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3.1 微带

微带是由双导线演化而成的,如图3.1所示。在微带介质基片顶部有一个宽为 W 、厚度为 t 的导带,介质基片的厚度为 h ,相对介电常数为 ε r ,介质基片底部由接地面覆盖。微带主模的电磁场分布如图3.2所示。因为微带接地的金属表面仅覆盖介质基片的一面,因此电力线与磁力线位于两个电介质区,一个是带状实体和接地板之间的区域,另一个是介质板上面的空气介质区域,也就是说微带结构是不均匀的。电磁波不能沿微带传输纯的TEM波,因为在这两个区域的相速度是不同的。但是,在准静态近似情况下,只要介质基片的厚度与波形相比足够小,给出的结果就是足够准确的,也就可以得到电特性的解析表达式。

图3.1 微带的演化

图3.2 微带主模的电磁场分布

3.1.1 微带的模式和特性

1.微带结构的电磁场理论分析

根据图3.1中的微带结构,在 y=h 的介质-空气分界处必须满足电磁场的边界条件。

切向电场:

法向电场:

切向磁场:

法向磁场:

其中,介质一侧的场量用下标“1”表示,空气一侧的场量用下标“2”表示。分界面两侧的电磁场当然都必须满足麦克斯韦方程。

介质中:

空气中:

分别对式(3.2a)和(3.2b)两边取 x 轴分量,可得:

在分界面上利用边界条件(3.1a)可得:

再利用边界条件(3.1d),并注意到对于相位常数为 β 的单模导行波,有

把这些关系式代入式(3.2),整理后可得:

这是介质界面两侧的磁场必须满足的关系。由于在介质-空气分界面上,垂直于界面的磁场分量 H y 不可能处处为零,而且介质侧的 ε r 1,故式(3.6)中等号右边不等于零。由此可知等号左边也不为零,这就证明了必定有磁场的纵向分量存在。

同理可得:

因此,只要垂直于界面的电场分量 E y 不处处为零,则必定存在电场的纵向分量。

这样就一般性地证明了微带中的任何导行波必定有纵向场分量。换句话说,纯的TEM波是不可能在微带中单独存在的。由以上分析可以看出,微带结构的非TEM性质,是由介质-空气分界面处的边缘场分量 E x H x 引起的。与导带下面介质基片中的场量相比,这些边缘场分量很小,所以微带主模的特性与TEM模相差很小,称之为准TEM模。

微带中这种类似TEM的主模实际上是一种混合模,是有色散的 [1] 。不过在较低微波频率下,微带基片厚度 h 远小于微带波长,微带中的大部分能量集中在中心导体下面的介质基片内,而此区域内的纵向场量 H z E z 比较弱,因此可将这种模式近似看成TEM模。所以微带主模的电磁场分布一般只画其横截面上的分布(参见图3.2),而将主模中存在的纵向场量 H z E z 忽略。当工作频率提高以后,微带中除主模——准TEM模以外,还会出现高次模。

2.微带的尺寸选择

为防止高次模的出现,微带的尺寸应满足如下条件 [1]

式中, λ min 为最短工作波长,由导带厚度引起的导带宽度增加量(Δ W =0.4 h )近似计算。

另外,准TEM模与最低型表面波之间存在强耦合区,即两个模式的相速度 ν p 近似相等的区域。分析表明,强耦合频率为

因此,通常令微带工作频率低于 f TM0 f TE1 ,以避免产生强耦合,否则微带不可能工作于准TEM波,工作状况将被完全破坏。当微带工作于毫米波时,此种情况易于发生,故毫米波的微带电路常采用介电常数较低的石英作为介质基片材料,并选择较小的 h ,以尽量减小各种高次模的临界波长,尽量提高强耦合频率 f TM0 f TE1 ,以保证正常工作。

微带电路的损耗和 Q 值还受到不连续性辐射损耗的限制。为了防止辐射,可以加封装。封装盒的高度 H 应当大于3 h ~5 h 。为了减小封装盒对电磁波的反射,以免影响电路性能,可在封装盒的内壁涂上吸波材料。

3.微带的色散特性

由于微带的传输模是混合模,因此微带中波的传播速度将随频率而变化,表现为特性阻抗 Z c 和有效相对介电常数 ε re 随频率变化,这就是微带的色散特性。微带的色散问题是个多模式、复杂边界条件下的电磁场问题,理论求解很复杂,在电路设计中用工程近似处理更方便有效。

随着频率升高,电磁场集中于介质基片内,为此引入一个与频率有关的有效相对介电常数 ε re f )。微带的两个主要特性参数是特性阻抗 Z c 和相速度 v p ,可分别表示为

式中, L 0 C 0 分别是微带的分布电感和分布电容, c 是真空中的光速。根据式(3.10),可将 ε re f )和 Z c f )分别表示为

随着频率升高, ε re f )增大,因而相速度 v p 减小,特性阻抗 Z c 增大,这样微带的色散问题基本上可以转变为求解微带场的相速度 v p f )的问题。微带有效相对介电常数随频率的变化曲线如图3.3所示,即

在某一频率以下,微带的色散特性可以忽略,此频率可表示为

式中, h 是介质基片厚度,单位为mm; Z c 是微带的特性阻抗,单位是 Ω

4.微带的特性阻抗和损耗

微带结构中是一种非均匀介质,即存在空气和基片两种不同的介质。在传输准TEM模时,为分析方便,可以用一种具有有效相对介电常数的均匀介质来代替这种非均匀介质。当导体厚度足够薄( t →0)时,闭合形式的有效相对介电常数 ε re 和特性阻抗 Z c 可表示为 [2]

图3.3 微带有效相对介电常数随频率的变化曲线

W / h ≤1时,

其中, η =120π Ω ,表示自由空间中的波阻抗。

W / h> 1时,

Hammerstad和Jensen [3] 提出了计算有效相对介电常数和特性阻抗的更为准确的表达式:

其中, u = W / h η =120π Ω ,并且,

ε r ≤128,且0.01≤ u ≤100时,有效相对介电常数 ε re 的计算精度高于0.2%;当 u ≤1时, 的计算精度可达0.01%;当 u ≤1000时, 的计算精度可达0.03%。

微带的衰减包括两部分:导体损耗 α c 和介质损耗 α d 。在小衰减情况下认为 α c α d 相互不交叉影响,有 α = α c + α d

微带的导体损耗 α c (单位是dB/m)可表示为

式中, R s 是导体材料的表面电阻, Z c 是微带的特性阻抗, W e 是导带的有效宽度;参数 A B 以及 W e / h 可分别表示为

其中,

介质损耗 α d (单位是dB/m)可由式(3.21)计算:

对大多数微带(除了一些种类的半导体基板以外)来说,导体损耗比介质损耗更重要,一些导体材料的电阻率见表3.1。从表3.1可以看到,铜和银的电阻率最低,而铜的造价低,因此通常微带都是在介质基板上敷铜作为导体。一些基板材料的主要电特性和热特性的典型值见表3.2,从中可知,FR-4基板的损耗最大;聚四氟乙烯基板损耗小,但是其热膨胀系数大,即这种基板遇热更容易膨胀变形。

表3.1 一些导体材料的电阻率

表3.2 一些基板材料的主要电特性和热特性的典型值

在微带电路设计过程中,还要用到很多参数,例如波导波长 λ g 、相移常数 β ,以及物理长度为 l 的传输线的电长度 θ 和相速度 v p 等。当传输线的有效相对介电常数 ε re 计算出来后,可以根据式(3.22)计算出这些参数。

3.1.2 微带不连续性

微带不连续性广泛应用于实际电路设计当中,如滤波器、天线、功分器等。不连续性包括微带阶梯、末端开路、微带间隙和微带弯折等,下面给出各种情况的理论公式。

1.微带阶梯

对于对称阶梯,其等效电路如图3.4所示。

图3.4 对称阶梯等效电路

电容和电感可以近似表示如下 [2]

式中,

这里的 是宽为 W 1 W 2 的微带单位长度的电感, 分别是微带宽度为 W i 时的特性阻抗和有效相对介电常数, c 为真空中光速, h 为微带中介质基板的厚度。

2.末端开路

宽度为 W 的微带在末端开路时,电磁场不会突然中断,会受边缘场效应影响而有所延伸。这种影响可以用接地电容 C p 或等效长度为Δ l 的传输线来表征,如图3.5所示。

图3.5 末端开路

等效长度法更便于滤波器设计,两等效参数的关系可表示为 [2]

式中, c 表示真空中的光速。

Δ l / h 的闭合形式的表达式如下:

式中,

3.微带间隙

微带间隙可以用图3.6所示的等效电路来表示。

图3.6 微带间隙等效电路

接地电容 C p 和串联电容 C g 可分别表示为 [2]

式中,

当0.1≤ s / W ≤1.0时,

当0.1≤ s / W< 0.3时,

当0.3≤ s / W ≤1.0时,

当0.5≤ W / h ≤2,2.5≤ ε r ≤15时,计算精度在7%以内。

4.微带弯折

直角弯折的微带可以等效为T型网络,如图3.7所示。Gupta等人 [4] 给出了计算等效电容和电感的闭合形式的表达式:

图3.7 直角弯折的微带可以等效为T型网络

当0.1≤ W / h ≤5,2.5≤ ε r ≤15时,电容计算精度在5%以内。当0.5≤ W / h ≤2.0时,电感计算精度约为3%。

3.1.3 其他类型的微带结构

除了传统的微带结构,还有多层微带结构,例如悬置型微带和倒置型微带,如图3.8所示。悬置型微带和倒置型微带具有比传统微带更高的品质因数 Q (对于常用导体, Q 值为500~1500)。通过使用具有低介电常数的、薄的介质基片来降低介质损耗。

对于图3.8(a)所示的悬置型微带,其特性阻抗可表示为 [2]

式中,

图3.8 其他类型的微带

有效相对介电常数 ε re 可表示为

式中,

对于图3.8(b)所示的倒置型微带,其特性阻抗依然可由式(3.36)表示,而参量 u 和有效相对介电常数 ε re 分别表示为

式中, XrKQTaAdQfAmQMPfncDZZTalK3Jm1uulhGWhNQJgPQyz+f/cpfC5YeYk0/hNnCJF

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