2.1 麦克斯韦方程组及带状线场方程的导出

1864年，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）发表了著名的麦克斯韦方程组，描述了宏观电磁现象的基本规律，从理论上预测了电磁波的存在。后来赫维赛德（Heaviside）和赫兹（Hertz）将麦克斯韦方程组整理成现代的形式：

在麦克斯韦的原著中，▽× E 表达式中原本是含有磁流密度 M 的，只是迄今一直没发现这个物理量，因此很多资料就将该物理量忽略掉了。为表征电磁场作用下的媒质宏观电磁特性，媒质本构方程为

式中， E 是电场强度（单位为V/m）， H 是磁场强度（单位为A/m）， D 是电位移矢量（单位为C/m ² ）， B 是磁感应强度（单位为T）， J 是电流密度（单位为A/m ² ）， ρ 是电荷密度（单位为C/m ³ ）， ε ₀ 是真空中的介电常数， μ ₀ 是真空中的磁导率， ε _r 和 μ _r 是媒质的相对介电常数和相对磁导率。

在图2.1所示的两种媒质分界面中，场量需满足如下边界条件：

式中， E ₁ 、 H ₁ 为媒质1一侧的场量， E ₂ 、 H ₂ 为媒质2一侧的场量， n 为分界面上的外法向单位矢量，方向是媒质1指向媒质2； J _s 为分界面上的面电流密度； ρ _s 为面电荷密度。从两种媒质间电磁场的边值关系可知，在两种不同媒质分界面上，电场强度 E 的切向分量和磁感应强度 B 的法向分量总是连续的；而磁场强度 H 的切向分量和电位移矢量 D 的法向分量发生突变，突变量分别是分界面上的面电流密度 J _s 和面电荷密度 ρ _s 。

对于频率为 ω ，沿传输线+ z 轴方向传播的电磁波，其电场和磁场的一般表达式为

如果场源为零，即 J =0， ρ =0，则麦克斯韦方程组变为

对方程组（2.5）的前两个等式两边分别取旋度，并利用矢量恒等式▽×▽× A =▽（▽ ⋅ A ） -▽ ² A ，以及方程组（2.5）的后两个等式，可得：

是三维拉普拉斯算子。考虑时间相位因子 ，则 ，则式（2.6）可表示为

由此得到矢量波动方程（矢量亥姆霍兹方程）：

其中， k 为波数， ， k ² = ω ² εμ 。矢量波动方程对于电位移矢量 D 和磁感应强度 B 也是成立的。波数和截止波数、传播常数的关系可表示为

式中， k _c 表示截止波数， γ 为传播常数。 γ = α +j β ， α 是衰减因子， β 是相移常数。在无耗的情况下 α =0， γ =j β ，则

将三维拉普拉斯算子▽ ² 在直角坐标系下分解为横向二维拉普拉斯算子 与纵向一维拉普拉斯算子 ，即 ，结合式（2.4）并省略掉e ^{j ωt} ，则有

此时矢量亥姆霍兹方程演化为

对于TEM波，有 E _0z =0， H _0z =0，则由场源为零情况下的麦克斯韦方程▽× E =-j ωμ H ，▽× H =j ωε E ，可得：

由此可得传播常数与波数之间的关系为

也就是说，TEM波的波数等于相移常数。根据式（2.12），TEM波的场的横向分量满足

TEM波只能存在于那些允许二维静电场存在的系统中，对平面传输线来说，带状线是典型的TEM波传输线。TEM波的相速度（也称相速）为

TEM波的波阻抗为

微带、共面波导等平面传输线由于结构的不均匀性，传输准TEM波。微带、共面波导等平面传输线将在本书第3章介绍。 9SUEfb4+kVHw7gaOBDRcKv/4C08HKneEMOKfFPQYP84M2x3rkClprTm9HhmJpD5T