下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
各种各样的传输线尽管横截面的构成各不相同，传输模式也不一样，但有一个特点是共同的：横截面沿纵向分布。不同的传输线横向问题是不一样的（边界条件不同），因而求解方法也不尽相同，但纵向问题的解的形式是一样的。横截面构成以及传输模式的不同，仅仅造成纵向问题参量（如传播常数、特性阻抗等）的不同。
传输线问题可以分解为横向问题和纵向问题。横向问题反映了传输线的个性，而纵向问题反映了共性。任何传输线的纵向问题在形式上是相同的，均满足电报方程，解的形式也相同。用双导线的集总参数电路模型可以方便地推导电报方程。考虑到高频效应，双导线的集总参数电路模型如图3.16所示，其中，一个微分段d z 的等效电路和全部双导线的等效电路分别如图3.16（a）和（b）所示。
图3.16 双导线的集总参数电路模型
在传输线上，电压和电流不仅是时间 t 的函数，而且是空间位置即坐标 z 的函数，分别可表示为 u （ z ， t ）和 i （ z ， t ）。如果电压、电流随时间呈简谐变化，则可用电路理论中的复数方法写成 u （ z ， t ）=Im[ U .（ z ）e j wt ]， i （ z ， t ）=Im[ I .（ z ）e j wt ]，其中 U .（ z ）和 I .（ z ）分别为电压和电流的复数振幅，它们都只是 z 的函数。为简化书写，后面将省略复数上的点。
在传输线上，
U
（
z
）和
I
（
z
）沿
z
轴的变化率为
和
。传输线的一个微分段d
z
的两端与地之间的电压分别为
U
（
z
）和
U
（
z
+d
z
），电流分别为
I
（
z
）和
I
（
z
+d
z
），则有下列关系：
传输线一个微分段的等效电路如图3.17所示。
图3.17 传输线一个微分段的等效电路
按照电路理论，列出其回路方程及节点方程 [1] ：
即
代入式（3.67a）和式（3.67b），并忽略d z 的平方项，得到：
令 R 0 +j ωL 0 = Z ， G 0 +j ωC 0 = Y ，可得：
令式（3.71a）和式（3.71b）再对 z 微分一次，得到：
这就是均匀传输线方程（电报方程），其解为
式中，
，e
-γz
和e
γz
是电报方程的两个独立解，它们分别表示朝
z
轴正方向和朝
z
轴负方向传播的两个行波，即入射波和反射波。
和
分别表示相应的电压波及电流波的初始振幅，也就是
z
=0处的复数振幅。两个行波的传播常数为
式中， α 为衰减常数， β 为相移常数。e -γz =e -αz -j βz 表示沿 z 轴正方向传播但振幅衰减的波，e γz =e αz +j βz 表示沿 z 轴负方向传播但振幅衰减的波。
由式（3.71a）可知 I （ z ）和 U （ z ）的关系为
将式（3.73a）代入式（3.75），得：
式中，
式中，
为传输线的特性导纳，
为传输线的特性阻抗。
传输线上的电压是入射波电压和反射波电压之和：
传输线上的电流是入射波电流和反射波电流之和：
特性阻抗 Z c 的物理意义是入射波电压与入射波电流之比，即
下面讨论传输线的衰减因子、相移常数和特性阻抗在不同情况下的变化。
（1）一般情况。
根据式（3.74）和式（3.77），可得 [1] ：
其中， γ 和 Z c 都是复数。
（2）低频大损耗情况。
此时， ωL 0 ＜＜ R 0 ， ωC 0 ＜＜ G 0 ，则
这时，传输线上不呈现波动过程，只是带来一定衰减。
（3）高频小损耗情况 [1] 。
此时， ωL 0 ＞＞ R 0 ， ωC 0 ＞＞ G 0 ，式（3.74）变为
因此，
此时， β 与 R 0 、 G 0 近似无关。特性阻抗 Z c 可写为
（4）无损耗情况。
若传输线由良导体和低损耗介质构成，则在短距离传输时，常可以忽略损耗的影响，认为 R 0 =0， G 0 =0。因此，式（3.87）、式（3.88）和式（3.89）分别变为
相应地，式（3.78）和式（3.79）分别变为
此时，传输线上的电压、电流呈现正向和反向的等幅行波，特性阻抗 Z c 为实数，即电流与电压同相，称为无损传输线或理想传输线，其等效电路如图3.18所示。
图3.18 无损耗传输线的等效电路
端接负载的无耗传输线模型如图3.19所示。假设入射波从 z <0处的源发出，遇到负载后可能产生反射波。无耗传输线上的电压、电流分别为
图3.19 端接负载的无耗传输线模型
传输线上任一点往负载看去的输入阻抗定义为
根据欧拉公式可得：
由图3.19可知，在距离负载 l 处（ z = -l ）的输入阻抗为
式（3.97）为传输线输入阻抗方程。
由图3.19可知， z =0处为端接负载，则负载阻抗可表示为
由式（3.98）可得：
由
，可得：
显然，输入阻抗是以π为周期，即
，这是半波长的阻抗重复性。又因为
可得：
这是四分之一波长的阻抗倒置性。
根据传输线输入阻抗方程，可以求得开路和短路短截线的输入阻抗（导纳）。一段无耗的微带开路短截线可以等效成一个接地电容，一段无耗的微带短路短截线可以等效成一个接地电感，分别如图3.20（a）和（b）所示。
图3.20 无耗的微带开路、短路短截线及其等效电路
根据传输线输入阻抗方程，开路短截线的输入导纳和短路短截线的输入阻抗分别如下。
开路短截线：
短路短截线：
反射系数定义如下。
反射波与入射波之比：
负载反射系数：
因此， Γ （ z ）= Γ L e 2j βz ，在距离负载 l 处（ z = -l ）的反射系数为 Γ （ z ）= Γ L e -2j βl 。从反射系数与负载反射系数的关系式可知，在无耗传输线上反射系数的模不变，即
根据输入阻抗和反射系数的表达式可以推导出以下几个重要关系式：
引入反射系数的概念以后，电压、电流可分别表示为
当 Γ L =0时， Γ =0，此时传输线上没有反射波，称为匹配。匹配时，负载吸收全部入射波功率，并且有
当
时，
，称为全反射。
当负载失配时，负载不能完全吸收入射波功率，一部分功率被反射波带走，形成回波损耗（return loss，RL）。回波损耗定义为
匹配时， Γ =0，因此RL=∞；全反射时，RL=0。
近年来，文献报道中的无反射滤波器（reflectionless filter） [19-21] 和匹配的负群时延电路（matched negative group delay circuit） [22-24] 都是基于吸收或匹配思想而设计的。它们通过引入耦合线、电阻等手段吸收反射波，让回波损耗衰减，达到减少反射波对信号源的干扰之目的，从而帮助减少不需要的驻波，降低系统终端的不稳定性。这些电路将在后续内容中介绍。
反映负载失配状态的另一个量是电压驻波比（voltage standing wave ratio，VSWR），定义为线上电压最大值与最小值之比，即
匹配时，
Γ
=0，因此
ρ
=1；全反射时，
，因此
ρ
=∞。电压驻波比总是大于等于1的，不可能小于1，即
ρ
≥1。
无耗传输线上的传输功率（=输入功率）表示为
可见，无耗传输线上传输功率不随位置而变，也就是说传输线上任一点的传输功率相同。式（3.113）中，
P i 和 P r 分别为传输线 z 处的入射波功率和反射波功率。传输线上任一点的传输功率等于入射波功率与反射波功率之差。
因为无耗传输线上任一点的传输功率相同，因此可以取线上任一点的电压和电流来计算功率。为方便起见，一般取电压腹点或节点处计算，因为这些点处的阻抗为纯电阻，电压与电流同相。若取电压腹点，则传输功率为
若取电压节点，则传输功率为
可见，当传输线上耐压一定或载流一定时，电压驻波比 ρ 越趋近于1，传输功率越大。
在不发生电压击穿的前提下，传输线允许传输的最大功率称为传输线的功率容量，可表示为
式中， U br 为线间的击穿电压。
当考虑传输线损耗时， α ≠0， γ = α +j β 。端接负载的有耗传输线模型如图3.21所示，可得：
图3.21 端接负载的有耗传输线模型
在距离负载 l 处（ z = -l ）的输入阻抗为
传输线输入端（ z = -l ）的功率为
实际传到负载的功率为
则传输线上的功率损耗为 P in -P L 。