1.2.2 指数分布模型

指数分布模型是一种恒定故障率的模型（具有唯一参数）。设随机变量 T ～ E （ λ ），则其可靠性评价函数分别为

其中， λ 表示失效率，是一个常数。指数分布模型可靠性评价函数仿真曲线如图1-5所示。

对参数 λ 推导极大似然估计公式，由式（1-26）和式（1-20）可得指数分布似然函数：

对式（1-29）进行对数变换：

对参数 λ 求偏导：

令式（1-31）等于0，解得 λ 的MLE公式为 C23orjJT+OLonlgtbGZ4tKiq5VHIH5Ha8owkMpzjN/ooqqlns3uEfUVhievoNDgw

1.2.3 正态分布模型

正态分布（高斯分布）模型对平均寿命附近失效集中发生的现象具有灵敏的响应度。设随机变量 T ～ N （ μ ， σ ² ），则 F （ t ）的函数表达式为

式中， μ 为位置参数（均值）， σ 为尺度参数（ σ ² 为方差）。由于式（1-33）没有封闭解，计算较为困难，故引入标准正态分布 T ～ N （0，1）。

首先，令

则有

因此，对于求解非标准形式的正态分布，要先对其进行标准化处理。最终，可靠性评价函数的标准化形式处理如下：

当 μ 恒定（如 μ =10）而改变 σ 时，4种可靠性评价函数仿真曲线如图1-6所示。

对参数 μ 、 σ ² 推导极大似然估计公式，由式（1-38）和式（1-20）可得正态似然函数：

对式（1-41）进行对数变换：

对参数 μ 、 σ ² 求偏导：

最终整理得到正态分布参数的MLE公式为 yEeQUo/WSfynHMOXqU8d/EyehcrkcUdM4TEyv/x0SNZEDnyXRpY0IQd+CFURwoKL

1.2.4 对数正态分布模型

若设非负随机变量 t 的对数ln t 服从正态分布，则变量 t 服从对数正态分布，即ln t ～ N （ μ ， σ ² ）， F （ t ）的函数表达式为

若令 ，则其可靠性评价函数可处理为标准化形式：

尺度参数 σ 的变化会对函数曲线产生影响，函数变化趋势如图1-7所示（图中参数 μ 的取值为ln500 ≈ 6.2）。

对参数 μ 、 σ ² 推导极大似然估计公式，由式（1-47）和式（1-20）可得对数正态似然函数：

对式（1-50）进行对数变换：

对参数 μ 、 σ ² 求偏导：

最终整理得到对数正态分布参数的MLE公式为 yEeQUo/WSfynHMOXqU8d/EyehcrkcUdM4TEyv/x0SNZEDnyXRpY0IQd+CFURwoKL