下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
在对交流电动机数学模型进行化简的过程中，需要引入不同的坐标系，并将某些物理量在不同坐标系之间进行变换，这就是坐标变换。常用的坐标系如图3-5所示。图3-5a是一个由ABC三个坐标轴构成的三相静止坐标系，它就是图3-1中的三相ABC定子坐标系（3s坐标系），每个坐标轴上有一个等效绕组。图3-5b是一个静止的两相平面直角坐标系（2s坐标系），其中 α 轴与图3-5a中的A轴线重合， β 轴超前 α 轴90°，同样两个坐标轴（ α 与 β ）上分别各有一个绕组。图3-5c给出的是一个以速度 ω 旋转的平面直角坐标系（2r坐标系），两个坐标轴（ d 与 q ，其中 q 轴超前 d 轴90°）上也分别各有一个绕组。
可以设想：如果电动机的定子三相绕组可以采用图3-5c中的 d 绕组和 q 绕组（ d 、 q 绕组的真实位置参考图2-18）等效，并且 dq 坐标系与转子坐标系（图3-1a中的 dq 坐标系）重合的话，那么 dq 轴上新的定子绕组与转子就是相对静止的， dq 绕组之间的互感也就不会与转子位置 θ 有关系了，电感矩阵将会得到极大地简化。这里需要指出的是， d 、 q 绕组既然是旋转的，那就不可能是实际的定子绕组，所以它们是虚拟（等效）的绕组。
图3-5 不同坐标系及绕组的示意图
a）3s坐标系 b）2s坐标系 c）2r坐标系
下面分析上述三种坐标系中的绕组如何等效，同时分析不同坐标系绕组中的物理量（电压、电流等）之间如何进行等效变换。
电动机内的气隙磁场是进行电磁能量传递的媒介，定、转子间能量的传递正是通过气隙磁场进行的。不同类型的绕组进行变换时，应保证它们产生的总磁动势不变。只有遵守这一原则，才能保证电动机能量转换关系不变。
图3-5a中三相对称定子绕组的每相匝数均为 N 3 ，那么三相绕组产生的磁动势空间矢量在静止坐标系中采用复数可以表示为
上式中
的下角标3s表示该磁动势由3s坐标系绕组产生，上角标2s表示描述该磁动势的坐标系，这里即是两相静止
αβ
坐标系。本书变量中上角标的含义与此相同。
图3-5b中两相静止绕组的每相绕组匝数为 N 2 ，两相绕组产生的磁动势空间矢量为
图3-5c中两相旋转绕组的每相绕组匝数为 N 2 ，两相绕组产生的磁动势空间矢量为
令ABC绕组、 αβ 绕组产生的磁动势相等，即
可以推导出下式：
上式中，通常取 N 3 /N 2 =2 / 3，这样推导的三相电流与两相电流的幅值是相等的。采用其他的变换系数也是可行的，不过各物理量之间进行坐标变换时较容易弄错，在第4章的末尾将会对此通过MATLAB仿真进一步对比说明。此时根据式（3-47）推出3s坐标系中ABC绕组的电流与2s坐标系中 αβ 绕组的电流之间的变换矩阵分别为式（3-48）和式（3-49）。
可以进行验算，
是一个2维单位矩阵；
的结果虽然不是3维单位矩阵，但是对于三相三线系统中的一组变量（电压、电流、磁链等），若满足三相变量之和等于0（即零序分量之和为0），其坐标变换结果与3维单位矩阵
是等效的。物理量在经过两次变换后均能够保持不变——这样的变换才是正确的。采用式（3-48）和式（3-49）的三相变量与两相变量的幅值（正弦变量）保持不变，因而该变换又称为恒幅值变换。
除此之外，还有一种称为恒功率变换的3s与2s坐标系变量之间的变换矩阵，分别见式（3-50）与式（3-51），下角标中的
cp
表示恒功率。此变换中，两相电流幅值是三相电流幅值的
倍。
根据 αβ 绕组与 dq 绕组产生的磁动势相等，有
可以推导出下式
根据上式推导出的2s坐标系中 αβ 绕组的电流与2r坐标系中 dq 绕组的电流之间的变换矩阵为
可以进行验算，
是一个2维单位矩阵，这也说明，经过了两次变换后的物理量保持不变。