2.1.3　随机过程的谐波分解

2.1.2节我们从均值、相关函数、功率谱等确定性信号的角度对随机过程展开分析。在此过程中，涉及傅里叶变换的地方主要包括：功率谱定义和维纳-辛钦定理。傅里叶分析不仅在确定性信号分析中发挥了巨大作用，在随机序列的分析中也有举足轻重的地位。例如，在设计承受随机波动负载的结构时，识别负载力中存在具有特定频率的大谐波具有重要意义，应当确保此大谐波的频率不同于结构的谐振频率。

不同于2.1.2节通过随机信号的样本函数截断求傅里叶变换、对截断时长求平均和求极限的运算，这里介绍一种统计意义上的随机信号的谐波分解。

定理1 假设 是一个二阶意义的随机序列，则 是平稳的当且仅当存在一个 的博雷尔子集上的可数可加的正交散射测度 满足如下条件：

（2.42）

这里的积分是指Riemann-Stieltjes意义上的积分。

证明 充分性：假设 可分解为等式（2.42）的形式，那么此序列的相关函数可表示为

（2.43）

其中， 是有关 的定义在 的一个博雷尔子集上的谱测度函数的放缩，具体定义如下

（2.44）

由等式（2.43）可知， 是平稳序列。

必要性：假设 是平稳时间序列，其酉平移算子记为 ，即 。由酉算子的谱表示定理可知，存在 的一个博雷尔子集的谱测度 满足

（2.45）

进而， 可表示为

（2.46）

其中， 为集合上的函数， 是 的任意一个博雷尔子集，函数 是一个可数可和的向量测度，被称为 的随机谱测度。此外， 是一个正交散射，即对于两个集合 ，有 。

有关该定理的详细介绍，读者可参见文献 ^[87] 。有关平稳过程谱分解的其他相关介绍，读者可参见文献 ^[11] 和 ^[37] 。 EC2tWAvehw8o0NBY/HUfy850GLbFN82KHwxSQB4i230XA126wvu99d4TlnJ8advX