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3.5 传输线方程及传输线分析

各种各样的传输线尽管横截面的构成各不相同,传输模式也不一样,但有一个特点是共同的:横截面沿纵向分布。不同的传输线横向问题是不一样的(边界条件不同),因而求解方法也不尽相同,但纵向问题的解的形式是一样的。横截面构成以及传输模式的不同,仅仅造成纵向问题参量(如传播常数、特性阻抗等)的不同。

传输线问题可以分解为横向问题和纵向问题。横向问题反映了传输线的个性,而纵向问题反映了共性。任何传输线的纵向问题在形式上是相同的,均满足电报方程,解的形式也相同。用双导线的集总参数电路模型可以方便地推导电报方程。考虑到高频效应,双导线的集总参数电路模型如图3.16所示,其中,一个微分段d z 的等效电路和全部双导线的等效电路分别如图3.16(a)和(b)所示。

图3.16 双导线的集总参数电路模型

3.5.1 传输线方程

在传输线上,电压和电流不仅是时间 t 的函数,而且是空间位置即坐标 z 的函数,分别可表示为 u z t )和 i z t )。如果电压、电流随时间呈简谐变化,则可用电路理论中的复数方法写成 u z t )=Im[ U .( z )e j wt ], i z t )=Im[ I .( z )e j wt ],其中 U .( z )和 I .( z )分别为电压和电流的复数振幅,它们都只是 z 的函数。为简化书写,后面将省略复数上的点。

1.传输线方程的导出

在传输线上, U z )和 I z )沿 z 轴的变化率为 。传输线的一个微分段d z 的两端与地之间的电压分别为 U z )和 U z +d z ),电流分别为 I z )和 I z +d z ),则有下列关系:

传输线一个微分段的等效电路如图3.17所示。

图3.17 传输线一个微分段的等效电路

按照电路理论,列出其回路方程及节点方程 [1]

代入式(3.67a)和式(3.67b),并忽略d z 的平方项,得到:

R 0 +j ωL 0 = Z G 0 +j ωC 0 = Y ,可得:

令式(3.71a)和式(3.71b)再对 z 微分一次,得到:

这就是均匀传输线方程(电报方程),其解为

式中, ,e -γz 和e γz 是电报方程的两个独立解,它们分别表示朝 z 轴正方向和朝 z 轴负方向传播的两个行波,即入射波和反射波。 分别表示相应的电压波及电流波的初始振幅,也就是 z =0处的复数振幅。两个行波的传播常数为

式中, α 为衰减常数, β 为相移常数。e -γz =e -αz -j βz 表示沿 z 轴正方向传播但振幅衰减的波,e γz =e αz +j βz 表示沿 z 轴负方向传播但振幅衰减的波。

2.特性阻抗和特性导纳

由式(3.71a)可知 I z )和 U z )的关系为

将式(3.73a)代入式(3.75),得:

式中,

式中, 为传输线的特性导纳, 为传输线的特性阻抗。

传输线上的电压是入射波电压和反射波电压之和:

传输线上的电流是入射波电流和反射波电流之和:

特性阻抗 Z c 的物理意义是入射波电压与入射波电流之比,即

3.不同情况下的衰减因子、相移常数和特性阻抗

下面讨论传输线的衰减因子、相移常数和特性阻抗在不同情况下的变化。

(1)一般情况。

根据式(3.74)和式(3.77),可得 [1]

其中, γ Z c 都是复数。

(2)低频大损耗情况。

此时, ωL 0 << R 0 ωC 0 << G 0 ,则

这时,传输线上不呈现波动过程,只是带来一定衰减。

(3)高频小损耗情况 [1]

此时, ωL 0 >> R 0 ωC 0 >> G 0 ,式(3.74)变为

因此,

此时, β R 0 G 0 近似无关。特性阻抗 Z c 可写为

(4)无损耗情况。

若传输线由良导体和低损耗介质构成,则在短距离传输时,常可以忽略损耗的影响,认为 R 0 =0, G 0 =0。因此,式(3.87)、式(3.88)和式(3.89)分别变为

相应地,式(3.78)和式(3.79)分别变为

此时,传输线上的电压、电流呈现正向和反向的等幅行波,特性阻抗 Z c 为实数,即电流与电压同相,称为无损传输线或理想传输线,其等效电路如图3.18所示。

图3.18 无损耗传输线的等效电路

3.5.2 端接负载的传输线分析

1.端接负载的无耗传输线分析

1)传输线阻抗方程

端接负载的无耗传输线模型如图3.19所示。假设入射波从 z <0处的源发出,遇到负载后可能产生反射波。无耗传输线上的电压、电流分别为

图3.19 端接负载的无耗传输线模型

传输线上任一点往负载看去的输入阻抗定义为

根据欧拉公式可得:

由图3.19可知,在距离负载 l 处( z = -l )的输入阻抗为

式(3.97)为传输线输入阻抗方程。

由图3.19可知, z =0处为端接负载,则负载阻抗可表示为

由式(3.98)可得:

,可得:

显然,输入阻抗是以π为周期,即 ,这是半波长的阻抗重复性。又因为

可得:

这是四分之一波长的阻抗倒置性。

2)开路和短路的短截线

根据传输线输入阻抗方程,可以求得开路和短路短截线的输入阻抗(导纳)。一段无耗的微带开路短截线可以等效成一个接地电容,一段无耗的微带短路短截线可以等效成一个接地电感,分别如图3.20(a)和(b)所示。

图3.20 无耗的微带开路、短路短截线及其等效电路

根据传输线输入阻抗方程,开路短截线的输入导纳和短路短截线的输入阻抗分别如下。

开路短截线:

短路短截线:

3)反射和匹配

反射系数定义如下。

反射波与入射波之比:

负载反射系数:

因此, Γ z )= Γ L e 2j βz ,在距离负载 l 处( z = -l )的反射系数为 Γ z )= Γ L e -2j βl 。从反射系数与负载反射系数的关系式可知,在无耗传输线上反射系数的模不变,即

根据输入阻抗和反射系数的表达式可以推导出以下几个重要关系式:

引入反射系数的概念以后,电压、电流可分别表示为

Γ L =0时, Γ =0,此时传输线上没有反射波,称为匹配。匹配时,负载吸收全部入射波功率,并且有

时, ,称为全反射。

当负载失配时,负载不能完全吸收入射波功率,一部分功率被反射波带走,形成回波损耗(return loss,RL)。回波损耗定义为

匹配时, Γ =0,因此RL=∞;全反射时,RL=0。

近年来,文献报道中的无反射滤波器(reflectionless filter) [19-21] 和匹配的负群时延电路(matched negative group delay circuit) [22-24] 都是基于吸收或匹配思想而设计的。它们通过引入耦合线、电阻等手段吸收反射波,让回波损耗衰减,达到减少反射波对信号源的干扰之目的,从而帮助减少不需要的驻波,降低系统终端的不稳定性。这些电路将在后续内容中介绍。

反映负载失配状态的另一个量是电压驻波比(voltage standing wave ratio,VSWR),定义为线上电压最大值与最小值之比,即

匹配时, Γ =0,因此 ρ =1;全反射时, ,因此 ρ =∞。电压驻波比总是大于等于1的,不可能小于1,即 ρ ≥1。

4)无耗传输线上的传输功率

无耗传输线上的传输功率(=输入功率)表示为

可见,无耗传输线上传输功率不随位置而变,也就是说传输线上任一点的传输功率相同。式(3.113)中,

P i P r 分别为传输线 z 处的入射波功率和反射波功率。传输线上任一点的传输功率等于入射波功率与反射波功率之差。

因为无耗传输线上任一点的传输功率相同,因此可以取线上任一点的电压和电流来计算功率。为方便起见,一般取电压腹点或节点处计算,因为这些点处的阻抗为纯电阻,电压与电流同相。若取电压腹点,则传输功率为

若取电压节点,则传输功率为

可见,当传输线上耐压一定或载流一定时,电压驻波比 ρ 越趋近于1,传输功率越大。

在不发生电压击穿的前提下,传输线允许传输的最大功率称为传输线的功率容量,可表示为

式中, U br 为线间的击穿电压。

2.端接负载的有耗传输线分析

当考虑传输线损耗时, α ≠0, γ = α +j β 。端接负载的有耗传输线模型如图3.21所示,可得:

图3.21 端接负载的有耗传输线模型

在距离负载 l 处( z = -l )的输入阻抗为

传输线输入端( z = -l )的功率为

实际传到负载的功率为

则传输线上的功率损耗为 P in -P L 9eN6EBickvDoNIOnth2AZZ01aWTmeSMY5uNVaAUYWoXDJTbT+znxeMwXl6FiMHHe

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