1.2　chirp平稳信号处理研究进展

chirp平稳信号的概念在2008年才被明确提出 ^[187] 。北京理工大学陶然教授团队和哈尔滨工程大学的史军教授在chirp平稳信号处理方面做了大量工作。首先，陶然教授团队基于分数傅里叶变换研究chirp平稳信号 ^[187,203] ，定义了分数相关函数和分数功率谱函数，并分析了chirp平稳过程的这两个特征经过线性时变滤波器后的变化规律，并将之用于雷达信号参数估计和系统辨识中。随后，史军教授从线性正则变换的角度来研究chirp平稳信号的统计量，因为线性正则变换是分数傅里叶变换的广义形式，所以正则相关函数和正则谱函数分别是分数相关函数和分数功率谱函数的广义形式 ^[172] 。作者将这些统计量用于匹配滤波器设计，并讨论其在合成孔径成像激光雷达脉冲压缩技术中的应用和在提升冲击雷达距离分辨率中的应用，讨论这些统计量与广义模糊函数之间的关系，推动了匹配滤波在理论和应用方面的发展。在最优滤波器设计方面，史军教授结合chirp平稳信号的采样问题提出了优化滤波技术 ^[170] ，推动了最优滤波理论的发展。其他学者也有关于该信号的研究，文献 ^[204] 结合chirp循环平稳信号的二阶统计量，研究了chirp平稳信号的采样问题等。这些工作都是针对chirp循环平稳信号的二阶统计量展开的，关于chirp平稳信号的分数域高阶矩的定义和性质有初步研究 ^[10] ，并在参数估计中发挥了作用。

台湾大学Soo-chang Pei教授研究了随机信号的相关函数与信号做分数傅里叶变换后相关函数之间的关系 ^[136] ，但是该工作没有介绍随机信号的分数傅里叶分解的条件和性质。哥伦比亚桑坦德工业大学R.Torres博士基于另一种分数相关和魏格纳-维利（Wigner-Ville）分布在分数域分析和研究随机信号 ^[189] ，但是其研究工作是基于随机信号每个样本函数（确定函数）的分数傅里叶变换展开的。在实际应用中只能得到随机信号的部分样本函数，但是为了全面研究随机信号，从理论上分析chirp循环平稳信号的可分解性是这些工作的前提条件。另一方面，随机信号在确定性基函数上的展开依然具有随机性，建立时域中随机信号与其在变换域所对应的随机信号之间的关系具有重要意义。

平稳随机信号的谐波分解研究是基于其相关函数的谐波分解得出的，相关函数是确定函数，这种利用确定信号的谐波分解指导随机信号谐波分解的方法很有借鉴意义。平稳随机信号一定可以谐波分解，其在频域的分量构成了正交过程 ^{[37,107,134,148,149]} ，并且应用于癫痫信号检测 ^[108] 。有了前述方法论，循环平稳的谐波分解和其相关函数的谐波分解几乎是同时期开展研究的，其中循环平稳信号可分解为平稳信号的加和 ^[87] ，这些平稳过程是等带宽的，并且所占的频带互不重叠。振荡平稳过程 ^[147] 也是基于正交过程的分解，其幅值是受低频信号调制的正弦波，在此基础上，提出了振荡几乎循环平稳过程模型，其分解分量是几乎循环平稳过程 ^[116,125] 。本书将补充讲解基于分数变换基函数的随机信号的分解。

基于二阶统计量的chirp平稳信号分析核心是把时变的二维相关函数转化为时不变的一维分数相关函数（见图1.1），进而，可通过分数功率谱提取信号在分数傅里叶变换域的特征。