2.3　透视、几何与造型艺术

2.3.1　透视与绘画

人类生存在一个三维的世界中，感受到的是真三维世界中的立体空间信息。但是绘画发生在二维平面，如何在二维的画面上给人们带来三维立体空间感受，就成为绘画创作需要解决的科学问题。15世纪意大利的建筑师布鲁内莱斯基（Brunelleschi）以及艺术家Leon Battista Alberti为此创造了透视画法，这种方法利用线条消失的尺寸变化等在二维画面上模拟立体空间感。

传统绘画中常见单点透视、二点透视、三点透视以及四点透视，分别适用于中轴观察前方远景时所有的透视线收缩到一个点、在水平正前方参考物体水平透视线收缩到水平方向两个消失点、在物体前上方观看时水平透视线收缩到水平方向上的两个消失点的同时垂直透视线收缩到垂直下方的消失点上，以及在很高的物体（如大楼中部）正前方远处观看时在水平及垂直方向分别产生两个消失点的情况。

1）五点透视

五点透视是指采用五个消失点描绘出一个圆形的画面，从而可以模拟前方完整的180°虚拟空间。这种透视效果也可以通过鱼眼摄影镜头获取，如图2-31。在五点透视中，我们可以描绘一个半球状的空间。艺术家Dick Termes采用在球面上绘画的方式来获取五点透视的效果，如图2-32。

2）基于鱼眼照片的六点透视变换

1986年，Ned Greene提出了用两张鱼眼照片进行变换得到一个等距圆柱贴图（即Equirectangular贴图）的数学方法来合成全景图像，对等距圆柱贴图进行经度和纬度的变换，使之脱离正常值，就可以将场景中上、下、左、右、前、后六个视角包含在内，获得一种超现实的六点透视效果，如图2-33。

2.3.2　视觉欺骗：反透视及仿透视的艺术

1）反透视的产生原理

反透视画法是一种基于人眼二维画面观察局限性的视觉欺骗，这种技法往往将相互矛盾的空间透视状态在二维画面上进行移花接木，从而虚构出看似真实实际上却不可能存在于物理空间中的物体，如图2-34。

反透视实际上是对正常透视的艺术化的应用，受到了许多艺术家的青睐。Baruch Brosh、Gabriel Dolche、Sergio Buratto、Petter Thoen、Oscar Reutersvard等艺术家创作了大量的反透视几何体；而Roger Shepard、Vlad Alexeev和Govert Schilling则将反透视绘画方法与机械设计结合，创作出一些现实中不可能实现的机械结构，如图2-35~图2-37。

Vicente MEAVILLA SEGUÍ尝试了将反透视与家具造型进行结合；而Jos de Mey和Irvine Peacock、David Mac等人则将反透视绘画方法用于风景创作，当然在这个方面，其实Escher是更早的反透视绘画大师。

日本明治大学的数学工程师杉原幸吉（Kokichi Sugihara）通过数学方法获取的视错觉装置中，看起来是一个简单的指向右边的白色箭头，但是从特定角度观看时，即使旋转了180°，箭头仍然指向右侧，如图2-38为杉原幸吉的视错觉装置作品。

2）仿透视艺术

顾名思义，仿透视是对透视效果的模仿，常见于借助二维的画面，对人眼在某个特定方向上对前方事物立体空间的透视感知进行模仿，使人们产生看到真实三维物体的错觉。许多艺术家在地面或墙面上进行仿透视绘画，观众站在特定的角度即可看到逼真的具有立体空间感的画面，然而只要改变观看视角，就可以发现极度扭曲的仿透视变形。

而一些城市中大楼呈90°夹角的墙面，也被安装上相互垂直的显示屏，显示在上面的画面经过仿透视变形处理，使得在特定角度观看时，原本相互垂直的屏幕上呈现出来的是具有空间透视效果的动态画面。

美国艺术家Robert Lazzarini的作品则采用了新颖的思路，他将真实物品进行三维扫描之后进行仿透视变形，再将其用3D打印技术制作成为实际雕塑，这些雕塑从特定位置观看时仿佛就是真实的，但是改变视角之后，会发现其极度扭曲变形的一面。Robert Lazzarini巧妙地应用了这种貌似平常的手段。他先把真的头盖骨、吉他、电话机等物品用激光扫描，制造出一个三维的CAD（计算机辅助设计）文件，然后把CAD图像经过透视变形，再使用快速成型技术的3D打印机打印出来作为最终作品模型，如图2-39。Robert Lazzarini的这些看似非理性的作品可以与16世纪EI Greco绘画中明显的情感化扭曲进行对比。

2.3.3　坐标变换与歪像艺术

光线从四面八方射到我们眼里，瞳孔与外部世界相比很小，引起了“锥形视觉面”，结合光线的曲线镜面反射，就会产生一些有趣的现象。光线从不同角度射入镜面，眼睛接受光线是圆锥体状的，如图2-40~图2-42。

如图2-43，圆柱歪像艺术作品采用了一个逆过程，把正常图片进行极坐标变形之后，使得我们从正常的角度观看作品时已经面目全非，但当从圆柱镜中看时，这种失真变形反而回到了正常的视觉效果，如图2-44。

圆柱歪像艺术不仅被艺术家尝试，也在工艺品及广告的设计中得到了应用，如图2-45为Philippe Comar基于圆柱歪像原理为Renault轿车创作的广告。

2.3.4　图形镶嵌与铺块

图形镶嵌是一种能够在互不重叠并且不留空隙的情况下通过排列组合填满平面空间的图形铺块。图形镶嵌常见于诸多图案设计的应用领域，如地砖、编织品等。人类很早就开始将图形镶嵌应用于工艺品的设计，如伊斯兰图案纹饰艺术。

通常将规则铺块的方式记为{ P ， Q }，其中 P 为铺块多边形的边数， Q 为在共用每个顶点的多边形数量，则有：如果（ P -2）（ Q -2）＝4，便能够铺满平面空间；如果（ P -2）（ Q -2）>4，则能够铺满双曲空间；如果（ P -2）（ Q -2）<4，则能够铺满球面空间。

平面空间上只有三种规则铺块，即三角形、六边形和正方形。如图2-46，从规则铺块的一边挖下一块形状，然后贴到与之相对的另外一边，如此往复，对形状规则的铺块进行切补操作，便可以衍生出形状不规则的铺块，如图2-47。

要使用不同大小的铺块铺满平面，可以使用等比相似多边形的方法，如图2-48。M C Escher基于这种铺块创作了许多作品，如图2-49。

牛津大学的理论物理学家Roger Penrose在1973年提出了一种非周期平面镶嵌的例子，这也是迄今这类镶嵌的最简形式—只用两种形状的铺块即可产生无穷多种的图案，从而非周期地铺满整个平面，这称为Penrose铺块。有趣的是科学家通过对伊斯兰图案的研究发现，500多年前的伊斯兰艺术就已经开始使用类似的结构了。

在这种铺块结构中，铺块的每个边长都相同，而第一种铺块的四个内角分别为72°、72°、72°、144°和36°、72°、36°、216°，它们角与角连接在一起，如图2-50。

2.3.5　光效应艺术

光效应艺术是一种使用简单的几何形象结合明暗和色彩的变化来制造空间立体感、光色效果及运动幻觉的抽象绘画流派，它兴起于20世纪60年代，并且至今魅力不减当年。

Bridget Riley、Victor Vasarely、Richard Anuszkiewicz、Josef Albers、Francis Celentano等艺术家是光效应艺术的代表人物，他们使用几何色块对光感、体积感、视错觉和动态幻觉的表现进行了探索，如图2-51~图2-53。到了数字化时代，随着计算机图形动画技术的成熟，一些艺术家将光效应艺术拓展为动画形态，Davidope、Andre Michelle等艺术家创作了一些精彩的光效应动画艺术作品，进一步提升了光效应艺术带来的精彩体验。

2.3.6　多面体艺术

1）构件编织

George W. Hart是一位艺术家和跨越领域的学者，身兼雕塑家、数学家、计算机科学家等数职。他的几何雕塑在许多展览中获奖，包括纽约州分会颁发的个人艺术家奖等。他的著作集中于雕塑及其他领域的数学运用。

George W. Hart巧妙地将多面体的顶点、边、角等决定多面体造型的关键因素提取出来，并且将其采用自定义的构件进行置换设计，然后再编织，从而产生全新的构造。这个过程首先是在CAD软件里进行构型设计，然后将构件使用金属、塑料、木板等材料进行制作，如图2-54。

除了采用自定义图案的构件之外，George W. Hart还使用了各种实物作为编织多面体的构件，如书本、光盘等，如图2-55。

2）挤压、镂空与雕琢

Polyedergarten对各种多面体的表面进行挤压、镂空与雕琢处理，制作出优美的装饰造型，从而将多面体生硬的表面变成花卉一般精妙绝伦的结构。除了在三维模型上进行加工外，这些设计还被打印出来制作成纸模多面体实物，如图2-56。

3）建构与修饰

艺术家V.Bulatov在正二十面体的基础上进行了各种发散性的造型设计，获得了许多奇特的装饰造型，如图2-57。

4）群簇构造

Gayla Chandler利用很多个完全相同的正十二面体、正二十面体等多面体，将它们的特定面依次相贴，进行群簇构造，获得了一种海绵状的结构，如图2-58。

建筑师Safdie Moshe在1967年国际博览会上设计的“生境馆”（Habitat 67）使他名声大振，这个建筑基于长方体形状的房间单元结构进行群簇构造，获得了一种超乎寻常却又坚固稳定的房屋造型，如图2-59。

5）Zome模型

Zome是1992年在美国问世的ABS塑料组合玩具，这种玩具使用插棒以及几何顶点珠这两种简单的基本元件就可以进行复杂多面体造型的构建，成为最适合亲子同乐、学习的玩具兼教具。其顶点珠直径18mm，有62孔，可以插入插棒，如图2-60。Zome可以非常方便地用于组合数学、化学、建筑、立体雕塑等模型。儿童可以通过这种玩具在动手做的过程中学习简单的几何形状，进而完成比较复杂的结构，如C60、DNA等。有研究证实Zome有助于打破学习障碍。

George W. Hart对基于Zome的几何学进行了深入的研究，创作了许多精彩的作品，如图2-61，并且还出版了相关的著作。

ZomeCAD则是一个基于计算机的Zome模型设计软件，借助它可以直观而方便、快捷地使用虚拟的插棒及几何顶点珠进行造型设计，如图2-62。

6）图案镶嵌

镶嵌一般是指使用多个具有相同及互补形状的铺块来铺满整个平面空间，而这种镶嵌借助数学变换也可以推广到多面体或者球体等空间形状之上。

加拿大Camosun学院数学系的Jill Britton研究了在正多面体上的图案镶嵌，并且制作了一些具有镶嵌图案的正多面体作品，如图2-63。此外，球面贴图也可以通过数学变换转换成为多面体各个面的贴图，Jill Britton在此基础上还制作了多面体形状的地球模型。

7）折纸多边形及多面体

1939年，23岁的学生Arthur H. Stone在折叠报纸的过程中发现了将一个纸带折叠成正六边形并且将纸带背面图案隐藏的方法，如图2-64。

后来人们将这种折纸方法推广到了三维结构，在纸带的基础上，首先把标有1111、2222、3333、4444、5555、6666、7777的三角形通过标记×的格子分别粘成正四面体，如图2-65，最后再将两端的8×8×粘在一起，这时就构成一个四面体的环，并且这种四面体环可以进行灵活的旋转和构造变换，如图2-66。

8）纸编多面体

使用一个纸带通过编织获取多面体是类似于折纸多面体却可以表现更多种多面体的艺术形式，由于均匀多面体的表面是由相同的多边形构成的，因此就有可能将这些多边形依次连接并打印到纸带上，从而可以通过纸带的编织获取多面体。图2-67就是一种可以编织成为多面体的纸带。

Jean Pedersen和Jim Blowers等人对使用纸带编织多面体进行了较为深入的研究，并且制作了大量的模型。图2-68为Jim Blowers的纸编多面体作品。

9）曲面化

正常多面体的面是平直的，将其表面曲面化就可以产生艺术化的效果。

Michael Trott与Amy Young合作的动画《呼吸》将一个二十面体的表面半径采用算法 进行变换，当 a >1时，二十面体的各个面就向内收缩，而当 a < 1时，二十面体的各个面就向外膨胀，结果就像在呼吸一样，如图2-69。

而艺术家Nadia Sobin则采用一系列外切圆弧曲线构成的接近正多边形的封闭平面图形重新建构多面体，从而使多面体的边和面曲面化，如图2-70，之后制作成为石头雕塑，使规整得有些死板的正多面体变得生动活泼，如图2-71。Nadia Sobin还创造了一个词—cyclogon，即由圆构成的多面体。

2.3.7　双曲几何与艺术

以不同角度使用平面截取圆锥体，可以获得圆锥曲线，如果截取时的平面垂直于圆锥底面，则可以得到双曲线，如图2-72。

双曲线绕其对称轴旋转，可以得到鞍马造型的双曲面，双曲面是一种曲率为负数的面，在这种曲面所表示的空间里，传统平面空间里的几何规则会发生巨大的变化，带来许多奇异的属性，如三角形的三个内角之和小于180°，平行线延长得越多相互离得越远 ^[33] ，同一条线的垂线和斜线不一定会交叉等，如图2-73。

可以认为，平面空间就是我们直觉感受到的空间，球面空间则反映了我们实际生存的地球表面的几何空间，而双曲空间则是反映了宇宙中时空存在的形式，如图2-74。

1）定圆空间里的双曲几何

法国著名数学家Henri Poincaré发现，一个定圆的内部空间为双曲几何提供了一种特殊的模型，在这种模型里，双曲几何的一条直线是这个定圆内部的一条圆弧，这条圆弧的两端垂直于定圆。这种几何又称为Poincaré双曲几何。

在定圆内，正交的弧对应于垂直的直线，但长度是变化的，越接近边界，相等的尺度用越短的圆弧来表示，如果达到边界，那么离圆心的距离就变得无穷远。

根据Poincaré双曲几何的规则，在定圆内的双曲空间里，由相邻圆弧围成无穷多个三角形，并且任何两个这种三角形形状、大小完全相等，如图2-75。

美国新泽西州的艺术家兼艺术史学家Irene Rousseau对双曲几何的这种边界具有无限结构的美学特征，在他的作品 Hyperbolic Diminution-Blue 中采用马赛克进行了表现，如图2-76。

普通平面上的各种规则形状镶嵌可以推广到定圆双曲空间，著名的数学艺术家M C Escher在双曲镶嵌的基础之上创作了一系列名为《圆的限制》的作品，根据双曲空间的规则，他的作品中所描绘的任何两个蝙蝠之间有着相同的形状和大小，任何两条鱼之间也有着相同的形状和大小，如图2-77。而令人叹为观止的是，当M C Escher在创作这些作品的时候，计算机技术还没发明，他完全是依靠手工的计算进行绘制的。

Don Hatch也基于计算机对此进行了系统的研究，并且获得了多种规则形状在双曲平面上的镶嵌图案，如图2-78。

2）Thurston双曲面纸

为了对普通空间和双曲空间的区别有一些直观的认识，William Thurston提出了一种双曲面纸的模型，它的构建方式为：在每个点周围放置七个等边三角形，并且将其做成一个曲面，如果一直在每个点周围放置七个等边三角形，就可以扩大这个有很多褶皱而变得松散的曲面，如图2-79。

鉴于Thurston的双曲面纸在制作上的特点，一些艺术家寻求使用毛线钩编的方法来表现双曲空间，Diana Taimina创作了一系列双曲钩编作品，如图2-80。

而Karen Frazer的双曲钩编作品 Brain 则表现出了大脑的造型，如图2-81。

Brent Collins与Carlo H. Séquin合作的《双曲六角形II号》采用双曲造型对多面体进行了曲面化的艺术表现，如图2-82。

雕塑家Brent Collins也采用雕塑的手段对双曲空间的特征进行了表现，如图2-83。

3）任意形状的双曲镶嵌投影

双曲线镶嵌通常被投影成圆盘或其他简单的形状，如图2-84，Eryk Kopczyński和Dorota Celińska-Kopczyńska研究了由源位图图像给出的任意形状的双曲镶嵌投影问题，提出了一个算法来寻找这种共形映射，并提供了样本结果的讨论 ^[34] 。

4）在VR与双曲空间里的事物交互

在Jeff Weeks的Non-Euclidean Billiards in VR中，用户可以沉浸于一个双曲空间里体验台球 ^[35] ，如图2-85。虚拟现实模拟不仅与人们的意识思维相连，还完全劫持了我们对环境的潜意识理解，这个作品为人们提供了一种在三维双曲空间、欧氏空间和超球面上打台球的令人信服的错觉。即使是经验丰富的几何学家也可能会在那里发现一些惊喜。

2.3.8　高维几何体的艺术

人类生活在三维空间中，但是数学里可以存在低于或高于三维的空间维度。数学里，点和面分别对应一维和二维，数学里的四维空间需要引入复数维度，比四维更高的维度中复数还会具有方向性。

一个数学世界可以存在于一个点、一条线、一个平面、一个空间或一个超立方体（四维立方体）中。每一个高维包含那些比它低的维，但是每一个低维本身就可以成为一个世界。设想你生活的世界是在一个平坦的面上。你不能向上或向下看。三维生物只要从上面或下面进入你的领域，就能够在你根本不知道的情况下进入你的世界。

零维的点 A 沿 X 方向移动到点 B ，路径为一维的线段 AB 。

一维的线段 AB 沿 Y 方向移动到线段 DC ，路径为二维的正方形 ABCD 。

二维的正方形 ABCD 沿Z方向移动到正方形 EFGH ，路径为三维的立方体 ABCD - EFGH 。

三维的立方体 ABCDEFGH 沿 T 方向移动到立方体 A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ E ₁ F ₁ G ₁ H ₁ ，路径为四维的超立方体 ABCDEFGH - A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ E ₁ F ₁ G ₁ H ₁ ，如图2-86。

超立方体是一种类似于三维空间中立方体的四维空间中的立方体，分布在正方体周边的6个面也是这个正方体的“边界”，对于超立方体而言，则有8个三维正方体分布在这个四维超正方体的“周边”。

人类所看到的计算机屏幕或书本中所有的图形，都是各个维度的图形在二维平面上的投影，而不是真正的“原图”。

1）高维立方体的艺术表现

在超现实主义画家达利创作的宗教画《受难的耶稣》中，数学里在三维中展开的四维立方体被描绘为基督教里的十字架，如图2-87，暗示了耶酥存在于一种更高的维度中，从而让人通过科学的思想感受宗教的理念。

早期的计算机艺术家A.Michael Noll于1960年创作了基于旋转的四维超立方体在三维空间中投影的动画作品，如图2-88，让人们可以理解四维超立方体在三维空间中变幻莫测的神奇属性。

在另外一个早期计算机艺术家Manfred Mohr的作品 Subsets 中，艺术家以十一维的超立方体为基础，通过算法决定哪个面是白色，哪个面是黑色，如图2-89。放到固定的窗口中后，这个结构会在绿色背景前旋转。因为它们是被固定在框架里，因此当它们旋转时，有时会看见绿色背景。这些算法形成了一个混沌可视化系统，看起来像风格年轻的泼洒画。

而作品 space.color.motion 则顾名思义，指有色彩的空间动画，这个作品基于六维的超立方体，也就是维度色彩空间，如图2-90。用同样的计算机程序Space.color（写于1999年）可以进行六维动画展示，每个展示装置都有各自的参数，执行六维动画程序。

2）四维空间中的球体

三维空间里球面上的任一个点到球心的距离相等，借助复数我们也可以描述四维空间里的球，但是我们无法看见也难以想象它。德国数学家Heinz Hopf发明了一种方法，使得我们可以在三维空间里想象四维空间里球的样子，称为霍普夫纤维化，数学家Henry Segerman进一步将其在二维平面上呈现出来，如图2-91。

3）高维魔术方块

魔术方块最早由厄尔诺·鲁比克发明于1974年，已经成为风靡全球的益智玩具，并且出现了许多衍生的版本。

Don Hatch与Melinda Green编写程序将魔术方块推广到四维空间，传统的三维魔术方块只能实现432,520,032,274,489,856,000种状态，但这已经是一个非常巨大的数字了，而这种四维里的魔术方块可以实现多达1,756,772,880,709,135,843,168,526,079,081,025,059,614,484,630,149,557,651,477,156,021,733,236,798,970,168,550,600,274,887,650,082,354,207,129,600,000,000,000,000种独立的状态，如图2-92。

Roice Nelson与Charlie Nevill则实现了五维空间里的魔术方块，如图2-93。

4）多胞形—高维多面体

“胞”是指作为更高维物件一部分的三维元素。将正多边形及正多面体拓展到更高维度，即可得到正则多胞形。

在四维空间里只有以下五种正则多胞形。

①4简单体，由5个正四面体构成，每条边为3个正四面体共用。

②超立方体，由8个立方体构成，每条边为3个立方体共用。

③16胞，由16个正四面体构成，每条边为4个正四面体共用。

④120胞，由120个正十二面体构成，每条边为3个正十二面体共用。

⑤600胞，由600个正二十面体构成，每条边为5个正二十面体共用。

George W. Hart以及Carlo H. Séquin都采用多胞形在三维空间正投影的框架结构形态进行了雕塑造型的制作，如图2-94。

高维多面体造型是一种内部有多重镶嵌的结构，为了将这种结构变成现实雕塑，George W. Hart和Carlo H. Séquin都使用了三维打印技术，他们首先在计算机软件里将造型设计好，然后通过三维打印，形成实际的模型，如图2-95。

5）超复数与舞蹈设计

四元数是简单的超复数，一般可表示为 a + b _i + c _j + d _k ，其中 i ² = j ² = k ² =-1，而 a 、 b 、 c 、 d 是实数，四元数代表着一个四维空间 ^[36] 。

在当代舞蹈家和编舞家中流行旋转运动，通常体现为四肢的双旋转，其中通过柔性绳索附着在静止物体上的物体在旋转了不是360°而是720°后回到其原始状态。这种现象在巴厘岛的蜡烛舞、指挥棒旋转、poi等表演形式中也有出现。Karl Schaffer使用四元数对这种旋转运动进行了有效的建模，通过基于四元数的数学模型来描述以及设计这种运动，如图2-96 ^[37] 。