1.3　循环平稳信号处理研究进展

循环平稳信号是一种非平稳随机信号，其统计量随时间参数周期变化，这类信号常产生于通信、雷达、声呐和旋转机械等系统中 ^[8] 。信号的期望随时间周期性变化的信号称为一阶循环平稳信号，信号的相关函数随时间参数周期性变化的信号称为二阶循环平稳信号，以此类推，信号的 k 阶矩随时间周期性变化的信号称为 k 阶循环平稳信号。数字通信中的振幅、相位、频率键控信号 ^[174,207] ，旋转机械、电视、传真及雷达系统中的各种周期扫描或往复的机械运动都会产生具有循环平稳性质的信号 ^[29,30] 。循环平稳信号统计量的周期性是区别于噪声和其他非循环平稳干扰信号的主要特征 ^{[42,65,77,80,152,167]} 。从20世纪50年代开始，循环平稳信号处理技术日渐完善，应用领域日益扩大。文献 ^{[76] [124] [164]} 总结了近一个世纪以来循环平稳信号的发展历程和相关成果。

国际上，美国加州大学戴维斯分校W.A.Gardner教授是该领域的开创者和奠基人 ^{[65,67,68,72,73,157,158]} ，其博士生W.A.Brown开展了循环平稳信号二阶统计量和滤波的理论研究 ^[38] ；其博士生C.M.Spooner主要是在分时概率框架中研究高阶循环平稳信号 ^[68,179] ，并创建了以“循环平稳”为主题的博客；美国弗吉尼亚大学A.V.Dandawate在循环平稳信号的二阶及高阶统计量的估计子方面做出了巨大贡献，包括估计量的估计及其渐进性、一致性等性质分析 ^{[44,45,46,155]} ；意大利那不勒斯大学的N.Antonio教授基于循环频率未知的假设，提出了循环统计量的估计子并研究了其性质 ^[117] ；美国加州大学欧文分校N.J.Bershad教授、阿联酋C4 Advanced Solutions成员E.Eweda教授和巴西圣卡塔琳娜联邦大学J.C.M.Bermudez教授专注于各种条件下的循环平稳信号自适应滤波理论和应用的研究 ^{[33,55,56,57]} ；法国里昂大学J.Antoni教授将循环平稳信号处理理论引入旋转机械故障检测 ^{[24,25,26,205]} ；以色列本古里安大学R.Dabora副教授带领的团队联合以色列魏茨曼科学研究所Y.C.Eldar教授从信息论角度研究循环平稳高斯信号采样的率失真函数和含有循环平稳高斯噪声的信道容量 ^{[19,96,165,175,176]} ；美国伊利诺伊大学香槟分校的R.W.Schoonover博士将循环平稳信号处理应用于脉冲光场分析 ^[160] 。在国内，国防科学技术大学黄知涛团队主要研究和丰富了循环平稳信号的理论和应用体系；上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室将循环平稳信号用于近场声全息理论并用于滚动轴承故障检测 ^[1,2,5,14] ；太原理工大学李灯熬教授在循环平稳信号在盲均衡器设计和盲源分离算法研究方面取得了大量成果 ^[9] 。其他学者也为循环平稳信号处理理论做出了自己的贡献 ^{[157,159,201]} 。在循环平稳信号应用方面，将微多普勒信号相位的循环平稳特征用于无人机检测 ^[210] 。具体来讲，微多普勒信号可建模为正弦调频信号，即相位是正弦波函数 ^[140] ，在其他场景产生的微多普勒信号检测中有潜在的应用。此外，循环平稳信号处理理论还应用于随机幅度多项式相位信号的参数估计和检测 ^{[78,99,106,166,211]} 、盲源分离 ^[20,59] 等。

与平稳随机信号的应用不同，在循环平稳信号处理理论的实践方面，发展了基于时间平均的分时概率框架 ^{[51,74,109,179]} 。这是因为随机信号处理理论是建立在集平均的基础上，而集平均要求无数个样本实现，这在工程实际中显然是无法满足的。为了应用随机信号处理理论，经常假设信号是平稳且遍历的。遍历性假设保证了单样本观测的时间平均能够代替集平均，使得抽象的理论能够在工程实际中落实。类似地，在应用循环平稳信号处理理论时，相关学者也提出了循环遍历的概念。既然遍历信号的基于集平均的统计量与基于时间平均的统计量相等，也就是可以从单观测样本的时间平均建立一种“概率”框架 ^[198] ，那么这种框架与经典集平均框架应该有某种联系。该思想起源于维纳对于平稳随机信号时间平均的研究，他的研究工作主要针对平稳随机信号展开 ^[198] ；后在处理循环平稳信号时，以W.A.Gardner教授为主导的学者提出了以时间均值为度量的另一种“概率”框架，并建立了这种新的框架与原始概率框架之间的同构关系 ^[86,199] 。在此框架中，基于每个信号都可以建立一个“概率”框架，信号也不必是某随机信号的样本。

基于各阶统计量的循环平稳信号处理的原理是将周期时变的统计量转化为时不变的循环统计量，通过傅里叶分析，可将连续的周期时变的变量转化为可数个循环频率，在每个循环频率处分别对信号进行分析与处理。巧妙的是，循环矩谱与信号谱的矩之间存在等价关系，拓展了维纳-辛钦定理。与图1.1所表示的将时变相关函数转化为时不变分数相关函数的原理不同循环相关函数依然是二维函数，通过固定不同的循环频率分量处理循环平稳信号（如图1.2所示）。具体内容详见第4章的介绍。