2.1 射影几何与几何变换

射影几何主要研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。计算机视觉中常涉及欧式几何（Euclidean Geometry）、仿射几何（Affine Geometry）、射影几何（Projective Geometry）及微分几何（Differential Geometry）。

常用的空间几何变换有：刚体变换、空间相似变换（含平移、旋转、相似变换）、仿射变换、投影变换（透视变换）与非线性变换等。仿射变换为射影变换特例，在射影几何中已证明，如果射影变换使无穷点仍变换为无穷远点，则变换为仿射变换。经仿射变换后，线段间保持其平行性，但不保持其垂直性。平面仿射变换的实质是平面与平面之间的平行投影。平面透视变换的实质是平面与平面之间的中心投影。

射影变换保持直线，直线与点的接合性及直线上点列的交比不变。仿射变换除具有以上不变性外，还保持直线与直线的平行性、直线上点列的简比不变。欧式变换除具有仿射的不变性外，还保持两条相交直线的夹角不变，任意两点的距离不变。

2.1.1 空间几何变换

1. 2D变换

1）平移变换：2D平移可以写成 x ′ = x + t 或者：

或者

其中， I 是2×2的单位矩阵， x 为二维向量， t 为二维平移向量， 0 是零向量。

2）旋转+平移：该变换也称2D刚体运动或2D欧式变换， θ 为旋转角， t 为平移向量，则变换关系可以写成式（2-3）：

其中

R 是一个正交旋转矩阵，有 R ^T R =1和‖ R ‖=1。

3）缩放平移：也叫相似变换，该变换可以表示为：

或者

相似变换保持直线间的夹角不变。

4）仿射变换：仿射变换可以表示为：

其中 x ′ 是2×3矩阵，即：

仿射变换后平行线将保持平行性。

5）投影变换：也叫透视变换或同态变换，作用在齐次坐标上，如式（2-9）所示：

其中 是一个任意的3×3矩阵， 是齐次的，即它只是在相差一个尺度量的情况下是定义了的，而仅尺度量不同的两个 是等同的。要想获得非齐次结果，得到的齐次坐标必须经过规范化，即：

和

其中，（ x ， y ）为变换前的坐标，（ x′ ， y′ ）为变换后的坐标。

由于变换是齐次的，同一个投影变换矩阵可以相差一个非零常数因子，因此投影变换仅有8个自由度。直线在透视变换后仍然是直线。图2-1为图像2D变换的效果。

2. 3D变换

平移：3D平移可以写为 x ′ = x + t _3D 或者：

其中， I _3D 是3×3的单位矩阵， t _3D 为三维向量。

旋转+平移：该变换也称3D刚体运动，即3D欧式变换，其可以写成：

其中， R _3D 是一个3×3的正交矩阵，有 =1和‖ R ‖=1

缩放旋转：该变换可以表示为：

该变换能够保持直线和平面间的夹角。

仿射变换：仿射变换可以表示为：

其中 A _3D 是3×4矩阵，即

仿射变换平行线和面保持平行性。

投影变换：也叫3D透视变换或同态映射，作用在齐次坐标上，如式（2-17）所示：

其中 是一个任意的4×4齐次矩阵。

与2D投影变换相同，要想获得非齐次结果 ，得到的齐次坐标 必须经过规范化。由于变换是齐次的，射影变换可以相差一个非零常数因子，因此3D投影变换有15个自由度。直线在透视变换后仍然是直线。

2.1.2 三维到二维投影

在计算机视觉与计算机图形学中，最常用的是3D透视投影，如图2-2所示。投影变换将3D空间坐标中的点映射到2D平面中，即空间中点的3D信息投影后变成图像亮度信息，丢失了图像的3D信息，投影后就不可能恢复该点到图像的距离了，因此2D传感器没有办法测量到表面点的距离。

图2-2中点 P （ x ， y ， z ）与成像平面上的对应点 p （ x _p ， y _p ， z _p ）在深度方向的大小分别为 d 和 z 根据相似三角形，在图2-2中有：

以及

进一步可以得到3D空间中点 P 与成像平面上对应点 p 对应关系为：

当 d 为相机焦距情况下

因而有

其中， 为投影矩阵。

以上分析情况为理想条件下，即光学中心在像平面坐标原点，相机没有旋转和平移。如果光学中心位于像平面中心（ u ₀ ， v ₀ ）的位置以及传感器轴间倾斜 s ，则 M 矩阵被修正为如下形式

其中， α 和 β 为归一化焦距。

如果相机与世界坐标系有旋转和平移，则

其中， 为旋转和平移组合而成的矩阵。 3t0++Y/r3UMlGe5loBU7iZTrTIPRc8EnF1qt4O8uCXxQQlmgwq80BGIa6Hj/ngrA