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1.电阻元件电压与电流的关系
图2-34为纯电阻电路中电压与电流的波形图、相量图，取电压、电流为关联参考方向，并设电阻元件的电流为
由于任一瞬间电阻上的电压与电流关系仍满足欧姆定律，有
u （ t ）= Ri （ t ）
则
图2-34 纯电阻电路中电压与电流的波形图、相量图
（1）电压与电流的有效值关系
（2）电压与电流的相位关系
电阻元件上电压与电流是同频率、同相位的正弦量，因此
ψ u = ψ i
图2-34b为电阻元件中电压与电流的波形（为了简化，图中设 ψ u = ψ i =0）。
（3）电压与电流的相量关系
上面的分析表明，电阻元件在正弦交流电路中电压与电流都是同频率的正弦量，将电压 u 和电流 i 用对应的相量表示，可得到电阻元件上正弦电压和电流间关系的相量表达式：
即
上式表明，电阻上电压与电流的相量关系仍符合欧姆定律。由此作出电阻元件的电压、电流相量模型（见图2-34c）和相量图（见图2-34d）。
2.电阻元件上的功率
（1）瞬时功率
电阻元件在正弦交流电路中也同样消耗功率。由于电压、电流随时间变化，因此电阻在各瞬间消耗的功率也不同，电路任一瞬间消耗的功率称为瞬时功率，它等于电压、电流瞬时值的乘积，用小写字母 p 表示，即
p （ t ）= u （ t ） i （ t ）
将 u （ t ）、 i （ t ）代入上式（设 ψ u = ψ i =0），得
p （ t ）随时间的变化规律如图2-35所示。
由图可见，在 u 、 i 变化的一个周期内，恒有 p ≥0，说明电阻在吸收功率，它是一种耗能元件。
（2）平均功率
瞬时功率反映了电阻中消耗功率的瞬时状态，但不便于表示和比较大小，工程上常用瞬时功率在一个周期内的平均值表示功率，称为平均功率（或有功功率），用大写字母 P 表示，即
图2-35 p （ t ）随时间的变化规律
将式（2-8）中的 p （ t ）代入上式，得
它与直流电路计算电阻的功率计算公式形式相同，但注意此式中 U 、 I 为有效值。平均功率代表电路实际吸收（或消耗）的功率，习惯上就称其为功率，它的单位仍为W。我们常说的40W灯泡、10kW的电动机等都指的是平均功率。
【例2-14】 已知某白炽灯的额定参数为220V/100W，其两端所加电压为 u （ t ）=311sin（314 t +30°）V。试求白炽灯的工作电阻、电流大小及瞬时值表达式。
解： 因白炽灯额定电压、额定功率分别为220V和100W，所以工作电阻
由
u
（
t
）=311sin（314
t
+30°）V可知电压有效值为
，与白炽灯的额定电压相符。
白炽灯可视为纯电阻，电流与电压同频、同相，所以
由电阻很小的电感线圈组成的交流电路，可近似地看成纯电感电路。图2-36为纯电感电路中电压与电流的波形图、相量图，取其电压、电流方向为关联参考方向。
图2-36 纯电感电路中电压与电流的波形图、相量图
1.电感元件电压与电流的关系
设
，当纯电感电路中有交变电流
i
通过时，根据电磁感应定律，线圈
L
上将产生自感电动势，其表达式为
。
所以其端电压为
将
代入上式有
（1）电压与电流的有效值关系
设
则有 U = ωLI
对比纯电阻电路欧姆定律可知， ωL 与 R 相当，表示电感对交流电的阻碍作用，称为感抗，用 X L 表示，即
式（2-14）中各物理量的单位分别是rad/s、H、Hz时，感抗 X L 的单位是Ω。在电感一定的情况下，感抗与频率成正比，频率 f 越高，感抗 X L 越大，因此电感线圈对高频电流的阻碍作用很大；而对于直流电而言，由于 f =0，所以 X L =0，电感线圈相当于短路，可见感抗只有在正弦交流电路中才有意义。
电感元件电压与电流有效值的关系可表示成：
（2）电压与电流的相位关系
由式（2-12）和式（2-13）可知，电感上电压与电流的相位差为
，有
可见纯电感电路中，电压的相位超前电流
，图2-36b为电感元件中电压与电流的波形（为了简化，图中设
ψ
i
=0）。
（3）电压与电流的相量关系
电感元件在正弦交流电路中的电压与电流都是同频率的正弦量，将电压 u 和电流 i 用对应的相量表示，可得到电压和电流间关系的相量表示式：
即
上式也称为相量形式的欧姆定律，由此作出电感元件的电压、电流相量模型（见图2-36c）和相量图（见图2-36d）。
2.电感元件的功率
（1）瞬时功率
电感元件吸收的瞬时功率（设 ψ i =0）为
p （ t ）随时间的变化规律如图2-37所示，在第一、三个1/4周期内，瞬时功率为正值，表示电感在吸收能量，并把吸收的电能转换为磁场能储存起来；在第二、四个1/4周期内，瞬时功率为负值，表示电感将原先储存在磁场中的磁场能逐渐释放出来向电源充电。这样，在电源作用的一个周期内，纯电感电路并没有能量消耗，只有电能与磁场能的相互转换，且在一个周期内这种储、放能量过程要重复两次，即瞬时功率的周期为电源周期的一半。
图2-37 p （ t ）随时间的变化规律
（2）平均功率
电感元件的平均功率为
上式说明电感元件不消耗电能，是一种储能元件。
（3）无功功率
虽然在纯电感电路中平均功率为零，但事实上电路中时刻在进行着能量的交换，瞬时功率并不为零。为了反映电感元件能量交换的规模大小，工程上用瞬时功率的最大值即无功功率来表征，用 Q L 表示，数学式为
为区别于有功功率，式（2-18）中各物理量的单位分别用V、A、Ω时，无功功率的单位是乏（var）。
特别要注意的是，“无功”的含义是“交换”而不是“消耗”，它是相对“有功”而言的，不能理解为“无用”。电感元件上的无功功率在生产实践中占有重要的地位，例如变压器、电动机等具有电感的设备，它们的磁场能量是由电源供给的，电源必须与它们进行一定规模的能量交换，即必须向具有电感的设备提供一定大小的感性无功功率。
【例2-15】
已知线圈的电感量
L
=0.8H，内阻可忽略不计，把它接在电压为
u
（
t
）=220
的电源上。求：
1）线圈中的电流瞬时值表达式和无功功率。
2）若频率变为1000Hz，电压有效值不变，线圈中的电流和无功功率各为多少？
解：
1）由题可得
，电感线圈的感抗
X
L
=
ωL
=314rad/s×0.8H=251.2Ω。
电流瞬时值表达式为
无功功率为
Q L = UI =220V×0.88A=193.6var
2）频率变为1000Hz时，电感线圈的感抗
=6.28×1000Hz×0.8H=5024Ω，线圈中的电流
，无功功率
=220V×0.044A=9.68var。
此例表明，频率越高，则感抗越大，而电流与无功功率越小。
实际应用中的电容器，大多数由于介质损耗和漏电都很小，可近似地看成纯电容。图2-38为正弦交流纯电容电路，取其电压、电流方向为关联参考方向。
图2-38 正弦交流纯电容电路
1.电容元件的电压与电流关系
设加在电容两端的电压为
，则根据电容元件上电压、电流的瞬时值关系式
，有
（1）电压与电流的有效值关系
设
则有
I
=
ωCU
或
对比纯电阻电路欧姆定律可知，
与
R
相当，表示电容对交流电的阻碍作用，称为容抗，用
X
C
表示，单位是Ω，表达式为：
在电容一定的情况下，容抗与频率成反比，频率 f 越高，容抗 X C 越小，因此电容对高频电流的阻碍作用小，对低频电流的阻碍作用大。在直流电路中，由于 f =0，所以 X C =∞，电容相当于开路。
电容元件电压与电流有效值的关系可表示成
（2）电压与电流的相位关系
由式（2-19）可知，电容元件上电压与电流相位差为
，由
可见，纯电容电路中，电流的相位超前电压
，图2-38b为电容元件中电压与电流的波形（为了简化，图中设
ψ
u
=0）。
（3）电压与电流的相量关系
在正弦交流电路中，电容元件的电压与电流都是同频率的正弦量，将电压 u 和电流 i 用对应的相量表示，可得到电压和电流关系的相量表示式：
即
式（2-23）就是电容元件上电压与电流的相量关系式。由此作出电容元件的电压、电流相量模型（见图2-38c）和相量图（见图2-38d）。
2.电容元件的功率
（1）瞬时功率
电容元件吸收的瞬时功率（设 ψ u =0）为
p （ t ）随时间的变化规律如图2-39所示。
由图可知，在第一、三个1/4周期内，瞬时功率为正值，表示电容在吸收能量，并把吸收的电能转换为电场能储存起来；在第二、四个1/4周期内，瞬时功率为负值，表示电容将原先储存在电场中的电场能逐渐释放出来向电源充电。这样，在电源作用的一个周期内，纯电容电路并没有能量消耗，只有电能与电场能的相互转换，且在一个周期内这种储、放能量过程要循环两次，即瞬时功率的周期为电源周期的一半。因此电容元件也是一种储能元件。
图2-39 p （ t ）随时间的变化规律
（2）平均功率
电容元件的平均功率为
上式说明电容元件与电感元件一样不消耗电能，是一个储能元件。
（3）无功功率
虽然在纯电容电路中平均功率为零，但事实上电路中时刻在进行着能量的交换，瞬时功率并不为零。为了反映电容元件能量交换的规模大小，工程上用瞬时功率的最大值即无功功率来表征，用 Q C 表示，数学式为
这是容性无功功率， Q C 的单位也是var。
【例2-16】 如图2-38a所示，已知加在5μF电容两端的电压为10V，初相为30°，角频率为10 6 rad/s。求：
1）电容电流 i （ t ）。
2）电容的有功功率 P C 和无功功率 Q C 。
3）画出电压与电流的相量图。
解 ：
1）电压相量
电容的容抗
电容上电流相量
所以
2）电容的有功功率 P C =0
无功功率 Q C = I 2 X C =50A 2 ×0.2Ω=500var
图2-40 电压与电流的相量图
3）电压与电流的相量图如图2-40所示。
（续）
（续）
（续）
