1.4　chirp循环平稳信号处理研究进展

在高动态移动通信中，当观测时长较小时，多普勒的影响可忽略不计，但是在实际应用中涉及由样本估计统计量等物理参数，这时又要求尽可能长的观测时间（可提高信噪比或信杂比等优点），若为了增加观测时长，而忽略了模型的变化，会导致观测信号与模型不匹配，从而得到更差的分析效果 ^[126] 。另外，输入为循环平稳信号的多径多普勒信道的输出也不再严格是循环平稳信号 ^[123] 。心电等生物医学信号呈现出一定的周期性，但是又不是严格的周期性，这种信号中可能包含有随时间变化的周期分量。因此，在循环平稳信号处理的基础上发展了多种广义的循环平稳信号模型 ^[115] 。

由循环平稳模型衍生的广义模型主要包括chirp平稳过程、广义循环平稳过程、谱相关过程和振荡几乎循环平稳过程 ^[116,125] 。这4种模型分别适用于不同场景。其中，chirp平稳过程的循环频率随时延参数线性变化，适用于发送平稳随机信号且接收端相对于发送端匀加速运动场景接收的信号 ^[187] ；广义循环平稳过程是指循环频率随时延参数的变化而变化，适用于发送循环平稳信号且信号接收端与发送端存在相对运动的情景和采样间隔随时间缓慢变化的离散信号 ^[121] ；谱相关过程模型是指其谐波分解后有相关关系的分量在频-频平面呈现多斜率斜线的特征，适用于信号源与信号接收端相对匀速运动的情景 ^[116] ；振荡几乎循环平稳过程模型是建立在振荡平稳过程的基础上，振荡平稳过程是指信号的谐波分解分量是正交的，而振荡几乎循环平稳过程的谐波分解分量是几乎循环平稳的，本概念在2016年才提出 ^[125] ，因此有关其理论研究较少。从研究方法上来讲，chirp平稳信号的分析和处理与确定性chirp型信号处理方法类似，都是基于分数傅里叶分析和时频分析；而广义循环平稳过程、谱相关过程和振荡几乎循环平稳过程的研究与循环平稳信号研究方法类似，是基于傅里叶分析展开的。

本书所介绍chirp循环平稳信号是广义循环平稳信号的主要研究目标。广义循环平稳信号没有固定的模型表达式，其研究比较概念化。本书专门提出chirp循环平稳信号并通过分数傅里叶分析来研究，在理论上和实际应用中取得了比基于傅里叶分析的研究更好的结论。同时，chirp循环平稳信号也是chirp平稳信号的广义形式 ^[120] 。所以，以下从广义循环平稳信号中与chirp循环平稳相关的部分来介绍chirp循环平稳信号处理理论和应用的研究进展。

广义循环平稳信号是指循环频率随时延参数变化的非平稳随机信号，此信号的循环相关函数中循环频率和时延参数是耦合的 ^[115,125] 。特别地，循环频率随时延参数线性变化的信号称为chirp循环平稳信号 ^[113] 。循环频率随时延参数线性变化且时延参数取零值时循环频率也为零的信号称为chirp平稳信号 ^[187] 。所以chirp平稳信号是chirp循环平稳信号的子集。意大利那不勒斯大学A.Napolitano教授专注于对广义循环平稳信号基本理论的研究，在连续、离散广义循环平稳信号的采样 ^[122,127] 、统计量定义、性质及应用方面取得了一系列成果 ^{[89,117,118,119,120,121,123,125]} 。此外，其他学者也有关于通信中chirp循环平稳信号处理的研究，例如chirp循环平稳噪声抑制和到达时间差估计 ^[40,194] 等。

二阶平稳信号的相关函数是时延参数的一维函数，相关函数的傅里叶变换是功率谱函数。而循环平稳信号的相关函数是时间和时延参数的二维函数 ^[76] ，相关函数关于时间参数周期变化，因此适合用傅里叶级数来处理。相关函数有关时间参数的傅里叶级数展开可得循环相关函数，更进一步，循环相关函数关于时延参数的傅里叶变换是循环谱 ^[126] 。有关chirp循环平稳信号二阶统计量的研究主要包括广义循环相关函数和广义循环谱函数的定义、性质和估计子 ^{[116,121,122]} ，以及这些理论在雷达等信号处理 ^[78,194] 中的应用基础理论。相关函数具体分为共轭相关函数和非共轭相关函数 ^[161,162] 。因为chirp循环平稳信号的共轭相关函数中含有时间参数的二次相位项而没有一次相位项，所以基于共轭相关函数的广义循环相关函数为零，不能从此角度提取chirp循环平稳信号的特征。广义循环相关函数关于时延参数的傅里叶变换记为循环谱函数，chirp循环平稳信号的广义循环相关函数含有时延参数的二次相位项，其在频域中是展宽的，即循环谱函数是宽带的，给基于循环谱函数的研究带来不便。这些工作都是基于傅里叶分析展开的。但是由chirp循环平稳信号模型——chirp信号调制循环平稳信号——可知基于傅里叶变换分析该信号的统计量存在一定的弊端。

随机信号的高阶统计量是指矩和累积量，循环平稳信号的高阶统计量在这两者的基础上分别发展了两种新的高阶统计量：循环矩、循环矩谱和循环累积量、循环累积量谱。类似地，定义了针对广义循环平稳信号的广义循环矩、广义循环矩谱和广义循环累积量、广义循环累积量谱 ^[89] 。文献 ^{[89] [120]} 中详细分析了这些广义循环统计量的性质。文献 ^[127] 中分析了广义循环平稳信号的采样理论。有关高阶统计量的研究，大部分是建立在广义分时概率框架 ^[179] 的基础上的。其中，chirp循环平稳信号的只有从偶数阶次且取共轭运算和非共轭运算相等的矩（累积量）定义的广义循环矩和广义累积量函数是非零的。这大大限制了信号的应用范围。即使满足上述条件的广义循环统计量，因其受时延参数的二次相位调制，经过傅里叶变换后也是展宽 ^[89] 的。所以由广义循环矩和广义循环累积量的傅里叶变换得到的广义循环矩谱和广义循环累积量谱是展宽的，携带的信息弥散在频域中。造成广义循环统计量失效的主要原因是矩和累积量中关于时间和时延参数有二次相位调制项。而分数变换恰好具有二次相位的基函数，所以通过在分数域构建新的循环统计量，有望提高这些算法的性能。

除了对信号本身进行分析，对信号经过系统后进行输出分析也是必要的。对信号经过系统后的二阶统计量变化规律进行研究，一方面可以根据系统的输出和已知的系统特性反推信号源的性质；另一方面可以通过输入输出信号特性推断滤波器的特性。在平稳随机信号处理中的匹配滤波和最优滤波（包括维纳滤波和系统辨识）等都是建立在随机信号经过系统后“谱”的变化规律上的。关于广义循环平稳信号经过时变滤波器后的各阶统计量的变化规律已有研究工作 ^[90,91,123] 。遗憾的是，当线性时变系统的输入信号为chirp循环平稳时，输出信号的二阶频域统计量为零，也就无法从信号角度开展系统性质的研究。因此，有必要寻找新的信号特征，既要能反映chirp循环平稳信号的统计量的chirp循环特征，又要使其通过线性时变系统后的统计量不为零。

本书所涉及的3种非平稳随机信号之间的关系如图1.3所示。图1.3（a）是从信号模型的角度来讲：由chirp平稳信号模型和循环平稳信号模型的定义可知，这两种信号之间没有必然的联系，兼具这两种信号特征的信号模型为chirp循环平稳信号模型。图1.3（b）是从信号统计量的分析方法上来讲：分数相关函数与循环相关函数之间存在一定的联系，它们都是对相关函数经过正弦波提取算子得到的，只不过分数相关函数中的“循环频率”是与时延变量相关的变量（详见第3章），而循环相关函数的“循环频率”不受时延变量的影响（详见第4章）。这为chirp循环平稳信号的分析提供了启示：寻找使得“循环频率”与时延变量分离的方法，使得多变量可分别分析（详见第5章）；若在某些情况下这些变量确实无法分离，那么可以利用傅里叶分析的方法进行分析（详见第5章）。