2.2　数学思想与艺术审美

一些数学思想，如对称、黄金分割、随机过程、最近点中分线等，以其简洁优雅的形态规则，为艺术的审美及创作树立了重要的标准。

2.2.1　对称

物体或图像中的某些部分或结构呈现出规律性的重复，就构成了对称。绝大多数的动物都呈左右对称结构，视听觉系统的对称使得动物可以更好地感知环境，肢体的对称则使得它们可以更加稳定及灵活方便地运动。而各种动物的左右眼以及左右耳的对称结构还复合了功能性的对称，这种对称使得对信息的感知能够获得立体和距离的特征，从而为觅食和避险提供准确的指引。

艺术中的对称可以带来视觉装饰效果，还能够承载一定的功能结构，成为重要的美学要素。对称结构常见于建筑艺术设计中，但是绘画艺术中却往往通过非对称的设计来呈现更多的细节，同时打破视觉平衡，塑造视觉中心。

对称结构包括线对称、平移对称、相似对称、旋转对称、螺旋对称等。

1）线对称（镜像对称、手性对称）

如果某事物的一半沿一条直线与它的另外一半呈镜像结构，那么它就构成镜像对称，它以直线为对称中心，因此也叫线对称。

人的左右手构成镜像对称关系，而且左右手的图像只通过移动或旋转，是不可能完全重合的，必须经过镜像变换才能重合，因此这种对称也称为手性对称。手性对称不仅存在于宏观事物中，微观世界里的许多化学及生物分子也存在手性对称现象，多数有机分子都有与其构成镜像结构的同分异形体，这类分子也是手性分子。许多营养物的分子都同时存在左旋以及右旋结构，但是人类只能吸收其中一种，而同一成分的药物，左旋结构与右旋结构往往不仅关乎有无疗效，甚至会产生毒副作用。

Ernst Heinrich Haeckel（1834—1919）是一位用图画记录发现的科学家。Ernst Heinrich Haeckel在其作品集《自然中的艺术形式》中描绘了大量具有线对称结构的生物，这些作品反映了自然生物的对称美，如图2-2。

2）平移对称（平铺对称）

在一些事物中，某种结构单元有序地重复出现，并且沿特定方向平移后可以跟原图像完全重叠，这种情况就构成了平移对称。

平移对称在建设设计和装饰设计中有着普遍的应用，这种对称在建筑物的水平和垂直方向都有体现，不同的楼层和单元之间构成平移对称，瓷砖的铺块之间也构成平移对称。同时，在物理学研究中，各种晶体中由规则排列的原子构成的晶胞单元之间也构成平移对称。

3）相似对称

相似对称是由相互之间在结构、形状上相似的结构单元构成的对称，又称为扩展对称，如悉尼大剧院的不同屋顶之间形状相似，但又不完全相同，便构成相似对称。

4）旋转对称

如果一个图形在围绕某个中心旋转一定角度后能够与原图重合，则构成旋转对称。

旋转对称在绘画艺术中被广泛地试验，如意大利和印度古代的旋转对称绘画作品分别就此进行了探索，这些画面在旋转180°后依然能够正常观赏，如图2-3和图2-4。

5）螺旋对称

对称单元呈螺旋形对称排列，便构成了螺旋对称，如DNA结构中就存在螺旋对称。

6）球对称

球对称是旋转对称在三维空间的拓展，并且以三维形态呈现，球对称以球心为旋转中心，球的任何一条直径都可以成为旋转的对称轴。球对称在雕塑艺术、装饰设计中有着广泛的应用。

2.2.2　黄金分割与斐波那契数列

1）黄金分割

在长度为 a 的线段 AB 中间加入点 C 对其进行分割，得到长度分别为 b 和 c 的两个子线段，并且使得 a / b = b / c ，那么这个比值为 ，近似值为1.618，这个比值被称为黄金分割比。这个比例在摄影、绘画、雕塑、建筑等领域有着广泛的应用。

许多动植物的外观造型中也往往蕴含黄金分割比。甚至在人类的身体结构中也存在许多黄金分割的比例关系。

2）斐波那契数列

斐波那契数列源于数学家斐波那契在1202年提出的一个假设：把一对兔子放一起，从第三个月开始，如果每月生出两只一雌一雄的小兔，然后每对雌雄小兔过两个月之后，每个月生两只小兔一雌一雄……。那么， n 个月后总共会有多少对兔子？

斐波那契是这样来考虑的：设第 n 个月后兔房里的兔子数为 a _n 对，这 a _n 应由以下两部分组成：第 n -1月时候已经有的兔子，即 a _{n -1} 对，以及第 n -2个月时候的兔子生的，即 a _{n -2} 对。

这个数列的前面几项是：2=1+1、3=2+1、5=3+2、8=5+3、13=8+5、21=13+8、34=21+13、55=34+21、89=55+34、…，如此类推，特点是除前两个数（数值为1）之外，每个数都是它前面两个数之和。

我们还会发现，3/2=1.6，8/5=1.6，89/55=1.6181818，…，项数越大，相邻数值的比就越接近黄金分割比。斐波那契数列在大自然中广泛存在，如许多花卉花瓣的数量往往是斐波那契数列的值。

3）黄金螺线

如果依次将斐波那契数列的值作为正方形的边长，以该正方形的一个顶点为圆心，以正方形边长为半径绘制内切于正方形的圆弧 ^[27] ，并将基于相邻斐波那契数列绘制的圆弧连接起来，就可以得到一条优美的螺线，即“黄金螺线”。鹦鹉螺生长形状的剖面便非常接近黄金螺线的造型，如图2-5。

自然界中许多现象都惊人地呈现出黄金螺线的造型，小到植物叶片、花瓣的排列，大到飓风云图、银河系旋臂等，甚至人类耳朵的造型也接近于黄金螺线。

4）黄金角度

如果将一个圆周分为两个角，使它们构成黄金分割比，则其中较小角的角度约为：

360×（1.618-1）/1.618=137.503

这个角度被称为黄金角度。许多植物叶片及花瓣的排列中，都呈现出黄金角度的特征，即每个叶片或花瓣都在上一个相邻叶片的基础上有137.503°的旋转，叶片或花瓣按照这种角度排列之后，相互之间不会遮挡太多，有利于最优地利用生长所需的阳光及水分等资源。图2-6通过程序算法再现了植物结构中的黄金角度。

斯坦福大学艺术与艺术史系的John Edmark基于黄金角度的渐进旋转实现了模拟花卉造型的3D雕塑，在频闪灯下旋转时，雕塑的旋转速度和频闪率是同步的，雕塑每旋转137.5°就闪光一次，使得这些雕塑看起来仿佛正在怒放的花朵，产生出迷人的动画效果，如图2-7。

5）黄金分割与美人标准

世界上有一些美容家认为，人的相貌可以用数学方法来计算，然后比较美丑；他们甚至成立了自己的组织和研究机构。加州有一位整形医生Stephen R.Marquardt博士对此做了专门研究。他比较了很多大众认可的美人图片，对多件世界著名艺术品上的美丽面孔进行了一一核对，以正五边形为基础，经过多次变换得到一种确定“美人”面部特征的标准网格模板，然后制成了“美人面具”—Marquardt Beauty Mask，如图2-8，并且申请了专利，并给出了不同时代、不同民族的美女对这一模板的验证结果，如图2-9。

2.2.3　随机过程与混沌美学

从17世纪起，牛顿使用数学手段来解决物理上的问题，拓展了人类对宇宙的观念。但是精确的数学方程式并不能描述世间万物所遵循的规则，世界上绝大多数事情的发生都具有不同程度的随机性。例如，我们可以预测一个小镇在10年之后人口会增长至若干人，但如果说这个小镇每天增加3.45个人，则这样的结果是毫无意义的。事实上，人口每天增加数可能是0、1、2、3、4或5等，它是一个随机过程，有一个概率分布。这些概率分布是随时间改变的。

随机过程广泛地存在于各种自然现象中，也在各个学科领域有着重要的应用。随机过程对艺术创作的意义在于，艺术创作反映的是艺术家对世界的认识和感受，当然也包括世界上随机发生的各种现象和事件，而世界上大量的随机过程中所呈现的混沌状态无疑是艺术家审美形成的重要来源，而对随机过程构成的混沌状态的模拟，无疑是艺术审美形成之后的外化表现。

例如，Piet Mondriaan在他的抽象作品《合成》中，将画面使用规则或随机的网格进行分割，然后使用随机的色彩进行填充，如图2-10；而Jackson Pollock的作品则更喜欢使用随机分布的线条和色块，如图2-11。

2.2.4　基于随机函数的艺术

1）随机生成的线条艺术

算法艺术及计算机艺术家Michael Noll使用随机函数产生了大量随机的短线，生成了模仿Mondrian作品的图，如图2-12，他将这幅计算机生成的作品及原作同时提供给贝尔实验室的其他科学家参观，结果参观者更加喜欢计算机生成的作品。

Vivek Patel在Siggraph2004上展示的作品 Superimposing Form 则是由大量混沌状态的随机线条构成的动画，如图2-13。

2）随机生成的多边形艺术

数字艺术家Frieder Nake的作品《随机多边形》中，构成多边形的线段长度和角度由随机过程生成，如图2-14。而Vera Molnar的作品则使用了布满画面的随机短线，如图2-15。

A.Michael Noll的动画作品《动态雕塑》中，一个随机生成的三维多边形在不断地进行随机而连续的变形，如图2-16。Manfred Mohr的作品 Band Structures ， Randomly Generated Polygons 则使用随机折线绘制波形，如图2-17。

3）随机生成的虚拟折纸

Jtarbell使用Flash脚本生成的随机细分折叠结构，产生的画面就像进行不断折叠的纸张，如图2-18。

4）模拟自然事物的随机算法Perlin Noise

一般的随机函数可以产生完全随机分布的结果，但是自然界中许多事物虽然充满随机性，却会出现群聚分布的形态，简单地使用随机函数无法进行模拟。

为了更好地模拟自然界中随机而有机的形态及运动，如火焰、烟雾、山峦、海浪、石纹等，Ken Perlin提出了Perlin Noise，并在后期多次进行改进，使视觉效果得到了大幅度提升，因此已被各种游戏及特效广泛应用，如图2-19。

2.2.5　Voronoi图

Voronoi图为俄国数学家Georgy Voronoy所创造，这种图表在数学、计算科学、生物、交通、地理以及计算机图形学等领域有着重要用途。

Voronoi图使用平面上的多个物体将平面划分成与各个物体距离都最近的网格。对平面上各个相邻物体的连接线绘制中垂线，得到的系列中垂线会构成一个细胞状的网格，这就是Voronoi图，如图2-20。

Voronoi图体现了自然界中构成邻居关系的资源共用者之间对资源获取的公平、均衡与和谐的状态，因此这种图案在大自然中非常常见，如叶脉划分出的区域、动植物乃至大地结构对资源的竞争和分配模式，如图2-21，同时这种结构还描述了人类居住区域的模式，以及晶体结构中各种原子、分子对空间的分配和占有等。基于Voronoi图的这些特性，它还被广泛应用于对公共资源的规划，如交通等。

Ken Shirriff提出了一种创建Voronoi分形的方法：在画面上首先放置一些点，并且从它们开始创建Voronoi图，然后在每个已经得到的Voronoi区域中再放置一些点，并且继续从它们开始创建Voronoi图，重复这个过程就可以获取一个Voronoi分形，并且可以获取在圆形内部创建的Voronoi分形，如图2-22。

Marc Fornes则将Voronoi图在Rhino软件中进行3D立体化设计，获得了一种基于Voronoi结构的空间网格造型，如图2-23。

Leonel Mourar创作了一系列的Voronoi图，并且为不同的Voronoi区域填充不同的颜色，巧妙地应用这种数学结构形成一幅幅Voronoi绘画，如图2-24。

普通的马赛克处理将会使图像的色彩特征及边界特征模糊，但基于色彩信息的Voronoi马赛克却能够很好地保留这些信息，使图像呈现出一种既具象又抽象的美感，如图2-25。

麻省理工学院的干流体实验室提出了一种基于Voronoi立体单元的数学方法，Voronoi图中均分两个点的线在这里变成了面，空间中粒子之间无形的相互作用被这种多面体结构准确而有形地体现出来，从而极大地方便了研究，如图2-26。

Bathsheba Grossman在十二面体的基础之上创建了一种三维的Voronoi网格，并且将得到的形状用于雕塑造型，如图2-27。

Voronoi图还可以用于互动艺术的创作。如图2-28，Scott Snibbe的装置作品《边界方程》 ^[28] 中，一个带有导角的平板被作为参与者活动的平台，这个平台正上方有一个与计算机连接的投影仪及摄像机。摄像机会捕获参与者的位置传递给计算机，计算机则利用这些位置信息实时生成并绘制Voronoi图，并且通过投影仪投影到活动平台上。当观众增多时，图形就变得复杂，形成了实时的互动，如图2-29。

2.2.6　数学公式对自然物态的模拟：超级公式

自然界中形态各异的各种生物，它们的外形是否可以通过数学方法来描述？许多人就此展开了孜孜不倦的探索，17世纪的僧侣Grandus曾经提出各种花朵的形状与三角函数之间的关系 ^[29] 。D’Arcy Thompson在他的经典著作《论生长和形式》中 ^[30] ，也思考了采用通用代码行来描述自然形式的想法。“因为世界的和谐体现在形式和数量上，而自然哲学的心灵和灵魂以及所有诗歌都体现在数学美的概念中” ^[31] 。

2003年，生物学家Johan Gielis在 American Journal of Botany 杂志上发表了“超级公式（Superformula）” ^[32] ，认为能够在大自然中发现的复杂形状和曲线可以用含有足够多参数的公式进行描述。Superformula是一个可以通过参数调整来改变造型的几何公式，它可以生成许多我们熟悉的动植物造型，如花朵、海螺等，如图2-30。

数学家Paul Bourke在Johan Gielis的Superformula的基础上，将Superformula拓展成为三维形态Supershape，并且编写了一个运行在mac OS X以及Linux上的OpenGL程序，用于生成三维的Supershape。Vincent Berthoux则提供了一个可用于Windows的版本，采用文本配置文件描述Supershape。

Supershape还被一些研究者用于音频频谱的可视化设计，用于生成与音乐关联的视觉形态。 /IlN3tt890ZCqlGiWsWiVK4rjrfa/4drGoycy8kp2gRCmWeG4eyQF1ehInjcUl91