任务2.3
支路电流法与叠加定理

2.3.1 支路电流法

支路电流法是以电路中各支路电流为未知量，然后应用KCL和KVL分别对节点和回路列出所需要的方程组，而后解出各未知支路电流。

支路电流法的解题步骤如下：

①判断电路节点数和支路条数；②标出各支路电流的参考方向；③根据KCL列出 n -1个节点电流方程；④标出电源的参考方向，选取网孔作为独立回路，标出各回路绕行方向，根据KVL列出 b -（ n -1）个独立回路电压方程；⑤联立方程，求出各支路电流，若某一电流为负值，说明该电流的实际方向与参考方向相反。

【例2-8】 如图2-17所示，用支路电流法求解各支路电流。其中， U _S1 =12V， U _S2 =11V， U _S3 =7V，电阻 R ₁ = R ₂ = R ₃ =10Ω。

解： 依据解题步骤：

1）判断电路节点数 n 和支路条数 b 。

电路节点数： n =2。支路数： b =3。

2）标出各支路电流的参考方向，如图2-17所示。

3）根据KCL列出 n -1个节点电流方程。

对于节点A有： I ₃ = I ₁ + I ₂

4）标出电源的参考方向，选取网孔作为独立回路，标出各回路绕行方向，根据KVL列出 b -（ n -1）个独立回路电压方程。

对于左边网孔（ U _S1 、 R ₁ 、 U _S2 、 R ₂ ），列写KVL方程

联立方程，求得： I ₁ =0.2A， I ₂ =0.1A， I ₃ =0.3A。

2.3.2 叠加定理与应用

叠加定理是在线性电路中，有 n 个电源同时作用时，各支路中的电流（或电压）等于各个电源单独作用时在该支路产生的电流（或电压）的代数和。其等效电路如图2-18所示。

下面通过例子来说明叠加定理的正确性。求支路电流 I ₁ 可用支路电流法，列出的方程组如下

解得

若设

则

很明显， 是当电路中只有电压源单独作用，电流源不作用时，在第一条支路上所产生的电流，如图2-18b所示； 是当电路中只有电流源单独作用，电压源不作用时，在第一条支路上所产生的电流，如图2-18c所示。由于 的方向与 I ₁ 的方向相反，因此取负号。

应用叠加定理的步骤：

1）把含有若干个电源的复杂电路分解为若干个电压源和电流源单独作用的分电路。应注意分电路中当一个电源单独作用时，其他电源作零值处理，即电压源用短路代替，电流源用开路代替；原电路中所有电阻，包括电源内阻，都应保留，电阻元件的参数和连接方式不变。

2）标出原复杂电路和分电路中各电流的参考方向。

3）计算各电源单独作用时的电流或电压。

4）将各分电路中相应支路的电流或电压叠加，求其代数和。

使用叠加定理时应注意：

1）只适用于线性电路，该定理不能用于分析非线性电路。

2）在直流电路中，不能用叠加定理直接计算功率。

3）独立电源单独作用是指每次只考虑一个独立电源作用，其余独立电源均置零，即不作用的电压源用短路替代，不作用的电流源用开路替代。电路结构保持不变。

4）可以叠加的量只能是电流或电压。在叠加时要注意各独立源单独作用时所产生的电压分量或电流分量的正负。当电压分量的参考极性或电流分量的参考方向与待求的电压的参考极性或待求的电流参考方向一致时，各分量前面取“+”号，反之取“-”号。

5）对于含有受控源的电路，受控源不能视为独立电源，在各独立源单独作用的各电路中受控源都必须像电阻一样保留。

【例2-9】 试用叠加定理求如图2-19所示电路中的电压 U 。

解： 按叠加定理作出两个电源单独作用时的等效电路如图2-20所示。

根据图2-20a可得：

根据图2-20b可得：

原电路的电压 U 为： U = U ′+ U ″=2V

2.3.3 技能训练：叠加定理的验证

2.3.4 拓展：戴维南定理

1.戴维南定理定义

任何一个有源二端网络，总可以用一个电压源 U _S 和一个电阻 R _S 串联组成的实际电压源来代替，其中：电压源 U _S 等于这个有源二端网络的开路电压 U _OC ，内阻 R _S 等于该网络中所有独立电源均置零（电压源短接，电流源开路）后的等效电阻 R _eq 。 U _S 、 R _S 和 I _S 、 R _S 称为有源二端网络的等效参数。电压源和电阻串联组成的电压源模型，称为戴维南等效电路，该电阻称为戴维南等效电阻，二端口等效网络如图2-23所示。

用戴维南等效电路置换单口网络后，对外电路的求解没有任何影响，即外电路中的电流和电压仍然等于置换前的值。

2.戴维南定理应用

应用戴维南定理，关键需要求出端口的开路电压以及戴维南等效电阻。求解步骤如下。

步骤1：求开路电压，利用所学知识，或结合叠加原理。

步骤2：求戴维南等效电阻。

1）串并联法：令独立电源为0，根据网络结构，用串并联法求 R _eq 。

2）外加电源法：令网络中独立电源为0，外加一电压源/电流源，分别如图2-24、图2-25所示，用欧姆定律求 R _eq 。

3）开短路法：原电路不变，将原二端网络端口开路，如图2-26所示，求出开路电压 U _oc ；将原二端网络的两个端钮a、b短接，求出 I _ab 电流大小。最后通过端口的开路电压 U _oc 和短路电流 I _ab 之比得出 R _eq 的值。

【例2-10】 如图2-27所示， U _S1 =1V， R ₂ =2Ω， R ₃ =3Ω， R ₄ =4Ω， R ₅ =5Ω， U _S5 =5V， I _S6 =6A， R ₁ 可变，试问： R ₁ 取值多大时， I ₁ =-1A？

解： 采用戴维南定理分析。

1）开路电压 U _OC 。将可调电阻 R ₁ 所在的支路1从图中移去后，电路如图2-28所示。

在外围电路中应用KVL、KCL求得开路电压。

2）求戴维南等效电阻。将图2-28中的独立源置零后的电路如图2-29所示。

3）化简电路，如图2-30所示。