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人生就像扬帆远航，有时顺风，有时逆风。顺风时当然舒畅，“轻舟已过万重山”；然而也不免遇上逆境，“逆水行舟，不进则退”。
逆水怎么行舟？也许帆船的航行可以给我们一些启示。帆船在航行中常常要借助风力，然而当风吹的方向和航行的方向相反时怎么办？有经验的船员会采取迂回的方式，并不顶风航行，而是呈“之”字形航行，在航行过程中利用侧风取得前行的动力。这样就引出了一个数学问题，航行的方向与风的方向呈多少度的侧角是最优的？也许有经验的船员会凭感觉来调整，这里我们从理论上给出分析。
如对页图，假如风 W 从点 B 吹向点 A ，无动力帆船从点 A 驶向点 B ，风的阻力 W 与航向相反，水的阻力 P 也与航向相反。如果船直直地从点 A 到点 B ，它需要很强的发动机才能前进。但如果船斜着走，它是怎样借助风力获得动力的？分析如下。
（1）船实际航行的方向与风向的夹角是 θ ，而帆与船实际航行的方向的夹角为 α ，那么帆与风向的夹角为 θ - α 。
（2）风的阻力 W 主要作用在帆面上，只要 θ >0，它就可以分解成两个力 W 1 和 W 2 ，其中 W 2 与帆面平行，不起作用，而起作用的 W 1 又可以分解成两个力 f 1 和 f 2 ，其中 f 2 与船体垂直，被舵的阻力抵消，而 f 1 正是船的推动力。
（3）显然，帆的面积 S 1 越大，船获得的动力就越大，可以认为 W 和 S 1 成正比，不妨设比例系数为 k 。
逆风逆水航行示意图
（4）水的阻力 P 也可以分成两个力 P 1 和 P 2 ，其中 P 1 是船的净阻力， P 2 垂直于船体，可认为被舵的阻力抵消。
（5） P 的大小与船体的形状和大小有关，简单考虑船体的迎水面积为 S 2 ，同样可以认为 P 和 S 2 成正比，其比例系数也设为 k 。
（6）那么，船获得的净推力 F = f 1 - P 1 。
（7）船的航速 v 与净推力 F 成正比，不妨设比例系数为 k 1 ，船希望航行的方向（从点 A 到点 B ）上的分速度为 v 1 。
如上分析，帆越大，船体越小，船就航行得越快。不过帆太大，船就不稳，容易翻船。难怪竞赛级帆船的帆那么大，船体那么小，对运动员的技术要求一定很高。而用于载客载货的船，为了效益，船体不可能太小。不同用途的帆船，船体和帆的面积比例也不同。另外，帆要做成三角形，是因为对同样的迎风面积，这样的形状可以降低重心；而船体要做成流线型，尽量减少迎水面积。
求最优的过程会用到微积分的方法。下面我们来计算一下，什么样的风帆角度为最优，即船可以获得最大动力。相信大家可以看出 θ - α 为0°和90°时，船不能前进，所以角度在0°和90°之间可以取到一个最优值。
帆船
根据前面的分析，我们有
现在的问题转变为， θ 和 α 为何值时 v 1 最大。先固定 θ ，求使 f 1 最大的 α ，再求使 v 1 最大的 θ 。
事实上，
，令其为0，得
，代入
v
1
的表达式，得
其中 m = 1 + 2 P / W = 1+2 S 2 / S 1 , k 2 = k 1 W /2。
从上式可以看出，当
，即
时，
v
1
最大。最优角度依赖于帆的面积和船的迎水面积。一般情况下，
S
1
远远大于
S
2
，从而有估计值
，则
θ
的取值范围为60°<
θ
< 75.53°
结论：船的实际航行方向与风的最优夹角 θ 应在60°到75.53°之间（具体数值取决于帆的面积和船的迎水面积之比），帆与船的实际航行方向的最优夹角 α 为 θ 的一半。
通过 v 1 的表达式我们还可以看出，因为 m >1，在某些情况下， v 1 可能为负，此时就是“不进则退”中“退”的情形。这时，可能要通过额外的努力，如划动船桨才能让船继续前进。
在帆船竞赛中，除了船和帆的状况是事先确定的，水文、风力等情况都是实时变化的，这就要求运动员根据具体情况，结合自己的训练经验，适时调整帆的角度，才能取得竞赛胜利，而训练经验的背后就蕴含着这样的数学原理。