定。

（6）模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较，看是否符合实际，如果不够理想，应该修改、补充假设，或重新建模，不断完善。

（7）模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，并不断改进和完善。

（三）问题解决教学

20 世纪 80 年代以来，国内外数学教育的经验证明，实施问题解决是数学教学改革的一个突破口，那么数学教师首先适应和掌握问题解决的真谛，就显得尤为重要了，笔者在中学数学教师继续教育课程培训中，以研讨的方式（城区利用多媒体教学）进行问题解决教学示范，引出了对数学教育中诸多问题的探究。

通过大量数学建模的问题解决，真正使“数学是关于客观世界的模式的科学”从理性到物化的如实展现，无论是数、式、关系、形状、推理，还是分析、抽样、实验，都可在问题解决过程中建立映射关系，因而，数学不再是为其他学科服务的基础学科，也不再是数百年来始终不变的一门学校课程。更进一步，问题解决既做数学，数学可以实验，还有计算机的数学模拟，又使数学成了一门技术。

案例：这是一个常见的应用问题，即由沿河的城A运货至城B，城B离河最近点C为 30 公里，C和A的距离为 40 公里，如果每吨公里的运费，水路比公路便宜一半，应当怎样筑一条公路到河岸才能使A到B的运费最省？解决问题的传统方法就是转化为函数求最（极）值，但按问题解决教学方式经过了以下过程：

1.讨论探究（师生共同进行）

这是数学实验阶段，要经过由感性认识到理性认识，借助直观图示（图1-3）进行试验、比较、分析，寻求问题解决的最佳方式。（1）从A到B全部为公路（假设水路每吨公里运费为 1，则公路每吨运费为2），运费为 。从A到C走水路，从C到B走公路的运费为y=40＋2 × 30=100。这两种路径运费相等，估计不是最省。

（2）若从AC中点（或黄金分割点）D修一条公路到B，运费为y=20＋ =20＋20 ＜ 100，是不是最省的呢？可以进一步试验，从AC的 处， 处，能够判断可能在 处与 处之间，在此间取点，按逐步逼近的思想，最后必定可以找到最佳点。

（3）这里，我们不排除众多人的常规思路，不妨设在河岸距城A的x公里的D处修一条公路到B使得其运费最省，运费为

这是解决问题的经典数学模型，从惯性上还是有大量的纯数学问题值得探究的。

2.数学模型分析

这是解决问题阶段，着重围绕公式（1）的最（极）值求法发散开来，揭示数学内部的整合性，加深对数学科学化的认识。

（1）代数法

整理公式（1）得

x为实数，有Δ≥0，

（2y-320） ² -12（10000-y ² ）≥0，

即y ² -80y-1100≥0，

∴ y≥ 40＋30 （∵ y ＞ 0）.

当y=40＋30 时，x=40- ，反之x=40- 时，y取最小值 40＋ ，问题解决。

此法充分体现代数学的方程、不等式、判别式法等数学思想方法，这是初中阶段学生就已基本具备的数学素质，研讨中采用此法的人数最多。

（2）三角法

令 40-x=30tanθ，

则

问题解决。

此法在变换思想、方程思想的指导下，运用三角函数、绝对值不等式知识使代数、三角相互联通，高中阶段学生即可掌握。

（3）导数法

∴当x=40-10 时，y _min =40＋30 ，问题解决。

此法涉及微分思想、方程思想，适合大学生。

（4）图像法（或解析法）

整理方程（2）得

先做旋转变换

方程（2）的曲线为双曲线型

方程（2）的图形为双曲线，但要做旋转变换。

代入方程（3）化简，得

再做平移变换

方程（3）的特征方程为λ ² -2λ-4=0，特征根为

故方程（4）做平移后的新方程为

即 （图像略）.

从而利用图形确定所求范围的最值，体现了数形结合思想、变换思想，是代数、几何等数学分支的综合应用。从主观上讲，利用直观性、发展直觉思维，但客观上由于要做非特殊角旋转、平移，坐标为无理式，运算过程烦琐，令人望而生畏，学习者容易半途而废，不过它对于训练学生坚韧不拔的科研精神，培养非智力因素和智力因素是非常必要的。事实上，我们在利用计算机多媒体教学中，采取《几何画板》制作CAI课件，演示图像的旋转、平移变换，找最小值点，避免了繁杂的人工演算与作图，简捷明快，提高了效率。

3.问题挖掘

这是问题的进一步完善和推广阶段，可以巩固已有的成果，发展新思路，提出新问题。

（1）演练

如果设从B城修x公里的公路到河岸D，则运费y的数学模型为y=2x＋40- ，亦可运用上述四种分析进行训练（图1-4）。

如果设所修公路BD与BC所成角α为变量，则运费y的数学模型 ＋40-30tanα，即 为前述。

演练的过程也是使问题融会贯通的过程，使学习者和研究者产生回头看就那么回事的感觉。

（2）推广

就此问题而言，只是在给定水路公路运费的理想情况下进行的，事实上，实际问题中要考虑的因素太多了，如环境条件、公路造价、运量预测、沿途城镇布局等诸多问题都要纳入进去分析，只有深入实际才能领略问题与数学建模的全貌。

由此案例可知，问题解决是全方位的数学教育改革模式，它的教育功能体现如下：

①问题解决教学能开发学生智能，使学生能把数学知识、数学方法、数学思想渗透到自然科学、社会科学、人文科学、哲学与思维科学中，对生活、生产、自然与环境有更深层次的了解与认识。在本案例问题解决中，十分广泛地运用了方程、函数、变换与化归方法等数学思想方法，学习者从感性到理性又由理性到感性，使数学物化，把人的潜能激发出来。

②问题解决过程中调节了人的心理倾向，在针对问题追根溯源的同时，无意中激发广阔的兴趣，通过演练与反思，使其动机更加明确，从而效果更佳。

③问题解决贴近现实生活，服务社会，大量的问题均来自国计民生，如亟待解决的人口、资源、环境保护、科技发展等都列入问题中，并可得到有效解决。

④问题解决与计算机辅助教学相结合，加快了现代教育技术的应用，体现数学动感效应。

总之，问题解决作为一种数学教学活动，也是数学活动的基本形式，打破了传统的纯数学与应用数学界限，发展了学生的创新精神与实践能力，对数学与数学教育的创新都具有不可估量的作用。

三、数学学习论及教学论

数学学习过程，从本质上讲是有意义学习的过程，是学习者将数学语言代表的新知识，与自己认知结构中已有的适当知识建立非人为和实质性联系的过程，这个过程包含着许多复杂的心理活动：一类是关于学习积极性的，如动机、兴趣、态度和意志；另一类是关于学习的认知过程本身，如感知、思维、记忆和迁移。数学学习正是借助这两类心理活动来完成的。

从控制论的观点看，数学教学过程是一个可控系统，它是“人—人”控制系统。因此，作为这个控制系统的施控者——教师，不仅要对自己的教学状态进行控制，而且还要对学生的学习状态进行控制，这就要求数学教师不仅要具有驾驭学生的专业知识水平，而且还要了解学生的年龄特征和心理发展状况，懂得数学教学规律，即数学教师必须具有心理学和教育科学知识，并把这些教育理论知识与数学课堂教学实践结合起来，用以指导自己的教学活动。

传统的教学方法主要有讲解法、谈话法、指导法、演示法等。然而，由于数学教学是一种复杂的认识与实践活动，涉及诸多学科，因此，相关学科的发展（如控制论、系统论、信息论等）势必推动数学教学方法的变革，随着教学理论和学习理论的不断发展，人们改革和完善了各种有效的教学方法，大都取得了不同程度的成功，如中国科学院心理研究所卢仲衡先生提出的“自学辅导法”，美国著名心理学家布鲁纳提出和倡导的“发现法”，美国心理学家、教育家斯金纳提出的“程序教学法”，北京市景山学校的“知识结构单元教学法”，上海育才中学创造的“读读、讲讲、议议、练练”教学法，上海师大附中创造的“引导发现法”，等等。作为 21 世纪的中学数学教师应该阅读有关资料，进一步了解我国数学教学方法改革的现状，结合教学实际选用、参考。

数学教师对学生数学学习心理的认识，教学方法的体悟，直接反映到教师的教学设计中，反映到课堂教学中，并最终决定学习结果。

（一）不同价值观下的两类数学课

21 世纪初，应教育部邀请，以美国卡内基教学促进基金会主席舒尔曼（Lee S.Shulman）博士为团长的代表团来沪访问，此次访问，是从中美教育比较的角度，探讨数学教育的理论和实践问题，以及这些问题对推动教学改革制定教育政策所产生的影响。学术探讨分两部分进行：一是由上海市教育科学研究院举办“中美数学教育高级研讨会”；二是交流观看双方中小学的数学录像课，并到蓬莱路第二小学和格致中学等校直接听课。研讨会上，侧重于理念，尽管观点各不相同，但总有一种“相向运动”的趋势，大家都赞同“寻找中间地带”的口号。可是，一到课堂领域，理念具体化为行为时，无论是观察视角还是评价指标，哪些该扬哪些该抑，哪些该褒哪些该贬，就不那么容易调和了，有时甚至出现尖锐的争论——文化背景和价值观的差异实在太大了。

美方提供的数学课，十分注重学生的参与度，总是先提出一些感兴趣的问题，然后让学生以独立或小组形式投入，老师则要讲究“什么时候介入”的问题，其最终目标主要是培养学生独立探究的能力与气质。中方提供的数学课，非常注重新旧知识之间的联系，起点是对教材的感知，然后充分利用学生已有的知识与经验，老师则讲究新旧知识间联系是否“合理与实质”，其目标归宿主要在于构建系统牢固的基础知识和熟练的基本技能。

下面的案例是由美方莎维女士执教的函数图象课，教学对象是中学一年级 28名学生，课上可使用电脑。

案例 1 的图象。

（1）让学生列出一个函数表，绘出 ，学生轻声说：“好像V形。”

（2）让学生在同一坐标中画出 ，然后写一段与 比较对照结果的评论，可独立做，也可合作完成。

莎维在教室里走动，听讨论、提问题、给建议。

一个小组齐声喊：“我们发现了，是图象的平移！”

该组一男生说：“ 是往上移 2 格的 是往下移 3格的

（3）引导全班继续思考，问谁能不用列表画出 大家迅速举手，“哗！”连不常举手的一位学生也举起了手，由他试一试，很高兴。另一学生输入电脑，电脑证实了不常举手的那位同学的尝试，大家为他欢呼。

莎维让学生们记日志。

（4）发作业 ，激发明天讨论的y=｜ x＋c｜的兴趣。

在之后的两三周内，学生们探索了一次方程、二次方程y=x ² -2x和绝对值函数｜ f（x）｜。

另一节课录自上海教育出版社的《名师授课录》，是由安徽合肥市六中朱新民老师执教的初中二次函数图象课。

案例 2：二次函数y=ax ² ＋bx＋c的图象与性质。

（1）复习上节课学过的二次函数y=ax ² 的图象和性质。教师和学生甲共同完成。

（2）教师提出课题，请全班学生阅读课本并思考三个问题：

①课本中三个函数 的图象是怎样做出的？

②它们的形状是否相同？最值各等于多少？

③你能发现它们的位置变化规律吗？

学生乙依次回答上述三个问题，回答正确。

又请学生丙说出三个函数的顶点和对称轴。教师问：“如何从列表、图象及解析式中去观察函数的顶点和对称轴呢？”教师针对学生的回答，进行了必要的指导。

教师继续引导学生，将

分别化为

教师问：“同学们能不能画出后面这两个函数的图象呢？”

学生回答：“能！它们实质上就是 的图象。”

（3）从特例到一般。教师问：“函数y=ax ² ＋bx＋c与y=ax ² 的图象的形状、顶点、对称轴和相对位置如何呢？要解决这个问题，事先要做什么准备工作呢？”学生丁：“先要配方。”教师把学生配方的结果

与图表中的函数进行类比，利用图象进行讲解。

教师又请学生阅读课本中y=ax ² 的 3 条性质，然后说：“我们能不能仿照它去总结y=ax ² ＋bx＋c的性质呢？”学生齐声回答：“能！”教师要求学生把课本上的结论阅读一遍。

最后教师讲解课本中的两道例题，并总结解题方法：“求抛物线的对称轴、顶点坐标以及二次函数的最值，有两种基本方法：一是配方法，二是公式法。要重视配方法，而不能仅仅满足于会代公式。”

（4）布置作业：阅读课本，做课本习题。下一课时，以学生练习为主，进一步巩固上述知识。

两节课都在探索学生是如何主动学习的，前者以学生兴趣为中心，粗犷而放达，犹如学游泳，直接把孩子丢在水里，让他们在自我体验中增长才干；后者围绕课本知识展开，细腻而扎实，其中图象的“平移变换”是重点，学生不易掌握，教师分三步对学生进行引导，即从列表上看→从图上看→从解析式上看，最后落实到从一般解析式的配方看出平移的方向和距离。

（二）数学问题设计

数学问题无疑是数学教育的心脏，根据不少研究者对我国原有数学教材例题、习题状况的调查，发现“千人一面的机械练习”“忽视应用与创新”等问题甚多，至于对当前流行的“题型教学”做分析，情况更令人担忧。假设把解数学问题分成技巧、方法、思想和策略四个层次的话，国内中小学实际教学中相当多地仍停留在分类型介绍技巧和方法的层次，当然也有一些研究者已上升到思想的水平，但以搜集整理工作居多，缺乏自己的创造以及长期实验和理性概括。

根据现实的需要，必须适当拓展中小学数学习题的观念，构建基础性训练与探索性训练相结合的习题体系，当然，这里十分重要的是要鼓励广大教师提供精彩的习题训练案例及其相应的知识能力标准，下面两个探索性训练的例子很值得借鉴。

案例 1：数立方体。

图1-5 是一个边长为 3 的立方体，它由 27 个小立方体构成，其中 19 个看得见，8 个看不见。问：（1）边长为 4 怎样？（2）边长为 5 呢？（3）任何大小呢？

数据分析：画几个立方体的图，如图1-6 所示。

发现事实：看不见的小立方体数正好等于上一行中小立方体总数。（表1-2）

结构分析：分顶、前、侧三面将看得见的小立方体数加起来：

顶面：n ² ，前面：n（n-1）=n ² -n，侧面：（n-1）（n-1）=n ² -2n＋1，

V（n）=3n ² -3n＋1

计算看不见的小立方体数：

H（n）=n ³ -3n ² ＋3n-1=（n-1） ³

直觉创造：剥去看得见的顶、前、侧三面，剩下就是上一行的立方体。

这个例子给出了三种不同的问题解决思路：一是运用数据分析发现数学事实；二是通过结构分析进行证明；三是基于直觉创造性地理解数学事实。于是可对它隐含的知识和能力标准做出如下的分析：①几何和测量概念（三维图形、想象空间物体、小立方体递增序列的几何模型）；②函数和代数概念（用公式对给出的情境构建模型，运用表格和公式表示函数间的关系，数学猜想，运用和处理含变量表达式，运用函数做结构分析）；③数学技能和工作（学生制作和运用粗略的表格和图式）；④数学交流（由学生自行筹划工作，系统、简明、清晰、准确地表示出数学步骤和结果）。

数学问题设计不仅应重视培养学生计算、演绎等具有根本意义的严格推理的能力，还应培养学生预感实验、尝试归纳、“假设—检验”、先简化然后复杂化、寻找相似性等非形式推理的能力。只有这样，数学问题设计的创造性气质才算提高。历史上，许多数学定理都是靠观察、实验和归纳发现的。现在，实验方法在数学科学中的作用愈来愈被重视，除了直接观察、假想实验等方法，统计抽样和计算机迭代、数学仿真等方法也日益被采用，成为发现、创造的重要杠杆。

（三）对数学课做技术分析

20 世纪以来，世界范围内教育改革终于出现了一个清晰的基本走向，其显著特征就是把教师和教学作为最重要的主题。1996 年美国学者布鲁纳（J.Bruner）指出，教育争论应聚焦在真实的课堂活动中，关注教师怎样教和学生怎样学。现在，人们越来越清醒地意识到，提高教学工作质量的前提和中心必须是有效地改进学生的学。因此有必要采用新技术透彻地观察课堂，比较隐藏在分数背后的教学差异，从而检验现行教学实践效果并不断改进。

在 2019 年余杭区中级教师培训中，采取了课堂视频切片分析的方法，对一位中年教师的课堂“正方形的定义和性质”进行了录像，并且在之后的讨论分析中，每五分钟进行播放，采用录像带分析技术（包括全息性客观描述、选择性行为观察、深度访谈与问卷等），对这节课进行研究，发现或证实了不少值得关注的现象。

一堂几何课的观察与研究的主要结论如下：

（1）课堂教学特点：边讲边问正在取代灌输式讲授

●高密度提问已成为课堂教学的重要方式（一堂课问 105 个问题，连上课老师自己也不敢相信）。

●把可供探索的问题分解为较低认知水平的“结构性问答”，这种问答组织化程度高，有利于扫除教学障碍，但不利于学生主动性的发挥。

（2）课堂提问技巧：以推理性尤其是记忆性问题为主，提问技巧比较简单

●教师提问中记忆性问题居多（74.3％），推理问题次之（21％），强调知识覆盖面，但极少有创造性、批判性问题。

●学生齐答比例很高（41.9％），回答问题方式单一，教师完全控制课堂。

●注重对学生鼓励、称赞（74.3％），但还有打断学生发言和消极批评等情况（13.3％）。

●提问后基本上没有停顿（86.7％），没有预留学生思考的时间。

（3）课堂练习水平：由低到高安排，以小步、多练、勤反馈为原则

●在例题讲解和巩固练习等教学环节中，教学练习均由低到高做小步递进的设计，整堂课共有 7 道练习，需时约 31 分钟，占上课时间的 67％左右。

●主要部分能达到推理、综合应用等中级水平，但在讲解或分析中均做了降低认知水平的安排。

（4）语言互动分析：教师主导取向的教学方式占有绝对优势

●课堂内主要使用教师主导取向的教学方式（占 61％），可促使学生对教师的期待做出迅速、及时的回应，行为具有结构性，对学生的回答时间有限制。

●学生自主取向的教学方式用得极少（仅占 4.3％），不利于学生独立思考，未留时间与机会让学生发表自己的意见和看法。

（5）学习动机调查：学业成绩为激发进步的主要因素

●“勤能补拙”的传统被继承下来，而探究、创造动机还有待加强。

通过大量的课堂案例分析，上述类型的课堂教学在当前学校教学中已具有较为普遍的意义，其主要特征与得失如表1-3 所述。