下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
在前面介绍照相机针孔成像模型时用到了旋转和平移的概念，下面我们具体分析。一般日常生活的空间是三维的，因此，我们对三维空间的运动较为习惯。三维空间由3个轴组成，因此，一个空间点的位置可以由3个坐标指定。如果考虑的是一个物体，那么通常会把该物体看成一个刚体。刚体是指在运动中和受力作用后，形状和大小不变且内部各点的相对位置不变的物体，它不仅有位置，还有自身的姿态。照相机就可以看成三维空间的一个刚体。这样，照相机的位置是指照相机在空间中的哪个地方，而姿态则是指照相机的朝向，位置和姿态二者结合在一起被称为位姿。
在描述刚体位姿时，经常会用到点和向量的概念。点的几何意义比较容易理解，向量的意义也较为明确。向量也称为欧几里得向量、几何向量、矢量，是指具有大小和方向的量。它可以形象化地表示为从坐标系原点出发带箭头的线段，箭头所指方向代表向量的方向，线段长度代表向量的大小。需要注意的是，向量与坐标是两个不同的概念。三维空间中的某个向量 a 的坐标可以用ℝ 3 中的3个数来描述，某个点的坐标也可以用ℝ 3 来描述。如果已经确定了一个坐标系，即一个线性空间的基( e 1 , e 2 , e 3 )，那么可以定义向量 a 在此基下的坐标为
（3-8）
式中，( a 1 , a 2 , a 3 ) 称为向量 a 在此基下的坐标。
坐标的具体取值既与向量本身有关，又与坐标系的选取有关。坐标系通常由3个正交的坐标轴组成。根据定义方式的不同，坐标系分为左手系和右手系。左手系的第3个轴与右手系第3个轴的方向相反。
向量与向量之间、向量与数之间的运算可以有多种形式，如加法、减法、内积、外积。前两种运算比较简单，不再赘述。对于内积和外积，下面简单给出它们的运算方式。
对于两个向量 a 、 b ∈ℝ 3 ，内积可以写为
（3-9）
式中，〈 a , b 〉 是指向量 a 、 b 的夹角。内积也可以描述向量之间的投影关系。
向量 a 、 b 的外积可以表示为
（3-10）
外积的结果是向量，方向垂直于这两个向量，大小为| a || b |sin〈 a , b 〉，是两个向量张成的四边形的有向面积。对于外积运算，引入了符号“ ∧ ”，把向量 a 改写为一个矩阵。事实上，它是一个反对称矩阵，可以将 ∧ 记作一个反对称符号。这样，就把外积 a × b 改写为矩阵与向量的乘法 a ∧ b ，即把外积变成了线性运算。这个符号是一个一一对应的映射，意味着任意向量都对应着唯一的反对称矩阵，即
（3-11）
与向量之间的旋转类似，坐标系之间的变换关系可以描述两个坐标系之间的旋转关系和平移关系。在对照相机运动过程的描述中，一般会设定一个世界坐标系，并认为它是固定不动的，如图3-8中 x w 、 y w 、 z w 定义的坐标系所示。同时，照相机坐标系是一个移动的坐标系，如图3-8中 x c 、 y c 、 z c 定义的坐标系所示。照相机视野中某个向量 p 的坐标为 p c ，而在世界坐标系下看，它的坐标为 p w 。这两个坐标之间互相转换时，需要先得到该点针对照相机坐标系的坐标值，再根据照相机位姿转换到世界坐标系中，这个转换关系可以由一个矩阵 T 来描述。
图3-8 坐标变换
两个坐标系之间的运动由一个旋转加上一个平移组成，这种运动称为刚体运动。照相机运动是一个刚体运动，保证了同一个向量在各坐标系下的长度和夹角都不会发生变化，这种变换称为欧氏变换。无论照相机如何旋转与平移，照相机作为刚体，最终位姿可以通过世界坐标系与照相机坐标系的一次欧氏变换确定。在一次欧氏变换中，可以分解为旋转和平移两部分。
首先考虑旋转部分。设某个单位正交基经过一次旋转变成了
，因此，对于同一个向量
a
，它在两个坐标系下的坐标分别为(
a
1
,
a
2
,
a
3
) 和
，由于向量本身没有变化，所以根据坐标的定义有
（3-12）
为了描述两个坐标系之间的关系，对式（3-12）左右两边同时左乘
，因此，左边的系数就变成了单位矩阵，并得
（3-13）
将式（3-13）中间的矩阵定义为矩阵 R ，该矩阵由两组基之间的内积组成，描述了同一个向量在旋转前后的坐标变换关系，因此，矩阵 R 又被称为旋转矩阵。观察旋转矩阵 R 可知，矩阵中的各元素是旋转前后两个坐标系中单位正交基的内积，由于单位正交基向量长度为1，旋转矩阵 R 中的每个元素实际上是各单位正交基向量夹角的余弦值，所以这个矩阵也被称为方向余弦矩阵（Direction Cosine Matrix）。
旋转矩阵是一个行列式为1的正交矩阵。反之，行列式为1的正交矩阵也是一个旋转矩阵。另外，由于旋转矩阵为正交矩阵，因此旋转矩阵 R 的逆或转置表示一个相反的旋转，即
a ′= R −1 a = R T a
（3-14）
在欧氏变换中，除了旋转，还有平移。考虑世界坐标系中的向量 a ，经过一次旋转 R 和一次平移 t 后，得到了 a ′，因此，把旋转和平移合到一起有
a ′= R a + t
（3-15）
式中， t 称为平移向量。
相比于旋转，平移只需把平移向量加到旋转之后的坐标上。这样，通过式（3-15）就可以用一个旋转矩阵 R 和一个平移向量 t 完整地描述一个欧氏空间的坐标变换关系。