导读

《周髀算经》原名《周髀》，“算经”这两个字是唐朝修订《算经十书》时加上的。既然被称作“算经”，《周髀算经》中必然体现了许多朴素而精妙的数学理论和数学思维，比如勾股定理、圆方转化之术、重差公式、开方过程、工具“矩”，以及直观法搭配出入相补原理求解、通类思维、数学正则模型的运用等，思路由浅入深，计算由易到难，表述由简到繁，具有丰富的内容呈现和深刻的思想深度。历代也有许多数学家为此书作注，其中最著名的当属东汉·赵爽和唐·李淳风，他们不仅阐释《周髀算经》经义，还提出了一些质疑以及更先进、完善的计算方法；一些原本已经散佚的证明图，经由他们的手恢复出来，流传千古；一些我们现今熟知的“矩出于九九八十一”、“勾广三、股修四、径隅五”就出于此。不过，《周髀算经》中的数学部分，最终都服务于天象观测和天文历法，在这个过程中，还涉及少部分逻辑学知识，因此，称它为数学和天文学著作而不是古典数学著作，要更为恰当。

一、概说

现在，我们来拆解书名中的“周髀”二字，“周”顾名思义是周代，“髀”就是在周朝产生的某种工具。陈子说：“周髀长八尺……古时天子治周，此数望之从周，故曰周髀。髀者，表也。”《晋书》曰：“表，竿也。盖天之术曰周髀。髀，股也。”再结合矩 （一种折成直角的曲尺） 的外形和勾股定理的表达，不难推断出，“髀”是一种用来测影的圭表，它被限定在八尺长，与日晷的原理类似，它是利用日影进行测量的天文仪器。“表”常常与“圭”连用，又近义于“竿”，有个词叫作“立竿见影”，说的就是圭表的运用。圭表由“圭”和“表”组成，圭是垂直于地面的竿子，“表”是水平放置在地上并标有刻度的尺，用以测量正午时日影的长度变化，以确定节气、时刻等。古代天文观测有许多方法，圭表测影与太阳出入方位观测法 （一般用以测定方位，航海时可以有效确认航向） 、恒星偕日出观测法 （因凌晨前的东方天空中，恒星清晰可见，故一般用以星辰测绘） 以及昏旦中星观测法 （在黄昏的时候和日出的时候观测天空，进行星辰测绘） 一并作为基本的观测方法，不同时代所选用的方法有所侧重，但测算日影是历朝历代都会使用到的方法。《周髀算经》中圭表的特殊性在于，它是在“天圆地方”的宇宙体系下被使用的，具有思维上的局限性，精度也有所欠缺，但后人不断测算、调整，到了元·郭守敬的《授时历》编成之时，中国天文学家所算出的地球绕太阳公转一周的时间离实际只差26秒，达到了同时代欧洲天文学家无法企及的高度。

不同于西方古代天文学受战争影响，学术知识在多国间辗转融合，注重理论发明，中国古代天文学则以农耕社会的需求为基础，与农业社会生产生活紧密结合而发展，具有高度稳定性与实用性。例如，二十四节气、二十八星宿的发现与记载，深刻地影响了农业生产和天文历算，无论从数学发展史上还是从天文发展史上看，都具有不可替代的重要地位。

二、勾股定理与圆方之术

勾股定理

这个定理的现代代数公式写作 a ² + b ² = c ² ，适用情况相当普遍、简易。但就是这样简单的一个定理，令全世界的数学家和数学爱好者都为之着迷，人类先是用了十几个世纪去发现它，又用了几个世纪变着花样地证明它，再在发现、证明的过程中反复运用它。19世纪以前，勾股定理基本在二维平面上运用，但1851年，黎曼 在他的一篇论文中提到“几何可以不局限于二维平面”。于是，勾股定理从平面被移到球面，在更高的维度中发挥着作用。我们常常能在许多复杂无比的公式中看到“ a ² + b ² ”的存在。当一个极简的公式频繁被嵌套在复杂公式中时，它的价值不言而喻。曾有一位美国俄亥俄州的数学教师卢米斯，他收集了当时已知的所有对毕达哥拉斯定理的证明。在他生命最后一年，也就是1940年他将其结集出版，书名为《毕达哥拉斯命题》，书中共有371种证明。作为数学界最重要的基本定理之一，勾股定理已经融入人们的日常生活中，闪耀着千年来人类智慧的光芒。

古巴比伦人也有关于毕达哥拉斯定理的记载。当我们从现代数学世界转身，穿越幼发拉底河，去往美索不达米亚，在整齐码放的土块中，我们会发现一块编号为“YBC 7289”的泥板。它形似龟壳，边缘有两处磨损，这块散发着原始气息的泥板在公元前1800年曾是软黏土，但经由阳光暴晒、风化干燥、炉内烘烤，它成为了信息的载体，其中的数学思想，一直保存到现在，与我们相见。

泥板上的文字是古巴比伦记数体系，它使用六十进制，对应于现代十进制记数体系的0～59。在表示个位数时，可以使用“Y”字楔形文字；在表示十位数时，则用“—”和“|”来表示。比如这块“YBC 7289”，左上角的三个小箭头似的图案，表示为“— — —”，就是30。然后，我们用十进制记数法表示巴比伦数字：由于水平对角线上的数涉及小数点，所以我们在泥板上得到“24、51、10”这三个数之后，将它换算为十进制数字，会得到1.414213的结果，即精确到十万分之一。在几何学中，正方形对角线与边的关系恰为 a = （或表示成 a ² =2 b ² ） 。针对上面那组数字，我们把它乘以30，能得到42.426389，再以六十进制去表示它，就能得到水平对角线下的一行数字：“42、25、35”。由此我们可以推断，古巴比伦人明确知道一千年之后被称为毕达哥拉斯定理的数学定理。

不只古巴比伦人，建造出金字塔的古埃及人也在使用毕达哥拉斯定理。在保留了古埃及人数学研究状况的莱茵德纸草书中，涉及许多数学应用的问题，如求谷仓体积、土地面积等，其中如何保证金字塔边的斜度的问题正与毕达哥拉斯定理相关。金字塔体形庞大，在科技不发达的年代，没有精密机器，又想保证四个面相等且有相同的斜度，该怎么做呢？古埃及人就用带有等距离间隔绳结的绳子去丈量，并且在这个过程中发现了三边分别为3、4、5的直角三角形。可惜的是，除了纸草书中给出的四个毕达哥拉斯三元组，没有其他证据表明埃及人得到了一个确定的公式。而未经总结的实践经验需要抽象化、理论化，才能推进数学发展，这是古埃及人没有做到的。正如范德瓦尔登所言：“在90%关于数学历史的书籍中，有一本论述了古埃及人知道边长为3、4和5的直角三角形，并使用这个直角三角形摆出了一个直角。然而这一陈述有多少价值呢？完全没有。”

关于这个定理，尽管同样是受解决实际问题的驱动，中国的古代学者却利用了割补法，得出“勾三股四弦五”的明确结论，并且将这一原理推而广之，应用于多种问题的测量和计算。

在本书正文的第一篇“勾股圆方术”中，提到这样一句话：“故禹所以治天下者，此数之所生也。”“禹治天下”说的就是大禹治水的故事，这里的“此数”指的当然就是勾股数。以黄河为母亲河的古代中国是典型的农耕社会，水利工程关乎着农作物成长和人民安全。在舜帝的上古时期，洪水肆虐，民不聊生，大禹接下治水的任务后，便深入中原，左手执准绳，右手拿规矩 （圆规和曲尺） ，测量山川形势以图治水对策。在深入山野和民间的过程中，他发现父辈惯用的“堵”并不是解决洪水的最好方法，所以他决定顺应水之自然，疏通九州水道，凿宽、凿深黄河上游及高处河道，拓宽、疏通下游及泥沙阻塞之处，让黄河顺利注入东海。这不是一项简单的工程，大禹用了整整13年才完成，但正如前文“极简的公式被频繁嵌套在复杂公式中”的表述，勾股定理也在这复杂的工程中发挥了简单而必要的作用。

在大禹的时代，勾股定理也像是古埃及人造金字塔那样，只在实践中应用，要更晚些才有严谨的数学证明。不过证明的手法，与欧洲数学有比较大的差别。相较于希腊人优先使用代数的抽象推演方式，中国古人更擅长使用具象的逻辑推演。虽然最终推导结果相同，但《周髀算经》中的推导过程明显更直观、更容易让人看懂：将一个矩形沿着对角线对折，得到两个相等的直角三角形，并假设这两个直角三角形的短边 （勾） 为三，长边 （股） 为四，对角线 （弦） 为五，之后以弦为边长，在直角三角形斜边上作一正方形，并将四个直角三角形环绕该正方形一周，形成一个大正方形。

在原文中，环绕正方形的过程被称作“既方之外，半其一矩”，这里的“矩”就是一开始取的矩形，“半其一矩”则是沿对角线一折为二得到的直角三角形。想要求得中间小正方形的面积，只需要将大正方形的面积 （7×7=49） 减去两个矩形的面积 （3×4×2=24） 即可得到25，也就是以弦为边长的正方形的面积，自然得到勾股定理的公式： 。这种堆积“半其一矩”的图形求解方法被称为“积矩法”。

如果只给出一个特殊的实例，或许还不能令人完全信服，但前代积累的数学方法和用矩经验，到《周髀算经》成书的时候已经形成一座相当丰裕的宝库。然而勾股术的魅力还不止于此，至少对于后来为《周髀算经》作注的赵爽来说是这样。

赵爽有一篇著名的数学论文《勾股论》。在这篇论文的开头，他一次性给出了两种简易、直观的证明方法：第一种是将勾边和股边各自平方，再加在一起，就是以弦为边的正方形的面积，再开方，就能得到弦长。第二种是先构造一个由四个相同的直角三角形拼成的正方形，以弦为边，中间留出一小块正方形，涂黄；再把所有直角三角形涂红，将一个直角三角形的面积设为朱实，勾股相乘就是两倍的朱实，四个直角三角形就是四倍的朱实；然后把勾股相减所得的值自乘，就得到了中黄实 （即中间涂黄的小 正方形的面积） ，四个朱实加上一个中黄实的面积，等于以弦为边的正方形的面积。

证明结束后，他总结道：“或矩于内，或方于外，形诡而量均，体殊而数齐。”意思是， （勾平方加上股平方等于弦平方这个结论） 不论推导的图案结构如何，结论都是不变的，在推导的过程中，虽然几何图形的形态和数值有各种变化，但最终能够合并为一个面积组合。“量均”是几何意义上的表述，“数齐”是代数意义上的表述，“量均”先而“数齐”后，这是中国古人形象逻辑推导的呈现，彰显了科学态度，说明中国古人的抽象思维能力和数学水平的发展，并不像古埃及人那样，只是“凑巧”在实践中用绳结测量出勾股弦的关系。

程贞一 博士认为：“商高积矩推导法的一个主要成就是把数学由经验层次发展到以推导证明的层次，从而奠定了中国理论数学的基石。”的确，在中国式的数学证明里，几何图形充当了一种变形手段，数量关系最终会被发展成代数形式。有了商高这个奠基人，后代许多杰出的数学家也用不同方式对勾股定理进行推导，如清朝民间数学家梅文鼎在其著作《勾股举隅》中别出心裁的证明、《数书九章》中的三角形面积与秦九韶公式的证明，以及《九章算术》作者刘徽利用出入相补原理达成的证明。这些证明的相同点在于，都是从几何图形出发，特别是刘徽的证明思路，与赵爽相通，即一个平面或立体的几何图形被分割成若干部分后，面积或体积的总和保持不变。

在《九章算术》中，有一句话概括了这种证明方法：“勾股各自乘，并，而开方之，即弦。勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也。合成弦方之幂。” （勾边和股边各自平方，相加后开方，就能得到弦值。将勾边平方后的图形称为朱方，股边平方后的图形称为青方，使因被分割而缺少的部分和多出的部分按照一定的几何规则相互填补，其他不需要变动，这样就能得到弦的平方。） 前一句话是勾股定理的结论，后一句话是证明的过程，理解的难点在于“出入相补”。不过最终证明 c ² = a ² + b ² 的目的不变，只需要分割和填补就够了，“出入”的部分也易用现代数学方法证明全等。

出入相补法的原理在立体几何中也有很好的运用，刘徽就首先创制了三种适用不同问题的基本几何体。限于篇幅，不再展开。

圆方之术

万物周事而圆方用焉，除了勾股定理之外，商高还对圆方之术很有研究。他说，“数学的方法出于圆和方的数理特性”；又说，“圆可由方的数理特性推导”。可见他对几何图形的一般性质已经有了了解。方与圆几何关系的转化，被表示为“毁方而为圆，破圆而为方”。根据这种理论，他用一个单位圆分别容正方形内切和外切，得到圆周率的范围，并推算出近似圆面积以及圆周率，虽然只精确到3，但在那个时代，已经是了不起的成就了。

可惜的是，《周髀算经》中的证明图已经散佚，商高推演的具体步骤，只能靠后来人复原。不过刘徽在《九章算术》中的“割圆术”，正是“毁方而为圆”的另一种说法。《九章算术》中，刘徽先作了一个半径为10的圆，用一个正六边形与圆内接，然后不断增加边数，直到正一百九十二边形，把接于其外界的圆越割越细，所相差的部分越来越少。设想有一个正 n 边形，几乎与圆没有差距，那么也就相当于圆了，这就是“割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。如此一来，圆内和圆外都有一个可测定的极限，刘徽就在这个极限中，算出了圆的周长和圆周率，取得圆周率近似值3.14；在此基础上，祖冲之又利用割圆法把圆周率的有效数字精确到了小数点后7位。

这被验证了的奇妙数理特性，大大加强了方和圆的关联，仿佛量子纠缠一般，其中任何一方出现时，另一方也随之出现，比如后世流行的方孔圆形钱币、上圆下方的明堂建筑、儒生圆形的头冠和方形的足履——当这些方圆出现的时候，其所蕴含的就不仅仅是数学知识那么简单了，而是被赋予了文化意义。追溯到最初的“天圆如张盖，地方如棋局”的盖天说理论，可以看到古人的朴素的宇宙观，这也正是《周髀算经》一书的指导理论。观察“圆方”一词和它们出现的地方，我们会发现很多时候圆在前，方在后，这是因为在古人的观念里“上圆法天，下方法地”，天总是高于人的，应当尊重天，以天为先。所以在提及儒生的装扮时，不是“儒者戴大圆、履大方”，而是“戴大圆者履大方”。这就是说，头戴圆形帽子的人，才能好好地在地上行走、做事，“圆”是一个前置条件。那么方在前面的情况有没有呢？有，就比如“无规矩不成方圆”。这首先大概是因了发音和押韵的方便，其次，商高也承认“圆出于方”，按照数理关系来说，这是合理的。

“圆出于方”的后一句，是“方出于矩”。这个“矩”恰好也和“无规矩不成方圆”里的是同一个“矩”，那么它究竟是什么样的东西呢？这就是《周髀算经》上卷的又一个重点了。

三、矩与重差

在山东嘉祥县汉武梁祠石室中的画像石和吐鲁番市唐代古墓群的绢绘图上，均有一幅“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”的画面：伏羲是天地之父，女娲是天地之母，两者皆人首蛇身，旁边还跟随着下属，他们一位向左，一位向右，分别拿着规和矩，准备丈量事物的尺寸、规律以造福先民。在古代，“规”和“矩”这两个字很早被应用，在公元前15世纪的甲骨文上就已经被发现。作为测量和绘图的工具，它们经常需要搭配使用，大禹治水就是一个大规模应用规、矩的实例。也正由于它们常常在一起出现，以至于到战国时代被孟子总结为：“不以规矩，不能成方圆。”这句话使“规”和“矩”有了礼仪制度的含义，且在流传中成为了其主要意义。现在让我们回归词语的本意，从石像的画面上看，“规”就是画圆的工具，与现代的圆规构造相似，一边用来确定圆心，一边用来画圆。在中国长期的测绘过程中，“规”的变化并不大，但“矩”却有多次的形象变更。从外形看上看，“矩”是一个折成直角的曲尺，两条垂直的边之间还有一根加固用的连杆。以汉代为分界，汉代以前的矩，两条垂直边等长，边上无刻度，仅用于画直角；汉代以后的矩，两条垂直边一长一短，便于持握，边上标有刻度，能够测量数据。于是，在与规配合绘制各类图形之外，矩成为了精准的几何测算工具，它的身影出现在许多数学科技典籍中。

如果想得到近处物体的相关数据，用直尺或绳就可以测量。但总有山川江河无法攀爬、渡过，正如大禹治水时遇到的情况，此时如果要测定它们的高度、深度以及两点间的距离，该怎么做呢？商高将用矩的方法归纳为：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远。”在具体应用过程中，“平矩”是最首要、最基本的操作：将矩的一边水平放置，使另一边靠在铅垂线上或与铅垂线重合，以此确定水平线，在确保分别垂直、水平后，再根据实际情况进行变化，测量不同情况的数据。“偃”是仰面放倒，“偃矩以望高”是把矩竖起，可以测量高度；“覆”是底朝上翻过来，“覆矩以测深”就是把矩倒置，可以测量深度；“卧”是躺下，“卧矩以知远”就是把用以测高度或深度的矩平放在地面上，可以测出两地间的水平距离。容易看出，用矩的方法实质上是利用勾股对应边成比例的规律，以小推大，以近推远，测高望深。

在归纳完用矩方法后，商高说道：“智出于勾，勾出于矩。夫矩之于数，其裁制万物，惟所为耳。”作为工具，矩是一种小，一种近；而规与矩的应用，应当能延伸到更广的范围，制裁万物，在对天地宇宙的测量中大显身手，矩就是一种大，一种远了。

为了构造天地模型、制定历法，弄清日影变化与太阳自身运动规律是不可忽视的一环，而陈子测日法应当是有记载以来最早的对于日高和日径的测算。他首先确定夏至日和冬至日的影长，以竖立起的表竿无日影的正午为分界，用8尺高的周髀作为主要测量工具，等到影子有6尺长，就能应用“勾六、股八、弦十”的比例了。此时取一个内径1寸，长8尺的空心竹筒，使得太阳的外缘能恰好填满竹筒的内孔，于是能得到人至太阳的距离与太阳直径的比率是80:1，即竹筒长80寸和内径1寸的比率。若需再计算观测者到太阳的斜线距离，只要以太阳高度为股，以观测者到日光照耀下周髀的距离 （此时不产生影子） 为勾，就能求得观测者到太阳的斜线距离是10万里。因为已经知道比例关系 （80:1） ，所以在距离80里相当于直径1里的情况下，太阳的直径就是1250里。同时有一个更重要的结论是：南北方向的距离每改变1000里，影长相应地也增减1寸，这就是古代所谓的“寸差千里”或者“千里差一寸”的天文测算规律。

赵爽在注释中为日高图作的证明，同样是以勾股定理为基础，以图形求解，运用出入相补原理，割补面积，也求出了日高。赵爽的方法被称为“日高术”，而“日高术”的真正发展，还要归功于魏晋时期的数学家刘徽。

刘徽在为《九章算术》作的注中，发展了日高术，得到了“重差术”。他对重差术的评价是：“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差，勾股则必以重差为率，故曰重差也。”由此可知，“重”是重复，“重差”是两次及以上测得日影的相差，也是以勾股术和用矩术为基本的操作。但“重差”一词并不是刘徽的首创，而是从《周礼》的注疏中来的。《周礼》中关于“九数”的论述是这样的：“方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、盈不足、旁要；今有重差、夕桀、勾股也。”在《九章算术》的246个问题中，可以一览这“九数”的全貌。“九”这个数字也仿佛有魔力似的，在《九章算术》的第一章《勾股》的最后，刘徽根据所需测量对象的不同特性，将问题分成九个类型，并逐个介绍测量理论和方法。这种应用的推广，被称为“重差九问”，对后世影响巨大。它的第一问是这样的：

今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，今后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰亦与表末参合。问岛高及去表各几何？答曰：“岛高四里五十五步，去表一百二里一百五十步。”

两次测望就能得出结论，因此海岛测望模型是重差法应用案例中最经典的一道题目，故而唐高宗年间编者在审定并注释《算经十书》时，将这“九问”独立出来，编集命名为《海岛算经》，并规定了三年学习期限，而其他的算经多为一年，可见重差术在解决具体问题中的实用性和重要性。在书中，“望松” （今有望松生山上，不知高下……问松高及山去表各几何？） 一题需要测望三次，“白石” （今有望清渊下有白石……问水深几何？） 需要测望四次。但无论需要测望几次，都只是勾股比例关系的重复运用。刘徽对这种比例关系的应用相当精通，并将其概括为“率”：“凡数相与者谓之率，凡所谓率者，细则俱细，粗则俱粗，两数相推而已。”就是说，同时扩大或缩小不等于零的相同倍数，率是不变的。于是，凡是比值一定的数，都可以用率来表示，率也成为了中国古代数学表示数字比值的一个术语。在进行计算时，只要“不失本率”，计算就能无误。我们现在知道，利用三角函数正余弦知识也能解答这些问题，但刘徽没有提及，他只是将勾股比例关系应用到了极致。这种数学思维的影响很是深远，如南北朝的《张丘建算经》，北周·甄鸾注的《数术记遗》都提及了有关重差术运用的题目，特别是甄鸾，他也为《周髀算经》作过注。

《算经十书》的总编者李淳风对《海岛算经》有相当深入的研究，他为所有题目都作了注释，并在题后附上运算过程。重差术在小范围内使用，相对精确，偏差不大，但作为数学家兼天文学家，李淳风进一步地思考了“千里差一寸”的结论是否正确，换句话说，重差术在更大范围内是否仍有实用性。从现代天文学的角度看，地球是一个表面不平整的球形，而重差术是在盖天说这种宇宙认知观下形成的，每一千里的差值都相同，是明显的谬误。多次测算后，李淳风发现刘徽重差法在平地状态下的局限性，遂将重差术改进为“斜面重差术”，也称“余面重差术”。

陈子测日影时，首先确定了夏至日影长，这是由于冬至、夏至日前后三四天内，表影伸缩比较小，误差小。李淳风的表影测量，自然也是在夏至日进行的。然而李淳风在多次测量的过程中意识到“寸差千里”的局限性。依照盖天说的天体模型，在《晋书·天文志》中“天中高于外衡冬至日之所在六万里，北极下地高于外衡下地亦六万里，外衡高于北极下地二万里”的结论，表明了太阳有高低之别。这个结论容易理解，因为太阳处于不间断的“公转”和自转。但使用重差法测量日影却有前置条件：在盖天说体系内，地面必须水平、表竿必须垂直、太阳必须平移运行。而一旦太阳平移运行，就不应该推导出不同的高度，这与《晋书·天文志》的结论产生了明显的矛盾，而且，地势高低也会影响测望的结果；那么，“寸差千里”的结论，就更为不准确了。于是，李淳风在测影实践中总结出了“六术”，用来应对各种实际情形。

第一，后高前下术；第二，前高后下术。前一种是自上而下测望；后一种是自下而上测望。这两种方法都以在选定的两点上竖起的表的高度差为勾，以两表的斜线距离为弦，求出一个叫“定间” （把后表移至与前表同一水平位置时两表的距离） 的值，再套用《海岛算经》中已证明的公式，就能进行计算，得到日高之类的值。

第三，邪下术；第四，邪上术。“邪”通“斜”，顾名思义指斜面。这两种方法都是依据两表的水平高度差，把在水平面上的晷影求法转化到斜面上来的测望法：前一种向上作出两表在倾斜地面上的影长，用于向南测望；后一种向下作出两表在倾斜地面上的影长，用于向北测望。以上四种方法，是斜面重差术的主要内容，使用的依旧是重差公式和相似三角形对应边成比例的性质，利用这个性质把斜面测量问题转换成平面测量问题，精简问题模型，多次测望，变换比例，最后套用公式，得出结果。

第五种，平术。也就是在平地上使用的重差术，没有高低和方向的限制。

第六术是关于外衡的一些理论。以地球为观测中心，盖天说的支持者分析季节和日月运行的理论关系，将太阳的周年运动设想为七条间隔平均的同心圆轨道，并总结为一张图，名为“七衡图”。从内到外，分别是内一衡、次二衡、次三衡……直至次七衡，内一衡 （内衡） 是夏至日道，次七衡 （外衡） 是冬至日道，其余每一衡分别对应着不同节气，比如次二衡是小满、大暑的日道，次四衡 （中衡） 是春分、秋分的日道。相邻两衡的间隙被称为“间”，七条衡产生六个间，于是七衡图也被称作“七衡六间图”。

若将七衡图细分，还可分为青画图和黄画图。青画图是一个圆圈，圆心是观测者上方标示出的北极璇玑，并涂成青色；黄画图以北极为圆心，画出黄道 （太阳周年运行路线） ，在内衡之外，外衡之内涂上黄色。黄画图上布列二十八宿和日月星辰。使用时，青画图在上，黄画图在下，以北极为轴旋转，两图重叠，能得到各种交会表示的天象。

七衡图是一个非常理想化的模型，在表示大致方位时，它尚有一定参考性，但由于盖天说的原生缺陷，七衡图上的所有的结果都以“地面是平面”的思想为指导，套用平面重差术计算而得，在今天看来是不合理的。李淳风在对照多项古来的日影测量数据后，终于得出结论：“千里差一寸”不一定正确。

可是，为何李淳风非要揪着“寸差千里”的问题不放呢？首先，这是历代天文学家在现有宇宙认知体系中的理想追求。在古代天文学中，天圆地方的概念相当深入人心，几乎是到17世纪，这种观念才被来华传教士所改变。在中国古人的初始宇宙观念中，地是方的，就意味着天文学家们能找到一个地面中心——“地中”，作为进行天文观测的原点坐标。依照《周礼》“寸差千里”的标准，古人测定阳城 （位于今河南省郑州市登封市告成镇王城岗） 为地中。但后来的人在实际测量过程中越来越意识到，靠“寸差千里”，是无法测出地中位置的。从南北朝到唐代，祖暅、刘焯、僧一行、南宫说 等人纷纷用不同方法，在多地实施测量，李淳风更是其中一员。他们的质疑和实践最终在《新唐书·天文志》形成有记载的结论：“旧日说王畿千里，影差一寸，妄矣。”这说明“千里差一寸”的观念在唐朝最终被推翻。

李淳风作为一位数学家勇于担当，他为陈子测日术写了两千字左右的附注，多方面论证了“千里差一寸”的误差，提出并总结了“斜面重差术”的具体应用方法。文章的最后，他说：“若以一等永定，恐皆乖理之实。”意思是说测量的情况是多变的，表影测量每次得出的数据并不相同，如果总是套用“千里差一寸”的范式，恐怕会背离实际，于理不合。一方面，这句话点明了在科学计算中态度严谨的重要性；在另一方面，李淳风的这一番反省还透露出中国古代的经典逻辑类推思想，又叫作“通类思维”，它所使用的推理方法是举一反三，由个例推广到一般。

正如荣方在向陈子请教宇宙星宿的问题时，陈子告诉他，想要得到这些问题的答案，需要学会用两表竿测望高、远的技术，并熟练运用通类思维，最后达到“问一类而以万事达者”的境界，真正地“知道” （通晓事物的规律） 。这个过程用现在的话讲，就是先掌握普遍的规律、方法，再在理解的基础上进行推导和推论。中国古代数学家是精于发现普遍规律的，比如刘徽的“率”，在“率”的基础上，刘徽解决了面积、体积、勾股形、盈不足、方程等复杂问题。这些能被套用的数学理论和计算方法，被称作正则化模型。而推导的演绎，在历法的形成上运用得尤为明显，试摘一段陈子推论天地模型的段落为例：

日夏至南万六千里，日冬至南十三万五千里，日中无影。以此观之，从极南至夏至日中十一万几千里……凡径二十三万八千里，此夏至日道之径也。……从夏至之日中至冬至之日中十一万九千里，北至极下亦然。则从极南至冬至之日中二十三万八千里……凡经四十七万六千里，此冬至日道径……从春秋分之日中北至极下十七万八千五百里。

这段文字中的数字虽然多，但表述上很有规律，赵爽言陈子所述数学之理，是“举一隅使反之以三也”，其言甚切。

四、中国古代天文学：星象、历法、宇宙观

人类的生存依赖于光、热、水，越是原始的人类，越仰赖自然来获得生存资料。因此，白日里产生光与热的太阳、夜晚时带来光与寒的月亮、晴朗天气时的满天繁星，都能极大地激起人们的好奇心：太阳是如何运转的？为什么不同时候太阳照射的人影物影长短不一？为何太阳正午的时候高度不同？月亮与太阳是如何更替的？为什么月亮一个月中有盈有亏？还有星星，在某方向总是出现的星星是什么星？它们的移动又有什么规律？这些问题，原始人类无法解答，但随着四季更替，他们也能大致发现一些周期性的变化，为农业耕作做好规划，譬如日出而作、日落而息、春种秋收、秋收冬藏。这些农业习惯的表述虽然略显粗糙，但掌握它们的重要性对于当时的人类来说，是不言而喻的。就在掌握天时的过程中，人们产生了类似于宗教的敬天文化。

这种敬天文化认为，由于“天”的变化直接影响人类的生存，所以“天”是处于最高地位的超自然力量，与“地”相对应，地上有人，天上就有神。但天与地，神与人的沟通，需要由具有神力的巫师来完成。一般来说，女性的巫师被称为“巫”，男性的巫师被称为“觋”，他们的日常工作是通过占筮、祭祀、歌舞等活动，通达天意，向天祈请，以定农时，以避灾祸。再有，就是观测天象，总结规律，形成历法，指导民众。夏代形成的历书《夏小正》，记录了物候、气象、草木、星象等自然现象。它们得以被发现、记录，与巫师的工作分不开。而能够从事巫师这份工作的人也因此获得了独一无二的解释权，并且利用超自然力量的神秘感和民众对自然福祸的敬畏，将知识生成的手段保存在固定的圈层内，由此获得了以天为支撑的统治力量。所以在上古时代，帝王本人往往就是群巫之首——巫能通天，进而为王，自是顺理成章的意料中事。

这就是原始社会和奴隶社会的天文认知情况，尽管带有浓厚的宗教性质和迷信色彩，但仍可大致认为这就是中国古代天文学的萌芽。在从奴隶社会进入封建社会后，由于最高统治者权力由“天”下放到人间的帝王，天文学的宗教狂热色彩慢慢减弱，代之以阴阳五行八卦 的学说，“四分历”也被创造出来。民众接受了一种较为守序的统治，但秩序之中又会产生一个问题：原先支配着人生死的是“天”，现在支配人生死的是帝王，可帝王是如何从“天”手中取得权力的呢？不解决这个问题，封建君主的统治就带有根源上的不合理性，于是，帝王在多方面做了努力，来表明自己权力的正统地位。

星象

《尚书》说：“先王有服，恪谨天命。”直言帝王是遵照“天”的要求做事的，帝王能得到“天”的指示，“天”也会对帝王的行为作出评判。这套天人感应的理论到了汉·董仲舒的手里，被纳进儒家学说的框架，将道德伦理中的父为子纲作为根据，君主自称为“天子”，家国同构，伦理是人人都应遵守的社会规范。如此一来，君主“天”之代理人的身份便顺理成章了，董仲舒的“天人合一”新儒学也成为此后历朝历代的政治基本。不过，虽然这套理论为君主的权力提供了正统性与合法性的依据，但它也限制着君主的权威；在这里发挥主要作用的，是占星术。从事星象观测的官员，称为占星家，他们内部也分成两派。一派基于阴阳五行说，给天体命名，如阳为日，阴为月，太一为北极星，金木水火土各对应一颗行星，一年之中他们反复观察五星运动的变化，总结规律。另一派专门观察奇异天象，也就是《周易》中提到的“观乎天文，以察时变”。每当天文现象发生异常变化，譬如天体运动速度过快、光亮程度激增，他们就要对皇帝治国理政提出建议。尽管从现在的科学观念来看，这些现象只是流星、彗星的出现或者新星超新星的爆发，与发生灾祸没有必然联系。但当天文与人事有预设的联系时，星象异变就成为了政治现象，甚至会引起杀伐。

《尚书·胤征》记载了世界上最早的日食记录。当时 （公元前2137年） ，太阳神的象征兼天官羲和因为沉湎于酒色，废乱时间日程，没有预测出当年的日食。那天是朔日，一切看起来都很平常，然而毫无预兆地，普照大地的阳光突然一点点暗淡，光亮的太阳渐渐被遮住，四方天空在短暂的时间里便沉如黑夜，行走在街上的人、郊野外的动物，对这末日般的景象没有准备，纷纷逃窜，寻找道路。人们心中惴惴不安，以为是天狗食日，要君主向天祭祀，才能叫天狗把太阳吐出来，否则灾祸将要降临到这个国家里。首先遭遇凶险的，就是君主。君主在位期间发生了日食，就说明他品德有失，只是本来能通过焚香祭祀赎罪的事情，天文官居然没有预测到，这使当时的君主仲康 震怒，他派将军胤侯征伐羲和，判此为无赦之罪。又比如在宋代，王安石进行变法之时，有彗星出现。反对者认为这是新法悖逆天意带来的警告，应当停止改革。王安石据理力争，可宋神宗认为“天变不敢不惧”，意欲终止变法。保守派有了底气，借题发挥，屡屡上书贬损王安石的政治举措，最后逼得王安石罢相，放弃变法。可见天文异变的影响之大。历朝历代想要建立一番功业的帝王，都在王城内设立了观象台，大行祭祀，有时观测与祭祀场所合为一体，目的多在于此。得益于君主的重视和严格管制，中国对日月食的记载相当丰富，记录了超过500次彗星出现，还总结出彗星的彗尾总是背向太阳的规律，这比欧洲早了大约900年。不过，也正因天文政治有强相关性，所以人事常常影响天文记录，有时，一些预兆凶象的星也能被阐释为吉象，不可能出现的天文现象也会被记录在册，这都是天文与政治紧密联系而产生的结果。

历法

在占星之外，“天”之所以被尊奉，是因为它能够指导农业生产，不误农时，这才是被统治民众最深切的需要，所以君主在位期间，选择使用或创制一套精确的天文历法就显得尤为重要。中国历法用的是干支纪年法，从春秋末年的黄帝历到太平天国的天历为止，一共诞生了102种历法，足见历法的地位。官方观测天象，制定历法，督促民众使用的过程叫作“观象授时”，它有几个主要的方法：一是在太阳初升或太阳将落之时观测亮星的位置；二是观察北斗星，指示一年四季；三是以月球盈亏规律推定太阳位置；四是表竿测影，总结太阳运行规律。天文学本质上是一门测量学科，观测所需要的数学方法，在前面已经提到，此处不再赘述，只以中国历法史上划时代的事件——“太初改历”为例，呈现政治对于历法的影响。

这是一场被三次搁置，但最终顺利完成的立法变革。秦统一六国之后，颁行了在周朝就已制定的《颛顼历》，这是一部“四分历” 日为回归年长度的历法，回归年长度的小数正好将一日四分，故称为“四分历”） ，把十月作为一年的开端，配合“五德始终 ”的理论顺利运行。到了汉初，国家施行休养生息的政策，大部分制度承袭前朝，可是此时的历法经过周代与秦代的百年岁月，早就与当时的实际情况不匹配了，再加上“寸差千里”的理论本身就不尽准确，造成了农时的延误，不再适应生产生活需要，理应变更。但由于前朝遗留下来的统治势力过于强大，变更历法的事情虽然被个别年轻官员提起，如贾谊，但只是白白地遭到许多前朝老臣的反对，改历便第一次搁置下来。之后公孙臣向汉文帝提起，说有“黄龙”祥瑞会顺应汉朝的土德出现，“天”已经承认政权的合法性，应当听从天意，尽快改历。此时前朝丞相张苍反对说：“事下丞相张苍，张苍亦学律历，以为非是，罢之。”但是，公孙臣的预言不久后就兑现了，汉文帝大受提醒，便开始着手准备改历。

改历的第二次搁置，起因是一个叫新垣平的人假造祥瑞，欺瞒汉文帝，后被揭发，汉文帝期望落空，对天象、历法之类的事情失去兴趣，也就不了了之了。之后汉武帝继位，他野心勃勃，自发组织官府内和民间的天文学家，准备改定历法，变换服色，然而受黄老之学影响的窦太后不接受儒家体系下的“五德”之说，于是改历第三次搁置。直到窦太后去世，改历一事才得以真正实施。公元前104年，《太初历》完成，汉武帝举行了颁历典礼，并改年号元封七年为太初元年，这场前后波折近一百年的变革才终于完成。

《太初历》的形成，标志着中国具有了一部较为完整精确的历法：首先，它重新测量影长，计算日期，纠正了古历的错误；其次，《太初历》把正月定为岁首，这一改正沿用至今，仍旧科学；再者，《太初历》是官方第一次把二十四节气纳入历法，大大方便了农业的耕种与收获，《周髀算经》等书的成果也终于得到应用。数学与天文学相结合，自然科学与人文社科相互影响，正是中国古代独特的文明样貌。

宇宙观

盖天说是相当古老的宇宙模型学说，它的基本模型就是“天圆如张盖，地方如棋局”，北极位于天穹中央，高高隆起，称作“北极璇玑”，《周髀算经》就是在盖天说理论指导下形成的代表作。

浑天说的产生要稍晚于盖天说，它的代表作《张衡浑仪注》认为宇宙的模型是这样的：“浑天如鸡子。天体圆如弹丸，地如鸡子中黄，孤居于天内，天大而地小。”这个模型将天想象成球形，认为“地有四游”，地球在空气中回旋浮动，沿着一定轨道的周期性运动产生了四季，全天恒星也都布于一个“天球”上运行。据此，浑天说采用球面坐标系，以赤道坐标量度天体的位置，计量天体的运动，如昏旦中天，日月五星的顺逆去留。

浑天说与盖天说两派历来存在许多争论与对峙，而争论主要爆发在汉朝太初改历的时候。站在现代的天文角度看，盖天说的宇宙模型是错误的，而其代表作《周髀算经》所记载的七衡六间图、二十四节气等，也都是采用类推的逻辑方法，结论并非出于实测，导致错上加错，偏差比较大。但它对于太阳影长的结论如“寸差千里”却被沿用了下来，直到太初改历的发生。当时，浑天家落下闳对二十八宿的各项数据和影长都进行了重新观测。这种基于实测的观测法具有现实的实用性和可靠性，再加上浑天家创制了浑天仪，大大方便了观测，更具科学性、严谨性、务实性，使得浑天说在与盖天说的争论中占据上风，并在汉朝后成为主流。

同浑天说和盖天说相类似，宣夜说也是古人提出的一种宇宙学说。宣夜说起源很早，但留存下来的文字资料不多。李淳风在《晋书·天文志》中记录：“是以七曜或逝或住，或顺或逆，伏见无常，进退不同，由乎无所根系，故各异也。故辰极常居其所，而北斗不与众星同没也；摄提、填星皆东行，日行一度；月行十三度。迟疾任情，其无所系著可知矣，若缀附天体，不得尔也。”意思是，宣夜说认为天是没有形质的，天体各有自己的运动规律，宇宙是无限的空间。这种宇宙结构体系与某些现代天文学结论有惊人的重合之处，然而由于在古代缺乏理论的证明，实用性不高，它只能被保留在思想领域，成为一种思辨的假说。 eM/wI4dt9U8LbQCbjg9z2Bn4z6N+Oz4QIouqOx4cXiQ2/CIBQmO1Ztta54zqtt3U