勾股圆方术 ^[1]

【原文】

昔者周公 ^[2] 问于商高 ^[3] 曰：“窃闻乎大夫善数也， 周公，姓姬名旦，武王之弟。商高，周时贤大夫，善算者也。周公位居冢宰，德则至圣，尚卑己以自牧，下学而上达，况其凡乎？” 请问古者庖牺 ^[4] 立周天历度 ^[5] ？ 庖牺，三皇之一，始画八卦。以商高善数，能通乎微妙，达乎无方，无大不综，无幽不显，闻庖牺立周天历度，建章蔀之法 ^[6] 。《易》曰：“古者庖牺氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地。”此之谓也。 夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度， 邈 ^[7] 乎悬广，无阶可升；荡 ^[8] 乎遐远，无度可量。 请问数安从出？” 心昧其机，请问其目。 商高曰：“数之法出于圆方 ^[9] ”，圆径一而周三，方径一而匝四。伸圆之周而为勾，展方之匝而为股，共结一角，邪适弦五。此圆方邪径相通之率，故曰“数之法出于圆方”。圆方者，天地之形，阴阳之数。然则周公之所问天地也，是以商高陈圆方之形，以见其象；因奇偶之数，以制其法。所谓言约旨远，微妙幽通矣。 圆出于方 ^[10] ，方出于矩 ^[11] ，圆规之数，理之以方。方，周匝也。方正之物，出之以矩。矩，广长也。 矩出于九九八十一 ^[12] 。 推圆方之率，通广长之数，当须乘除以计之。九九者，乘除之原也。故折矩 ^[13] ，故者，申事之辞也。将为勾股之率，故曰折矩也。 以为勾广三 ^[14] ，应圆之周，横者谓之广，勾亦广。广，短也。 股修四， 应方之匝，从者谓之修，股亦修。修，长也 。径隅五 ^[15] ，自然相应之率。径，直；隅，角也。亦谓之弦。 既方之外 ^[16] ，半其一矩 ^[17] 。 勾股之法，先知二数然后推一。见勾、股然后求弦：先各自乘成其实，实成势化，尔乃变通 ^[18] ，故曰“既方其外 ^[19] ”。或并勾、股之实以求弦实，之中乃求勾股之分并，实不正等，更相取与，互有所得 ^[20] ，故曰“半其一矩”。其术：勾、股各自乘，三三如九，四四一十六，并为弦自乘之实二十五；减勾于弦，为股之实一十六；减股于弦，为勾之实九。 环而共盘 ^[21] ，得成三四五 ^[22] 。 盘，读如盘桓之盘。言取而并减之积，环屈而共盘之谓。开方除之，得其一面。故曰“得成三四五”也。 两矩共长二十有五 ^[23] ，是谓积矩 ^[24] 。 两矩者，勾、股各自乘之实。共长者，并实之数。将以施于万事，而此先陈其率也。 故禹之所以治天下者，此数之所生也 ^[25] 。” 禹治洪水，决流江河。望山川之形，定高下之势。除滔天之灾，释昏垫 ^[26] 之厄，使东注于海，而无浸逆。乃勾股之所由生也。

【注释】

[1] “勾股圆方术”“用矩之道”“勾股圆方图”等级别的标题沿用了程贞一、闻人军在《〈周髀算经〉译注》中所加的标题。

[2] 周公：西周初期政治家。姓姬名旦，也称叔旦，辅武王灭商。武王死后，成王年幼，于是周公摄政。周公先后平定了武庚、管叔、蔡叔之叛，继而厘定典章、制度，定洛邑为东都，将其作为统治中原的中心，天下臻于大治。后多作圣贤的典范。

[3] 商高：生平不详。赵爽注：“商高，周时贤大夫，善算者也。”李淳风《晋书·天文志》论盖天说：“其本庖牺氏立周天历度，其所传，则周公受于殷高，周人志之，故曰周髀。”《中国方志丛书·商南县志·人物志》曰：“商高，黄帝之昆孙。以地得姓。周初封子男于商。精数学，《周髀》衍其说为算经。”据考证，本章是从先秦流传下来的《周髀》中最早的经文，叙述周公商高时代的数学成就及其在天文观测上的应用。其内容可以归纳为：一、勾股定理和积矩推导法；二、方圆法和近似圆及圆周率的计算方法；三、方圆数学与矩在观测中的应用。

[4] 庖牺：也称牺皇、伏羲。神话中人类的始祖。传说他和女娲兄妹相婚而产生人类。他还制作八卦，历法由此产生。《周易·系辞下》：“古者庖牺氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地。”南朝梁·萧统《昭明太子集·文选序》：“逮乎伏羲氏之王天下也，始画八卦。”

[5] 立周天历度：建立周天历法量度。一年有 天，古人将天球每天转过的角度记为1度，因此天文学上以 度为一周天。须注意，此处的度与现代几何学中的度意义不同。

[6] 章蔀之法：古代历法名词。汉初所传的六种古代历法都是四分历（一种以 日为回归年长度调整年、月、日周期的历法），以十九年为一章，一章有七闰，四章为一蔀，二十蔀为一纪（遂），三纪（遂）为一元（首）。冬至与月朔同日为章首，冬至在年初为蔀首。

[7] 邈：距离遥远。

[8] 荡：广阔，广大平坦的样子。

[9] 数之法出于圆方：数学方法源自圆和方的几何特性。刘徽注《九章算术》“圆田术”时称：“凡物类形象，不圆则方。”

[10] 圆出于方：求圆的方法可根据方的几何特征导出。圆，圆形。赵爽注：“方，周匝也。”引申为多边形的周长。

[11] 方出于矩：方形的计算方法可根据矩形的几何特征推导。矩的本义是画方形或直角的曲尺。在两条边上可按用途取相等或不等之值。短边称为勾，长边称为股。《荀子·不苟》：“五寸之矩，尽天下之方也。”

[12] 九九八十一：九九乘法表，指乘法运算。商高的这句回答表明，可以用已知的数学知识启发推导出新的数学知识，体现了中国古代的“通类推导”思维。

[13] 折矩：将矩形对角一折为二，得到两个相等的直角三角形。如图1所示。

[14] 以为勾广三：“令勾广为三”，设折矩所得直角三角形的短直角边边长为三。

[15] 股修四，径隅五：股修四，长直角边边长为四；径隅五，斜边边长得五。修，长。径，长方形的对角线，也即直角三角形的斜边。

[16] 既方之外：以直角三角形的斜边为边长，在直角三角形之外作正方形。既方，以斜边为边作正方形。之外，直角三角形之外。如图2所示。

[17] 半其一矩：取半个长方形。

[18] 实成势化，尔乃变通：得到这些面积以后，就可以根据不同的情况做相应的处理。变通，依据不同情况，作非原则性的变动，不拘泥成规。《周易·系辞上》：“广大配天地，变通配四时。”

[19] 既方其外：同“既方之外”。

[20] 更相取与，互有所得：交替取勾或股的数值，都可得出对应的股或勾的数值。

[21] 环而共盘：环绕正方形一周，共同组成一方盘。如图3所示。

[22] 得成三四五：得到勾股定理。得成，得到，得以推导成立。三四五，直角三角形勾（短直角边）、股（长直角边）和弦（斜边）的数值关系，即现在所称的勾股定理。

[23] 两矩共长二十有五：勾的平方和股的平方，即两个矩形面积之和等于二十五，也就是弦的平方的面积。用现代数学符号表示为 a ² + b ² = c ² 。赵爽注：“两矩者，勾股各自乘之实，共长者，并实之数。”

[24] 积矩：组合矩形的面积。“积矩法利用矩的总面积与其组合面积之间的关系，来建立数学原理。在此，商高利用的总面积是大方（即方盘），组合面积是四个在大方四角的直角三角形和其中间的正方形，由分析这总面积与组合面积之间的关系得成勾股定理。这种推导法符合逻辑，是古代中国在数学上的一大成就，首见于商高的工作。后人称赵爽和刘徽的推导法为出入相补法，实与商高积矩法一脉相承。”（参阅程贞一《勾股，重差和积矩法》，编入吴文俊主编《刘徽研究》，1993年。）

[25] 故禹之所以治天下者，此数之所生也：大禹治水得以治天下，其中必定涉及测量山川地势的数学实践活动（赵爽注：“望山川之形，定高下之势。”），以至于积累了许多数学知识和用矩的经验，促进了勾股定理这一数学原理的产生及发展。

[26] 昏垫：陷溺。指困于水灾，亦指水患，灾害。

【译文】

从前，周公问商高：“我早就听说大夫您擅长数学， 周公姓姬名旦，是周武王的弟弟。商高是周代有德行的大夫，擅长数学。周公身居宰相之位，德行堪比圣贤，尚且保持谦虚的态度以提高自己的修养，不耻下问，进而了解自然的法则，何况普通人呢？ 请问古时伏羲如何建立周天历法量度呢？ 伏羲是三皇之一，八卦的创始人。商高擅长数学，能够致广大而尽精微，他通晓伏羲的周天历法量度及古代历法。”《易经》说：“古代伏羲氏统治天下的时候，抬头仰观天空的现象，低头俯察大地的规律。”说的就是这个。 可是天没有阶梯可供攀登，地也不适合用尺子去量， 天极其高远广大，没有阶梯可以攀登；地极其遥远辽阔，没有尺子可以度量。 请问这些数学原理是从何而来的？” 心中不明所以，请教来龙去脉。 商高说：“数学原理出自圆和方的几何特性， 圆的直径为一则周长为三，正方形的边长为一则周长为四。伸展圆的周长作为勾，伸展正方形的周长作为股，两端相连成为一直角三角形，斜边正好等于弦五。这是圆方斜径彼此相通的关系，所以说‘数之法出于圆方’。圆和方这两个图形，包含天地的形状和阴阳之数的本性。所以周公问及天地，而商高以圆方之形解释其形象；用奇偶之数说明其原理。这真是言简意赅，含义深刻，微妙通透。 圆可由方的几何特性导出，方可由矩的几何特性导出， 圆周的长度，是根据方形推理得来的。方，指多边形的周长。长方形，是以矩作出的。矩，画直角或方形用的曲尺。 矩的数学原理出自乘除法则。 推算圆和方之间、长和宽之间的数学关系，必须根据乘除法则来计算。九九乘法表是乘除法的根本。所以将矩形沿对角线一折为二，得两个相等直角三角形。故，是说明某事的开头语。将得到勾与股的比例，所以称折矩。 假设折矩后所得直角三角形的勾，即短边等于三， 与圆形的周长相应，横的叫作广，勾也是广。广，就是短。 股，即长边等于四， 与方形的周长相应，纵的叫作修，股也是修。修，就是长。 那么径即弦，也即斜边之长就等于五。 自然而然得出的比率。径，直角三角形的斜边；隅，就是角。径隅也叫作弦。 在直角三角形之外，以径（斜边）为边作正方形，取半个长方形。 勾股之法，已知两个数然后推算另一个数。有了勾、股然后求弦：勾、股先各自乘成其面积，得到这些面积以后，就可以根据情况做相应的处理，所以说‘既方之外’。若将勾平方和股平方相加可以求弦平方；如果从弦平方求勾和股之间的比例，勾平方、股平方不一定相等，交替取勾或股的数值，都可得对应的股或勾的数值；所以叫‘半其一矩’。其方法是：勾和股各自乘，即三三得九，四四一十六，加起来等于弦平方二十五；从弦平方减去勾平方，得股平方一十六；从弦平方减去股平方，得勾平方九。 环绕正方形一周，共同形成一方盘。由此推导出勾三股四弦五的数学关系（今称为勾股定理）。 盘，读作盘桓的盘。指取其加减的面积，环绕而共同形成一方盘。开方求解，得到其一边的边长。所以说‘得成三四五’的数学关系。 勾方和股方两个正方形的面积，共二十五，这种方法就是所谓的‘积矩’法。 两矩，勾、股各自乘的面积。共长，指的是此面积之和。此方法普遍适用于各种情况，这里事先作出勾股定理的陈述。 所以大禹得以治天下的方法，促成了数学原理的产生。” 禹治洪水，疏通江河水流；观察山川之形，测定高低之势；消除滔天之灾，解除水灾之患，使江河东流入海，而不会淹没倒灌。这是勾股术的来源。 GcXUs5mSF5Y5xlMCOJ40brNY4vcJOvDMDUPMcIXol3YcmM+UEJP3ZOhaO5PR/eKp