3.2 三相静止坐标系的PMSM动态数学模型

下面从基本电磁关系出发，推导出交流永磁电动机统一化的动态数学模型，为不失一般性，假定电动机的转子具有凸极结构。电动机的数学模型包括四组方程：电压方程、磁链方程、转矩方程与运动方程。因为永磁同步电动机只有定子绕组，没有转子绕组，因此电压方程和磁链方程仅仅需要列写定子侧方程即可。

3.2.1 定子电压方程

在ABC坐标系中，可以列出三相定子电压方程矩阵形式为

式中，（ u ₁ ）为定子绕组相电压矩阵，（ u ₁ ）=（ u _A u _B u _C ） ^T ， u _A 、 u _B 、 u _C 分别为三相定子绕组相电压（V）；（ i ₁ ）为定子绕组相电流矩阵，（ i ₁ ）=（ i _A i _B i _C ） ^T ， i _A 、 i _B 、 i _C 分别为三相定子绕组相电流（A）；（ R ）为定子绕组相电阻矩阵， ， R ₁ 为三相对称定子绕组一相电阻（ Ω ）； p =d / d t 为微分算子； 为定子相绕组磁链矩阵， ψ _A （ θ ， i ）、 ψ _B （ θ ， i ）、 ψ _C （ θ ， i ）分别为三相定子绕组的全磁链（Wb）； θ 为图3-1中 d 轴与A轴夹角的空间电角度。

3.2.2 定子磁链方程

三相定子绕组的全磁链（ ψ ₁ （ θ , i ））可以表示为

其中（ ψ ₁₂ （ θ ））矩阵是永磁体磁场匝链到定子绕组的永磁磁链矩阵。

ψ _fA （ θ ）、 ψ _fB （ θ ）、 ψ _fC （ θ ）分别为永磁体磁场交链A、B、C三相定子绕组的永磁磁链分量（Wb），与定子电流无关。对于一台确定的电动机，永磁磁链仅与转子位置 θ 有关。

式（3-2）中的（ ψ ₁₁ （ θ , i ））是定子绕组电流产生的磁场匝链到定子绕组自身的磁链分量：

式中 L _AA 、 L _BB 、 L _CC ——三相定子绕组的自感（H）；

M _AB 、 M _AC 、 M _BA 、 M _BC 、 M _CA 、 M _CB ——三相定子绕组之间的互感（H）。

下面对式3-4中的电感系数分别进行分析。

1.定子绕组的漏自感和自感

永磁同步电动机定子绕组中通入三相电流后，由电流产生的磁通分为两部分：一部分为漏磁通，与漏磁通相对应的电感与转子位置无关，为一个恒定值；另一部分为主磁通，该磁通穿过气隙且与其他两相定子绕组交链，当电动机转子转动时，凸极效应会引起主磁通路径的磁阻变化，对应的电感系数也相应发生变化。在距离 d 轴角度为 θ 的点Q处，单位面积的气隙磁导 λ _δ （ θ ）可以足够精确地表示为

式中 λ _{δ 0} ——气隙磁导的平均值；

λ _{δ 2} ——气隙磁导的二次谐波幅值。

式（3-5）描述的气隙磁导与转子位置角 θ 之间的关系描绘在图3-3中。当 θ =0°时， d 轴方向气隙磁导为

当 θ =90°时， q 轴方向气隙磁导为

注意，式（3-5）、式（3-6）、式（3-7）与电励磁同步电动机的公式略有不同，因为两类电动机中 d 、 q 轴的气隙磁导规律不同（永磁同步电动机中， d 轴电感小于或者近似等于 q 轴电感，电励磁同步电动机则反之）。为了更加符合PMSM情况，将公式略作修改，但并不影响最终推导的 d 、 q 轴电感以及磁链和转矩方程的表达式。

所以可以得到

为了对比的更加清楚，图3-3中还绘制了定子绕组三相电流的示意图。这三相电流在转子位置从0°到360°的变化过程中都呈现一个周期的变化，在此过程中，因而气隙磁导出现了两个周期。

另外，图3-3中所示的三相定子电流中仅含有励磁分量（ d 轴分量），不含有转矩分量（ q 轴分量）。若希望电动机能够输出非零转矩，那么图中的电流相位必须发生改变。结合后面的转矩公式可以更好地理解这一点。

以A相定子绕组为例，当通入电流 i _A 时，在A相定子绕组轴线方向的磁动势 F _A 与Q点处单位面积的气隙磁导 λ _δ （ θ ）对应的A相定子绕组气隙磁链 ψ _{A δ} （ θ ）满足如下关系：

式中 K ——气隙磁链和磁动势、气隙磁导的比例系数；

N _A ——A相绕组的匝数。且 L _AAd = K · N _A · λ _{δ d} ， L _AAq = K · N _A · λ _{δ q} 。

根据漏自感和自感的定义，A相定子绕组的漏自感 L _{A σ} 和自感 L _AA 分别表示为

两式中， L _l 为漏自感的平均值，与A相定子绕组漏磁链 ψ _{A σ} 有关，与转子位置无关； L _s0 为A相定子绕组自感的平均值， L _s2 为A相定子绕组自感二次谐波的幅值。可以看出，有以下关系式成立

由于B相定子绕组和C相定子绕组与A相定子绕组在空间互差120°，可以认为A、B、C三相定子绕组各自的漏电感相等，即有

因而将式（3-13）中 θ 分别用（ θ -120°）和（ θ +120°）替代，可以求得A、B、C三相定子绕组的自感为

2.定子绕组的互感

当A相定子绕组通入电流 i _A 时，在A相定子绕组轴线方向的磁动势 F _A 可以分解为 d 轴方向的直轴磁动势分量 F _Ad 和 q 轴方向的交轴磁动势分量 F _Aq 。

直轴磁动势分量 F _Ad 和交轴磁动势分量 F _Aq 分别产生各自的磁链分量 ψ _Ad （ θ ）和 ψ _Aq （ θ ）为

由于 d 轴与B相定子绕组轴线相差（ θ -120°）， ψ _Ad （ θ ）与B相定子绕组交链的部分为 ψ _Ad （ θ ）cos（ θ -120°）； ψ _Aq （ θ ）与B相定子绕组交链的部分为 ψ _Aq （ θ ）sin（ θ -120°）；因此，A相定子绕组电流 i _A 经过气隙与B相定子绕组交链的磁链 ψ _{BA δ} （ θ ）表示为

A相定子绕组与B相定子绕组的互感 M _BA 可以表示为

式中 M _s0 ——A相、B相定子绕组互感平均值的绝对值；

M _s2 ——A相、B相互感的二次谐波的幅值。

它们满足

由于空间的对称性，当B相定子绕组通入电流 i _B 时，B相定子绕组与A相定子绕组的互感可表示为

因而将式（3-20）和式（3-21）中的 θ 分别用（ θ -120°）和（ θ +120°）替代，可以得到A、B、C三相定子绕组的互感为

将式（3-17）、式（3-25）代入式（3-4）定子磁链分量的矩阵方程可得：

图3-4给出了PMSM各定子绕组的自感和互感与转子位置的关系示意图。

3.定 、 转子绕组的互感计算

为了便于推导电动机的电磁转矩公式，我们将转子永磁体等效为具有电流 i _f 的转子励磁绕组f（对于正弦波磁场分布的PMSM来说， i _f 是一个恒定值），仅在本部分推导转矩公式时使用。

转子绕组f与定子三相绕组之间的互感矩阵[ M _sf ］为

需要指出的是，不管永磁体产生的是何种分布的气隙磁场，式3-3都可以用来表示永磁磁链，即下式成立

4.转子绕组的自感

虽然存在转子的凸极效应，但是这并不影响转子励磁绕组自感 L _ff ，因为它不随转子位置而变化。这里引入 L _ff 也仅仅是为了推导电动机转矩的方便。

3.2.3 电动机转矩方程

运用能量法得出交流永磁电动机运行时，电动机中的磁场储能为 ^[12］

根据前面分析，有

式中 L （ θ ）——自感和互感矩阵；

ψ ₁₂ （ θ ）——永磁磁链矩阵。

根据能量守恒定律，电动机运行时电源输送的净电能d W _e 应等于电动机中磁场能量的增量d W _m 加上电动机轴输出机械功率增量d W _mech ，即有

另外，

所以有

式中， θ _m 为电动机的机械角位移，它表明：当外电源注入电动机的电流恒定时，电动机磁场能量的增量与电动机输出机械功率分别等于电动机输入净电能的一半。

根据式（3-34）知道，电磁转矩等于电流不变时磁场储能对机械角位移 θ _m 的偏导数。

式中 n _p ——交流永磁电动机的极对数；

θ ——电气角位移。进一步推导转矩，有

综合式（3-26）、式（3-36），交流永磁电动机的电磁转矩可以表示为

式中， ω 为电动机的电角频率（rad/s）； e _rA 、 e _rB 、 e _rC 分别是电动机旋转时，永磁体在定子绕组中产生的反电动势。上述公式中的第一部分转矩对应着磁阻转矩，第二部分转矩是永磁体与定子电流作用产生的永磁转矩，该转矩公式对PMSM和BLDCM都适用。

对于正弦波磁场分布的PMSM，式（3-3）中的永磁磁链可以表示为下式。

注意，式（3-38）中的 Ψ _f 指的是定子相绕组中永磁磁链的幅值。式（3-37）的转矩公式就可以表示为

3.2.4 动力学方程

根据牛顿第二定律知道电动机动力学方程式为

式中 J ——整个机械负载系统折算到电动机轴端的转动惯量（kg·m ² ）；

T _l ——折算到电动机轴端的负载转矩（N·m）。

综上，交流永磁电动机的电压矩阵方程[式（3-1）］、磁链方程[式（3-2）、式（3-3）、式（3-26）］和转矩方程[式（3-37）］、动力学方程[式（3-40）］共同组成了交流永磁电动机的一般化动态数学模型。从中可以看出，交流永磁电动机在ABC坐标系中的数学模型非常复杂，它具有非线性、时变、高阶、强耦合的特征。为了便于对电动机的运行过程进行深入分析，必须对其进行简化。

3.2.5 基于MATLAB的转矩公式分析

本部分内容采用MATLAB软件对三相静止坐标系中的电动机转矩公式进行仿真分析。首先将式（3-37）稍作整理，然后在MATLAB命令窗口中逐步键入如下命令（这里以磁阻转矩为例）：

上述语句中第一句清空变量，第二句观察现有变量（应该是没有变量了），第三句定义符号变量用以推导转矩公式，第四句再次观察工作空间的变量，出现如下结果：

可以看出，工作空间中已经出现了4个符号变量，其中st2表示式（3-37）中的2 θ ，ia、ib、ic分别表示三相定子电流。然后根据式（3-37），键入如下命令（公式简化中暂时忽略电动机的极对数与电感等常量）：

此时，MATLAB中会出现如下结果，MATLAB尚未对其进行化简。

te1=

然后，键入如下命令：

simplify(te1)

显示如下结果：

关于化简的其他方法还有combine、factor、expand、radsimp、rewrite、collect等等。

然后我们开始新的分析过程，键入如下命令：

此时，可以看到命令窗口中会出现如下结果，这说明MATLAB已经接受了这几个符号变量。

上述指令的含义是让三相定子电流为对称三相正弦电流，相电流的峰值为ima。然后键入如下命令：

在MATLAB接受转矩变量以后，再键入如下化简命令：

simplify（te1）

同样，在采用各种方式简化后，出现了最终的结果：

依据式（3-41），在上述三相定子电流下，最终的转矩公式从式（3-39）可以变换成下式：

通过前述一系列MATLAB的化简推导与变换，三相对称正弦电流供电下，PMSM的转矩公式还是比较简单的。需要注意的是公式中的电流与磁链均是指的相变量的幅值。在后面进一步简化后，还需要将前后的转矩公式在一起进行对比，以便深入理解各变量与相关公式。

图3-2左侧与图3-3下方文字简单说明了该图中的电流产生的转矩为0，这是因为图中所示相电流波形对应的 β 与 θ 刚好是同相位的，所以图中的定子电流都是励磁电流，不能产生转矩。式（3-42）可以很好地解释这一点。为了输出转矩，电动机相电流的相位必须发生变化，已出现产生转矩的电流分量，即后面3.4节中所述的 i _q 电流分量。 IaQ2w6XLhQQtVZqOsPVFaJEKnmx7gc+fEcoio6ZGYx7g4SzV2Bu0mW2iN0xO+cqu