第5章
联言、选言和德·摩根定律

5.1 联言和选言

主张命题P和命题Q皆为真的命题叫作P和Q的“ 联言 ”。这个词可能大家没怎么听说过，可理解为将P和Q“联系起来讲”。

表示联言的语言是“P并且Q”，也可以说“P然后Q”，不过，“P然后Q”这种表述中，不仅包含P和Q皆为真的意思，还包含P然后Q这一顺序。例如，“天空发亮，然后，雷声轰鸣”，这句话表示了闪电之后才出现雷鸣这一顺序。但是，联言并不关涉顺序，只是强调P和Q皆为真。所以，比起“然后”，还是“并且”更适合联言。

主张命题P和命题Q至少有一方为真的命题叫作“ 选言 ”。有一种P和Q“选择来讲”的感觉。表达选言的代表性说法是“P或者Q”。

不过，“P或者Q”这一说法多少有点儿不够明确。虽然传达出了P和Q两项中的其中一项为真这一意思，但并未表明两项都为真是否也可以。之所以采用“命题P和命题Q至少有一方为真”这一说法，是因为想用“至少”一词使其包含“两项也可以”这一语意。像这种“两项也可以”的选言叫作“ 相容选言 ”，而“两项不可以”的选言叫作“ 不相容选言 ”。例如，倘若说“中午吃天妇罗盖饭或者炸猪排盖饭”的人，即使因为今天太饿了所以两者都要吃也不算撒谎，那意思就是“中午至少吃天妇罗盖饭或者炸猪排盖饭中的一种，也有可能两种都吃”，这就是相容选言，但如果是“吃其中的一种，不是两种都吃”，那就是不相容选言。

关于这一点，第二篇中还会讲到，这里仅做简单介绍。我们涉及的选言是相容选言。后文说到“P或者Q”的时候，大家理解为P和Q两项都为真也可以。

在日常语言中表达联言和选言的时候，有时也会用“并且”和“或者”以外的其他词语。但是，分析其中所蕴含的逻辑时，还是用“P并且Q”和“P或者Q”之类的形式更清晰易懂。这里的P和Q是命题，所以应该理解为用“并且”和“或者”将主谓语齐全的两个句子连接起来。下面来做一下练习。

问题2 将下列句子改写成“ 并且 ”或“ 或者 ”的形式。（空格处填入主谓语齐全的命题。）

（1）住吉君吃了拉面和炒饭。

（2）市立图书馆和县立图书馆中的一个闭馆。

请将主谓语齐全的两个命题用“并且”或“或者”连接起来。

问题2的解答

（1）住吉君吃了拉面，并且，住吉君吃了炒饭。

（2）市立图书馆闭馆，或者，县立图书馆闭馆。

我想也会有人想在第1个小句子中加一个“也”字，说“住吉君吃了拉面，并且，住吉君也吃了炒饭”。这么说也对，而且这样或许更自然，但这里关键是要突出用“并且”来连接“住吉君吃了拉面”和“住吉君吃了炒饭”这两个命题，所以不必太过发挥，直接回答就可以。

练习问题5 将下列句子改写成“ 并且 ”或“ 或者 ”的形式。（空格处填入主谓语齐全的命题。）

（1）织女星和天狼星都是恒星。

（2）海豚和鲸鱼都不是鱼。

（3）濑户君养着狗或猫。

5.2 联言的否定即否定的选言，选言的否定即否定的联言

我们将联言和选言与否定结合起来看一下。

虽然不进行任何说明便直接提出问题可能会令读者感到疑惑，但这里还是想结合具体问题进行说明。

问题3 请从①②中选出与命题P的否定等值的命题。

P：住吉君吃了拉面和炒饭。

①住吉君拉面和炒饭都没吃。

②住吉君至少没有吃拉面和炒饭中的一种。

命题P“住吉君吃了拉面和炒饭”为假会是什么情况呢？倘若拉面和炒饭都没有吃，那P的确为假。可是，P为假并不是只有这种情况。由于P说的是“两者都吃了”，所以，在吃了拉面但并未吃炒饭，或者吃了炒饭但并未吃拉面的情况下，P也为假。表达这类情况的就是②。“住吉君至少没有吃拉面和炒饭中的一种”这一说法也包含两者都没吃的情况，这一点请大家注意。

问题3的解答 ②

为了将该问题置于“联言、选言、否定”这组关系中加以把握，下面直接使用“并且”和“或者”进行表述。

命题P可做如下表述。

P：住吉君吃了拉面，并且，住吉君吃了炒饭。

否定这一命题便是下面这样。

not P：住吉君没有吃拉面，或者，住吉君没有吃炒饭。

在这里，“或者”是相容选言。也就是意思为“P和Q至少其中一项为真，也包含两者皆为真的情况”的“P或者Q”。

将这种情况进行一般化表述便是下面这种形式：

not（P并且Q）≡not P或者not Q。

“≡”这个符号大家还记得吗？当命题P为真和命题Q为真一定联动的时候，便说“P和Q等值”，写作“P≡Q”。现在就是说“not（P并且Q）”为真等同于“not P或者not Q”为真。

但是，如果写作“not（P并且Q）≡not P或者not Q”的话，大家或许会觉得难以理解。这时便请理解为“因为说的是拉面和炒饭没有都吃，所以，应该是说拉面和炒饭中至少有一种没吃”。

“not（P并且Q）≡not P或者not Q”这一关系叫作“ 德·摩根定律 ”。德·摩根指的是英国数学家奥古斯都·德·摩根（1806—1871），该定律由其研究得出，便被称作“德·摩根定律”。

该定律不仅适用于联言，也适用于选言，也被称为“德·摩根定律”。

问题4 请从①②中选出与命题P的否定等值的命题。

P：濑户君养着狗或猫。

①濑户君狗和猫都没有养。

②濑户君至少没有养狗和猫中的一种。

关于濑户君是否养着狗或者猫，可以考虑以下4种情况。

（濑户君的狗猫喂养情况。）

（1）狗和猫都养着。

（2）养了狗但没有养猫。

（3）没有养狗但养着猫。

（4）狗和猫都没有养。

其中，命题P“濑户君养着狗或猫”为真的是（1）（2）（3）这三种情况。（这里再多说一句，由于是相容选言，所以也包含（1）。）如此一来，由于命题P的否定not P为真的便是P为假的所有情况，因此就是（4）这一情况。也就是说，答案是①。

问题4的解答 ①

为了将该问题置于“联言、选言、否定”这组关系中加以把握，下面直接使用“并且”和“或者”进行表述。

命题P可做如下表述。

P：濑户君养着狗，或者，濑户君养着猫。

否定这一命题便是下面这样。

not P：濑户君没有养狗，并且，濑户君没有养猫。

将这种情况进行一般化表述便是下面这种形式：

not（P或者Q）≡not P并且not Q。

将上面的情况结合起来便叫作“ 联言和选言的德·摩根定律 ”。这里之所以加上“联言和选言的”，是因为后面提到的“所有”和“有的”这组关系中也会涉及德·摩根定律。后面出现的德·摩根定律叫作“全称和存在的德·摩根定律”。不过，大家也可以不必在意这一点。现在先集中精力去理解联言和选言的德·摩根定律吧。

虽然这是一个习惯了自然而然就能理解的定律，但对于初学者来说，或许还是会感到有点儿混乱。来做一下练习吧。

练习问题6 请从①②中选出与命题P的否定等值的命题。

P：今天，市立图书馆和县立图书馆中的一个闭馆。

①今天，市立图书馆和县立图书馆都不闭馆。

②今天，市立图书馆和县立图书馆中的一个不闭馆。

练习问题7 请从①②中选出与命题P的否定等值的命题。

P：东京迪士尼乐园和东京德国村都不在东京。

①东京迪士尼乐园和东京德国村都在东京。

②东京迪士尼乐园和东京德国村中的一个在东京。

练习问题8 请用德·摩根定律写出命题P的否定。（写成用“并且”或“或者”连接主谓语齐全的两个命题的形式。）

（1）P：相马君不打高尔夫，并且，相马君打棒球。

（2）P：田所君是素食主义者，或者，田所君不喜欢吃肉。

（3）P：热海和汤河原都在静冈县。

（4）P：火星或木星上存在生命体。

先总结一下联言和选言的德·摩根定律。