4.1 平面谐振器基本理论

4.1.1 微波谐振器谐振的基本特性

微波谐振器是很多微波电路设计的基本单元，其功能和低频电路中的集总参数RLC谐振回路（如果不考虑损耗，则为LC谐振回路）十分相似。从本质上讲，微波谐振器（包括平面谐振器）和集总参数RLC谐振回路，二者产生谐振/振荡的物理过程都是电场能量和磁场能量相互转换的过程，但二者又有明显区别：

（1）RLC谐振回路是集总参数电路，微波谐振器则是分布参数电路；

（2）RLC谐振回路只有一个谐振频率 ，而微波谐振器则具有多谐振性，当尺寸一定时可有无限多个分立的谐振频率，这些谐振频率对应不同的谐振模式；

（3）微波谐振器的品质因数比RLC谐振回路高得多。

这里以图4.2所示的任意形状的空腔谐振器（由理想导体构成）来说明微波谐振器的基本特性。任意形状的空腔谐振器在理想导体边界条件下，同时满足麦克斯韦方程和电磁场边界条件，其谐振频率由这些条件限制。由麦克斯韦方程

可得：

式中， k 是波数。用 E ^* 对式（4.2）两边求数量积，并对空腔体积 V 进行积分，得：

利用矢量恒等式

可得：

应用高斯定理，式（4.5）等号左边第2项可把体积积分转变为边界面上的面积积分，利用理想导体边界条件可证明在边界面上被积函数为零，于是式（4.5）变为

由此可见，并非任意 k 值的电磁场都能在腔内满足麦克斯韦方程和边界条件。能够在腔内存在的电磁场，其 k 值必须满足

式中， 是一些分立的值。和 相对应的频率 就是谐振腔中可能存在的电磁谐振频率。由式（4.7）可得：

即

由式（4.8）和式（4.9）可知，空腔谐振器中电磁能量相互转换，当最大电场储能 W _e，max 和最大磁场储能 W _m，max 相等时，谐振器发生谐振，每个谐振都存在相应的谐振频率。这和LC谐振回路中的结论一致。

在稳态情况下，也就是当谐振器无损，或者谐振器有损但损耗功率可由外电源给予补偿而维持振幅恒定时，在谐振频率下电场储能最大值和磁场储能最大值相等，并等于谐振腔中任一瞬时电磁场总储能，即

式中，

对于平面电路，在任何情况下，电路结构在 z 轴方向上都非常薄，因而可以认为电磁场在 z 轴方向是均匀的。又因为平面电路被上下导体夹起来，所以不存在 z 轴方向的磁场。如果把平面电路看成电场、磁场分别为 E =（0，0， E _z ）和 H =（ H _x ， H _y ，0）的一种空腔谐振器，那么空腔谐振器的一般理论就能应用于平面电路，因此平面谐振器的基本特性也满足式（4.7）～式（4.11）。

4.1.2 平面谐振器的基本参量

1.谐振频率 f ₀ 和谐振波长 λ ₀

在讨论谐振器的基本参量时，我们常使用谐振波长 λ ₀ 这个物理量，谐振频率 f ₀ 和谐振波长 λ ₀ 满足式（4.12）：

从空腔谐振器谐振的定义出发，有

对于不同结构、不同模式的谐振器，其谐振波长不同。由谐振器谐振的基本特性分析可知，发生谐振时谐振器内分布的电磁场是纯驻波场。谐振时电磁场在谐振器内 x 轴、 y 轴和 z 轴（或 γ 轴、 ϕ 轴和 z 轴）3个方向均为驻波分布，电场与磁场有π/2的相位差，因而当电场能量最大时磁场能量为零，当磁场能量最大时电场能量为零。此时电场能量与磁场能量相互转换，且 W _e，max = W _m，max 形成持续的电磁谐振。由波数 （ k ₀ 是自由空间中的波数）及 ，可得：

式（4.14）不仅适用于平面谐振器，也适用于其他传输系统型谐振器。对于带状线这类TEM模谐振器，因为 k _c =0，则

式中， l 是谐振器长度， p =1，2，3，…。谐振波长和波导波长（ λ _g =2π/ β ）是两个不同的概念。不论谐振器还是传输线，其波导波长 λ _g 不会发生变化，也就是说谐振器不会改变波导波长的大小，只是对波导波长具有选择性。我们常说的四分之一波长谐振器、二分之一波长谐振器、全波长谐振器等，其中的波长指的就是波导波长。

2.品质因数

平面谐振器的品质因数定义与集总参数LC谐振回路的品质因数定义类似。一个孤立的谐振器只存在空载品质因数 Q ₀ （也称固有品质因数），而一个与系统有耦合的平面谐振器不仅具有空载品质因数，还具有有载品质因数 Q _L 和外部品质因数 Q _e ，它们分别定义为

其中， W ₀ 为谐振时谐振器所存储的电磁总能量， P _d 为谐振时谐振器内的损耗功率， P _e 为谐振时通过耦合装置损耗在外匹配负载中的功率。因此， Q ₀ 是谐振器本身的特性参量； Q _e 和 Q _L 是耦合谐振器的特性参量。就拿滤波器来说，外部品质因数 Q _e 提供了滤波器和外部电路（输入输出电路）之间的关系，以保证它们之间的阻抗匹配。

由式（4.16a）～式（4.16c）可知，

定义耦合谐振器的耦合系数为

将式（4.18）代入式（4.17），可得：

由式（4.18）可知， k ≥0。因此，耦合必定使耦合谐振器的有载品质因数 Q _L 小于固有品质因数 Q ₀ 。当耦合系数 k ＞1时，称谐振器和系统过耦合；若 k <1，称为欠耦合；若 k =1，称为临界耦合。对耦合谐振器进行测试是实验获得谐振器耦合系数的通用方法。当 Q ₀ ≫1， Q _e ≫1时，谐振器的耦合系数可近似表示为 ^[1]

式中， ω ₀ 是中心角频率， ω ₁ 和 ω ₂ 可看成电路奇模、偶模谐振峰对应的角频率。由式（4.20）可知，当 ω ₂ - ω ₁ ＞ ω ₀ 时， k ＞1；当 ω ₂ - ω ₁ ＜ ω ₀ 时， k <1。

平面谐振器具有选频特性。实际谐振器的电磁谐振/振荡总是由功率源来维护和保障的。当功率源的工作频率等于谐振器的谐振频率时，发生强迫共振，谐振器内出现最强电磁场，而且这时最大电场强度和最大磁场强度的振幅相等，谐振器呈现出纯电阻性。当功率源的工作频率偏离谐振器的谐振频率时，谐振器吸收的能量明显下降，从而使谐振器内的电磁场明显减弱。功率源的工作频率偏离谐振器的谐振频率越大，这种减弱越严重，这样就构成了谐振器的选频特性。谐振频率相同，有载品质因数 Q _L 越高，谐振曲线就越尖锐，选频特性也就越好。谐振器选频特性和 Q _L 的关系如图4.3所示。

在无外界能量供给或补充的情况下，耦合谐振器内的谐振（自由振荡）是逐渐衰减的。

4.1.3 传输线型谐振器的等效电路

任何一个单模微波谐振器都可看成一个单端口网络。由网络理论可知，在某个谐振频率点上，任何单端口网络都可用RLC或GLC串联或者并联集总参数电路来等效。为简化分析，我们只讨论孤立平面谐振器的等效电路，不考虑与外电路耦合的情况。

RLC串联、并联谐振电路如图4.4所示。图4.4（a）是RLC串联谐振电路，其输入阻抗为

式中， 是谐振频率； R 为纯电阻，也就是输入阻抗的实部，是一个与频率无关的实数；电抗 为输入阻抗的虚部，与频率有关。

在谐振（ ω = ω ₀ ）时， X =0， Z _in = R ，相应的固有品质因数 ^[2] 。在谐振频率点附近，令 ω = +Δ ω ，式（4.21）近似为

式（4.22）的电抗斜率为

可知d X /d ω 是一个大于零、与频率无关的常数。若定义谐振器的电抗斜率参数为

则此串联谐振电路的电抗斜率参数为

由上述分析，可知串联谐振电路的频率特性如下：

（1）输入阻抗为纯电阻部分和电抗部分之和，电阻 R 不随频率变化，电抗与频率有关；

（2）当 ω = ω ₀ 时， X =0，输入阻抗等于 R ；

（3）在 ω ₀ 附近，电抗斜率是个常数，并且大于零。

对于图4.4（b）给出的RLC并联谐振电路，其输入导纳表示为

式中， G 为输入导纳的实部， G =1/ R ，它是一个与频率无关的常数； 为输入导纳的虚部，与频率有关。当谐振频率 时， B =0， = R ，相应的固有品质因数 ^[2] 。同理，可定义电纳斜率和电纳斜率参数，电纳斜率参数表示为

并联谐振电路的频率特性如下：

（1）输入导纳为电导部分和电纳部分之和，电导 G 不随频率变化，电纳与频率有关；

（2）当 ω = ω ₀ 时，电纳 B 等于零，输入导纳为 G ；

（3）在 ω ₀ 附近，电纳斜率是个常数，并且大于零。

串联、并联谐振电路在谐振时都满足 W _e，max = W _m，max 。串联、并联谐振器的谐振特性见表4.1。

4.1.4 平面传输线型谐振器分析

1.二分之一波长终端短路谐振器

广义传输线型谐振器可以用双线等效电路表示。对于图4.5（a）所示的二分之一波长终端短路谐振器，当考虑小损耗时，其输入阻抗为

如果衰减因子 α =0（无耗），则 Z _in =j Z _c tan（β l ）。对于小损耗（实际上多数传输线的损耗都很小），可假设 αl ≪1，则tanh（ αl ）≈ αl ，式（4.28）可近似为

Z _in ≈ Z _c [ αl +jtan( βl )]= Z _c αl +j Z _c tan( βl )= R +j X

其电抗斜率参数为 ^[3]

该谐振器的输入阻抗实部为 R = Z _c α l ，是一个与频率无关的常数。当 ω = 时，该谐振器的输入阻抗虚部为 ，此时谐振器输入阻抗为 = αl ，谐振器长度为 。

在 ω ₀ 附近，二分之一波长终端短路谐振器输入阻抗的频率特性与串联谐振电路的频率特性一致，因此可以在 ω ₀ 附近将其等效为集总参数的RLC串联谐振电路，输入阻抗为

当 l = λ _g /2时，

2.四分之一波长终端开路谐振器

对图4.5（b）所示的四分之一波长终端开路谐振器， ，考虑小损耗时，其输入阻抗为

由于 αl ≪1，故式（4.32）近似为

其电抗斜率参数为

该谐振器的输入阻抗实部为 R = Z _c αl ，是一个与频率无关的常数。当 ω = ω ₀ 时，该谐振器的输入阻抗虚部为

在 ω ₀ 附近，该谐振器输入阻抗的频率特性也符合串联谐振电路的特性，所以可在ω ₀ 附近将其等效为一个集总参数RLC串联谐振电路。当 l = λ _g /4时，

3.二分之一波长终端开路谐振器

对于图4.6（a）所示的二分之一波长终端开路谐振器，当 时，其输入导纳为

由于 αl ≪1， Y _in 可近似为

其电纳斜率参数可表示为 ^[3]

在 ω ₀ 附近，电导 G = Y _c α l 是一个与频率无关的常数，电纳斜率参数 k ＞0，当 ω = 时， ， = αl 。可知在 附近，二分之一波长终端开路谐振器输入导纳的频率特性与并联谐振电路相吻合，因此可以等效为一个集总参数RLC并联谐振电路，输入导纳为

当 时，

4.四分之一波长终端短路谐振器

对于图4.6（b）所示的 l =（2 n +1） λ _g /4的四分之一波长终端短路谐振器，其输入导纳为

在 ω ₀ 附近，该谐振器输入导纳的频率特性也符合并联谐振电路特性，故可以等效为一个集总参数RLC并联谐振电路。当 时，

在许多微波滤波器设计中，一段四分之一波长或二分之一波长终端开路或短路的短截线常被用作谐振器。表4.2讨论了4个这样的谐振器及其RLC等效电路，也是对常用平面传输线型谐振器的归纳。 Z ₀ =1/ Y ₀ ， ，这里 Z ₀ 和 Y ₀ 分别是短截线的特性阻抗和特性导纳， ω ₀ 是短截线谐振器的谐振角频率。