分棰不竭

“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自《庄子·杂篇·天下》，可能是我国有记载的最早的极限思想。这句话的大致意思是，一尺长的木棍，每天截取一半，可以一直截下去，永远也截不完。

无独有偶，古希腊哲学家芝诺（约前490—约前430）提过与极限有关的著名悖论——“阿基里斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。

与常识不符的“阿基里斯跑不过乌龟”是说如果乌龟在距离阿基里斯（古希腊神话中的英雄）前方 T ₀ 处逃跑， T ₀ 点到阿基里斯所在的 T 点的距离是 D ，不妨假定为1。为了追上乌龟，阿基里斯用力奔跑，当跑到 T ₀ 点时，乌龟已经逃到 T ₁ 点；而当他追到 T ₁ 点时，乌龟又逃到 T ₂ 点……每当阿基里斯到达乌龟上一次到达过的地方时，乌龟已经又向前爬了一段距离。这样下去，阿基里斯是永远追不上乌龟的！

对于这个问题，芝诺错误地假定了时间的无穷级数一定是发散的，而实际上这个悖论中的级数是收敛的，也就是说，由于阿基里斯的速度 V 大于乌龟的速度 v ，阿基里斯每次跑步通过乌龟上一次爬过的距离所用时间之和的极限是收敛的，所以，在有限时间里，阿基里斯一定能追上乌龟。根据基本的公式（速度=距离/时间）可得下表。

于是阿基里斯所用的时间成为一个几何级数，公比为 v / V <1，级数和收敛，即阿基里斯会在时间 内追上乌龟。

“飞矢不动”是指一支飞行的箭，在每一时刻，它位于空间中的一个特定位置。由于时刻不是持续时间，而整个运动期间只包含时刻，每个时刻又只有静止的箭，所以芝诺断定，飞行的箭总是静止的，它不可能在运动。这个悖论也是芝诺弄混时刻（时间的点）和极限意义下的无穷小时间段而产生的。

极限是微积分的灵魂。17世纪开始，随着科学技术的发展，在各行各业，人们的传统观念都受到了极大挑战，新思想不断涌现。在数学领域，一场重大的革命应运而生，那就是微积分的诞生。

微积分分别由牛顿（1643—1727）在1671年书写、1736年公开出版的图书《流数法》和莱布尼茨（1646—1716）于1684年发表的论文《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》中提出，从物理和几何出发开启了微积分时代。

开始的时候争论不断，人们为无穷小量的意义而“大打出手”，那时无穷小量被保守派称为“幽灵”，招之即来，挥之即去，并引发了第二次数学危机。天才如牛顿也说不清楚，他先后解释了三次，却又前后矛盾。直到19世纪，在柯西（1789—1857）、魏尔斯特拉斯（1815—1897）等众多数学家的努力下，微积分的理论才趋于完善，人们才有了刻画动态的利器。而牛顿和莱布尼茨两人关于微积分“发明权”的纷争算得上是数学史上最精彩的纷争，现在公认两人共同分享这个荣誉。在这个过程中，微积分思想也以一种不可思议的方式感染了艺术界。

何谓极限？极限是一种“变化状态”的描述。粗略地说，“极限”是无限靠近而永远不能到达的意思。在数学中，“极限”特指某个函数中的某个变量在永远变化的过程中，逐渐向某个确定的数值 A 不断地逼近而又永远不能抵达 A ，即此变量的变化有“永远逼近而不停止”的趋势。此变量趋近的值 A 叫作“极限值”。极限的严格数学概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。这就是让许多数学系的大学生进入大学后挨到的 ε - δ 语言的“第一记闷棍”。再回过头来看看早在公元前两三百年出现的分棰之说，说的就是这样一种不停地缩小，结果越来越小却一直不能够到达0的过程，这不得不让我们感叹中国古人的智慧。 7JJcxZbHATQMySNTVqmYiZiAyi4nLaVbOhMeDTG5EBFazLskoWL0S5NYGbD2axCX