用矩之道

【原文】

周公曰：“大哉言数， 心达数术之意，故发‘大哉’之叹。 请问用矩之 道？” 谓用表之宜，测望之法。 商高曰：“平矩以正绳 ^[1] ，以水绳之正，定平悬之体，将欲慎毫厘之差，防千里之失。 偃矩以望高 ^[2] ，覆矩以测深 ^[3] ，卧矩以知远 ^[4] ，言施用无方 ^[5] ，曲从其事 ^[6] ，术在《九章》 ^[7] 。 环矩以为圆 ^[8] ，合矩以为方 ^[9] 。 既以追寻情理，又可造制圆方。言矩之于物，无所不至。 方属地，圆属天，天圆地方 ^[10] 。 物有圆方，数有奇耦 ^[11] 。天动为圆，其数奇；地静为方，其数耦。此配阴阳之义，非实天地之体也。天不可穷而见，地不可尽而观，岂能定其圆方乎？”又曰：“北极之下高人所居六万里，滂沲四 而下。天之中央亦高四旁六万里 ^[12] 。”是为形状同归而不殊途 ^[13] ，隆高齐轨而易以陈 ^[14] 。故曰“天似盖笠，地法覆槃 ^[15] ”。 方数为典，以方出圆 ^[16] 。 夫体方则度影正，形圆则审实难。盖方者有常，而圆者多变，故当制法而理之。理之法者：半周、半径相乘则得圆矣 ^[17] ；又可周、径相乘，四而一 ^[18] ；又可径自乘，三之，四而一 ^[19] ；又可周自乘，十二而一 ^[20] ；故“圆出于方”。 笠以写天 ^[21] ，笠亦如盖，其形正圆，戴之所以象天。写，犹象也。言笠之体象天之形。《诗》云“何蓑何笠 ^[22] ”，此之义也。 天青黑，地黄赤。天数之为笠也 ^[23] ，青黑为表，丹黄为里，以象天地之位 ^[24] 。 既象其形，又法其位。言相方类 ^[25] ，不亦似乎？ 是故，知地者智，知天者圣。 言天之高大，地之广远，自非圣智，其孰能与于此乎？ 智出于勾 ^[26] ，勾亦影也。察勾之损益，知物之高远，故曰“智出于勾”。 勾出于矩 ^[27] 。 矩谓之表。表不移，亦为勾。为勾将正 ^[28] ，故曰“勾出于矩”焉。 夫矩之于数，其裁制 ^[29] 万物，惟所为耳。” 言包含几微，转通旋还 ^[30] 也。 周公曰：“善哉！” 善哉，言明晓之意。所谓问一事而万事达。

【注释】

[1] 平矩以正绳：如图4所示，把矩的一边水平放置，另一边靠在一条铅垂线上，就可以校正水平线。正绳，纠正，在这里指以铅垂绳之正校定水平线。《东观汉记·传八·王阜》：“王阜为益州太守，边郡吏多放纵，阜以法绳正吏民，不敢犯禁。”《后汉书·循吏列传·王涣》：“（王涣）在温三年，迁兖州刺史，绳正部郡，风威大行。”

[2] 偃矩以望高：意思是把矩的一边仰着放平，就可以测量高度。如图5所示，所求高为 MH ， CB : AB = CH : MH 。下文中“覆矩以测深”、“卧矩以知远”的计算方法与此相同。偃：仰，放倒。《广雅》：“偃，仰也。”

[3] 覆矩以测深：把上述测高的矩颠倒过来，就可以测量深度。如图6所示。

[4] 卧矩以知远：把上述测高的矩平放在地面上，就可以测出两地间的距离或斜距。在不能直接测出两地水平距离或斜距时，可利用矩的不同摆法，根据勾股对应边成比例的关系，确定水平和垂直方向，以测量远处物体的高度、深度和距离。如图7所示。

[5] 无方：测量无方向限制。

[6] 曲从其事：根据需要灵活运用。曲，迂回，灵活。

[7] 《九章》：《九章算术》。《九章算术》是集先秦至西汉数学成果之大成的一部专著，大约成于公元1世纪，其原作者已不可考，一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的。西汉·张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，东汉·刘徽曾为《九章算术》作注。全书分为九章：方田、粟米、衰（cuī）分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。在《九章算术》的第一章“勾股”的最后，刘徽根据所需测量对象的不同特性，将问题分成九个类型，并逐个介绍测量理论和方法，这种应用的推广，被称为“重差九问”。

[8] 环矩以为圆：把矩当作圆规旋转一周，可以得到圆形。关于本句介绍的计算方法，各专家理解不一，现列举主要几种：

李俨、梁宗巨：“固定矩的斜边，保持顶角为直角并不断变化，其直角顶点的轨迹便是圆。”（梁宗巨《世界数学史简编》）如图8所示。

傅溥：“将矩形直立于平面上，固定其边而使他边绕它回转时，那回转边下端的轨迹，便是圆。”（傅溥《中国数学发展史》）如图9所示。

李迪：“矩的顶点不动，而两边在平面上旋转，其端点就画出一个圆。”（李迪《中国数学史简编》）如图10所示。

陈遵妫：“以矩的一端为枢，旋转另一端，可以成圆，即所谓环矩以为圆。”如图11所示。

吴文俊、李兆华：“把矩的长短两边当作‘规’的两只脚，直立于平面上，以矩的一端枢，旋转另一端即可成圆。”（吴文俊《中国数学史大系》第一卷）如图12所示。

[9] 合矩以为方：将两矩合并，可以得到长方形。如图13所示。

[10] 方属地，圆属天，天圆地方：观测地的数学根据是方形，观测天的数学根据是圆形，所以说“天圆地方”。

[11] 耦：同“偶”。双数，成对。《周易·系辞下》：“阳卦奇，阴卦耦。”

[12] 北极之下高人所居六万里……天之中央亦高四旁六万里：这是赵爽引用《周髀算经》卷下“盖天天地模型”的原文。 （tuí）：崩坠、坠落。《文选·宋玉·高唐赋》：“磐石险峻，倾崎崖 。”《太平广记·卷四百·李员》：“夜有甚雨， 其堂之北垣。”人所居，人居住的地方，指的是周地。

[13] 形状同归而不殊途：天地形状结构相似，形成的机制也没有不同。

[14] 隆高齐轨而易以陈：中央隆起的高度一致，差别就是所显示的样子。隆高，中央隆起的高度。齐轨，像车辆轮距般整齐划一。这里指高度一致。南朝梁·萧统《贺洛阳平启》：“方今九服大同，万邦齐轨。”易，改变，更改。清·方苞《狱中杂记》：“狱词无易。”陈，分布，陈列。《广雅》：“陈，列也。”《玉篇》：“陈，布也。”

[15] 天似盖笠，地法覆槃：详见《周髀算经》卷下“盖天天地模型”。

[16] 方数为典，以方出圆：以方形的数学性质为基准，由方形的数学性质推导出圆形的数学性质。

[17] 半周、半径相乘则得圆矣：圆面积等于该圆的半周与半径的乘积，以现代数学符号表示为 S =π R ² 。其中 R 为半径，π R 为周长的一半，π为圆周率。

[18] 又可周、径相乘，四而一：又可以用周长（2π R ）乘以直径（2 R ）再除以四，以现代数学符号表示为 。

[19] 又可径自乘，三之，四而一：又可以用直径的平方（4 R ² ）乘以三（圆周率的约值）再除以四（得3 R ² ）。

[20] 又可周自乘，十二而一：又可以取周长的平方［（2 π R ） ² ］的十二分之一（圆周率的约值取三，可得3 R ² ）。

[21] 笠以写天：以斗笠来表示天的数学特性。笠，斗笠。写，仿效，描绘。《淮南子·本经训》：“雷震之声，可以鼓钟写也。”东汉·张衡《周天大象赋》：“坟墓写状以孤出，哭泣含声而相召。”

[22] 何蓑何笠：披戴蓑衣与斗笠。《诗·小雅·无羊》：“尔牧来思，何蓑何笠，或负其糇。”

[23] 天数之为笠也：天的数学性质体现在斗笠（的数学性质）中。在这里，“笠”不仅表示天体视运行之形状，也指天盖的结构和功能。

[24] 青黑为表……以象天地之位：以天色青黑为其外表，以地色黄赤为其内在，以此象征天地的方位。

[25] 相方类：相仿、相类似。

[26] 智出于勾：智体现在有善于利用勾影长度进行测量的才能。

[27] 勾出于矩：把矩固定作为标尺（表），可以测量出勾影。

[28] 为勾将正：以矩为标尺可以得到正勾（表的影长）。

[29] 裁制：裁算制作。

[30] 转通旋还：各种转化、变换、旋转、往还，变化莫测。

【译文】

周公说：“谈论数学问题，意义重大！” 周公领会了数学的意义，故而发出“意义重大”的感叹。 请问使用矩的方法？” 这是指用矩作标尺的窍门、测量观察的方法。 商高答道：“利用矩的直角边和重垂线，可确定水平面。 以水平和悬绳为基准，确定水平和垂直的物体，这是为了防止‘差之毫厘，失之千里’。 把矩的一边仰着放平，就可以测量高度；把测量高度的矩颠倒过来，就可以测量深度；把矩平放在地面上，就可以测出两地间的水平距离。 这是指使用矩无方向限制，可根据具体情况灵活使用，其方法载于《九章算术》。 把矩旋转一周，可以得到圆形；将两矩相合，可以得到长方形。 矩既可以探寻各种事物的数学关系，又可以构造圆形和方形。这就是说矩应用于各种事物之上，无所不至。 观测地的数学根据是方形，观测天的数学根据是圆形，所以说‘天圆地方’。 物有圆形、方形，数有奇数、偶数。天体运动轨迹为圆，其数是奇数；大地静止为方形，其数是偶数。这是为了配合阴阳的含义，不是对天地实体的定义。观察天不可能穷尽，观测地也不可能穷尽，岂能确定它们是圆是方？”又说：“北极之下高人所居六万里，滂沲四 而下。天之中央亦高四旁六万里。”这说明天上地下形状结构均相似，中央隆起的高度一致，差别就是所显示的样子。所以说“天似盖笠，地法覆槃”。 以方形的数学性质为基准，由方形的数学性质推导出圆形的数学性质。 若物体为方形，测影就容易正确；而圆形的物体，面积都难以计算。其原因是方形有规律可循，而圆形变幻莫测，所以要寻找规律来应对。应对的方法是：半周、半径相乘则得圆面积；又可以周长、直径相乘，除以四；又可以直径自乘，再乘以三，除以四；又可以周长自乘，除以十二，均得圆面积，所以说“圆出于方”。 笠可用来刻画天的功能与表现天的形态， 笠也如圆盖，其形状是正圆，天就像大地戴着斗笠。写，象征的意思。说笠之形状象征天的形状。《诗经》说“何蓑何笠”，就是这个意思。 天色是青黑的，地色是黄赤的。以笠的数学性质来象征天的数学性质，天色青黑为其外表，地色黄赤为其内里，以此象征天地的方位。 既显示其形态，又表明其位置。用类似之物作比喻，能说不相似吗？ 所以说，通晓地上事物的是智者，理解天上事物的是圣人。 以天之高远博大，地之广阔遥远，除了圣人和智者，谁能达到这个水平？ 智者的聪明体现在善于利用勾影长度进行测量的才能， 勾即表的影长。观察影长的增减，可知目标事物的高度和距离，所以说“智出于勾”。 把矩固定作为标尺，可以测量出勾影。 矩用作标尺。标尺不动，也可以得到影长。以矩为标尺可以得到正勾的影长，所以说“勾出于矩”。 矩在数学应用中的意义，在于测算与制作万物，它使用起来得心应手。” 也就是说，用矩包含精妙的法门，各种转化、变换、旋转、往还，变化莫测。 周公说：“好极了！” 善哉：意思是清楚明白之后的赞同。这就是所谓问清楚一事而万事皆已通晓。 dP+ZfOZiAdu0osLmfmbxahMpQy2f8ZE1/jcSBgoJueEDgUsyJ3reN8xrOdJukdut