2.2 平面电路的电磁场展开

平面电路可以分为短路边界平面电路和开路边界平面电路 ^[1] 。通常的平面电路比如微带、带状线等都是开路边界平面电路；短路边界平面电路是厚度非常薄的腔体电路，除了端口以外的边界都是电壁，侧壁金属封闭的CBCPW（具有地平面的共面波导）、侧壁金属封闭的带状线可近似看作短路边界平面电路。在实际平面电路设计中，侧壁金属封闭可以防止电磁泄漏甚至能使腔内电磁场更强，其他方面和一般平面电路没有明显区别，因此这里主要介绍开路边界平面电路的电磁场展开。用本征矢量把平面电路内的电磁场矢量展开，再借助麦克斯韦方程组确定展开系数。

无论是开路边界平面电路还是短路边界平面电路，其电路结构在 z 轴方向上都非常薄，因此可以认为电磁场在 z 轴方向是均匀的。平面电路通常被上下导体夹起来，所以不存在 z 轴方向的磁场，即 H _z =0，从而 E _x 、 E _y 也是零，这样平面电路就可看成是电场、磁场分别为 E =（0，0， E _z ）和 H =（ H _x ， H _y ，0）的一种空腔谐振器，空腔谐振器的一般理论就能应用于平面电路。开路边界平面电路侧壁都可以作为磁壁处理。平面电路的一般分析模型如图2.2所示。其中， C 是开路边界， D 为电路区域， t 是切向单位矢量， n 是外法向单位矢量，电路有多个端口，其宽度为 W _i ， W _j ……

通常，矢量场可用散度为零的环流场和旋度恒为零的梯度场来表示。若把平面电路内的电磁场矢量场用环流场和梯度场展开，则可表示为 ^[1]

其中， E _za 和 F _zv 为 z 轴方向电场的本征矢量， H _a 和 G _λ 为 x-y 平面上磁场的本征矢量， e _a 、 f _v 、 h _a 和 g _λ 都是展开系数。 E _za 、 H _a 表示环流场， F _zv 、 G _λ 表示梯度场，它们分别满足：

根据式（2.19a）～式（2.19d），环流场本征矢量在开路边界条件下，满足 ^[1]

在短路边界条件下，满足

梯度场的本征矢量因为其旋度为零所以可用某一标量的梯度来表示。这些本征矢量是满足下列正交条件并且按归一化定义的矢量：

式（2.22）中的积分域 D 表示在图2.2中平面电路的整个区域上进行面积分。

各向同性媒质中的电磁场满足下列麦克斯韦方程：

将式（2.23b）乘以 H _a 并在 D 上进行面积分，可得

再将式（2.23a）乘以 E _za 并在 D 上进行面积分，可得

将式（2.23b）乘以 G _λ ，进行同样的积分运算，并考虑到▽× G _λ =0，则得

再将式（2.23a）乘以 F _zv ，进行同样的积分运算，并考虑到▽× F _zv =0，则得

由式（2.24）～式（2.27）可确定满足式（2.18a）和式（2.18b）的展开系数：

在开路边界条件下，把除端口以外的边界都假定为磁壁，因此，展开电磁场的本征矢量也选择在边界上满足开路边界条件的矢量：

式中， i _z 是 z 轴方向的单位矢量， S 是区域 D 的面积。因为 F _{z 0} 是梯度场，所以可用标量 f 表示成 F _{z 0} =▽ f 。 F _{z 0} 是 z 轴方向的矢量，若考虑到电磁场在 z 轴方向是均匀的，显然有 （ K 为常数）。

式中， φ _a 和 ψ _λ 是本征函数。 φ _a 满足 （在 D 内）， ∂φ _a / ∂n =0（在 C 上），并且

由

可以证明， E _za 、 H _a 可以同时归一化。

ψ _λ 满足 （在 D 内）， ψ _λ =0（在 C 上），并且

选择上述本征矢量，再考虑开路边界的边界条件，则式（2.24）和式（2.26）可简化为

可见，磁场的梯度场在开路边界平面电路中是不存在的。

由式（2.34）和式（2.25）可求出展开系数 e _a 和 h _a ，而 f _v 和 g _λ 可由式（2.35）和式（2.27）给出。把求得的展开系数代入式（2.18a）和式（2.18b），则平面电路内的电磁场可表示为

这里， k ² = ω ² εμ ， ， i _n 表示从端口流出的电流密度， -i _n 表示从端口流入的电流密度，在平面电路中激励起来的电磁场如式（2.36）和式（2.37）所示。

根据式（2.36），端口 i 上的电场 E （ s _i ）= E _z （ s _i ） i _z 可由式（2.38）给出：

如果用带线的本征模 E _im （ s _i ）把端口 i 处的电场和电流密度展开，则可表示成

其中， d 是基板厚度，端口 i 的第 m 个模的特性阻抗 Z _im 可表示为

此外，再把本征模的振幅按式（2.42）归一化：

由端口 i 流入的功率按 归一化。

将式（2.39）和式（2.40）代入式（2.38），求以端口 i 的第 m 个模的电压振幅 V _im 和端口 j 的第 n 个模的电流振幅 I _jn 的2倍（考虑正反两面）之比定义的阻抗矩阵元素 ，可得 ^[1] ：

当 m =0， n =0时，即当传输TEM波时， E _jn = E _im =1，式（2.43）变为

假定电路无损耗，令

其中， S 是区域 D 的面积， ω _a = ω _n ， N _ni 和 N _nj 是理想变压器的变压比， Z _ij 可表示为

在电路有损耗的情况下，式（2.47）中将含有电导成分，可修改为

式中， G ₀ 与介质的损耗角正切成正比， G _n 与各个模的无载 Q 值（ Q _{0 n} ）成反比，分别表示为

多端口平面电路的集总参数等效电路如图2.3所示。等效电路中的并联谐振回路对应于式（2.48）等号右边的第一项，由上述推导过程可知，它是由电磁场矢量的环流场产生的。等效电路中的静电容 C ₀ 对应于式（2.48）等号右边的第二项， C ₀ 是由电场矢量的梯度场产生的，其大小由平面电路的面积决定。