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任务2.2
基尔霍夫定律与应用

2.2.1 基尔霍夫定律

基尔霍夫定律包括基尔霍夫电流定律(Kirchhoff’s Current Law,KCL)和基尔霍夫电压定律(Kirchhoff’s Voltage Law,KVL)。它反映了电路中所有支路电压和电流的约束关系,是分析集总参数电路的基本定律。为了正确地理解和掌握基尔霍夫定律,先以图2-9为例来介绍与定律有关的几个术语。

图2-9 例图

1.电路中的几个名词

支路:电路中通过同一电流的每个分支叫作支路。图2-9中共有三条支路,即acb、adb、aeb。

节点:电路中三条或三条以上支路的联结点称为节点。如图2-9中的a点和b点。

回路:电路中任一闭合路径称为回路。图2-9中有acbda、adbea和acbea三个回路。

网孔:在平面电路中,内部不含支路的回路称为网孔。即acbda、adbea。

2.基尔霍夫电流定律(KCL)

KCL的研究对象为电路中的节点和支路电流。它指出:对电路中的任一节点,在任何时刻,所有流经该节点的各支路电流的代数和恒为零。对应数学表达式为

i =0或∑ I =0(直流时)

上式称为KCL方程或节点电流方程。式中,若流出节点的电流前面取“-”号,则流入该节点的电流前面应取“+”号。也可以将流入节点的电流前面取“+”号,流出节点的电流前面取“-”号。而电流是流入节点还是流出节点均按电流的参考方向来判断。如图2-10所示,单一节点a的KCL方程为

I 1 -I 2 -I 3 + I 4 =0。

KCL不仅适用于电路中任一节点,也适用于电路中任一假想的闭合面,即通过任一闭合面的电流的代数和也恒为零。这里的闭合面可看作广义节点。如图2-11a所示有 I 1 + I 2 -I 3 =0,如图2-11b所示有 I =0。

图2-10 单一节点

图2-11 广义节点

【例2-3】 某电路四条支路汇集的一个节点a,指定的电流参考方向如图2-10所示。

1)列出节点电流方程。

2)如已知 I 1 =5A, I 2 =2A, I 3 =-3A,求 I 4

解:

1)根据KCL,以流入节点电流为正,流出为负,对于节点a

I 1 -I 2 -I 3 + I 4 =0

2)将已知电流值代入,即: I 1 =5A, I 2 =2A, I 3 =-3A,可求得

I 4 =-6A

【例2-4】 如图2-12所示电路,试列出节点的电流方程。

图2-12 KCL例图

解: 先任意选定各支路电流的参考方向,并标于图中。

根据KCL列出:

节点a I 2 -I 1 -I 3 =0

节点b I 1 + I 3 -I 2 =0

可以看出上面两个式子是相同的,所以,对于具有两个节点的电路,只能列出一个独立的节点电流方程。同理,对于具有 n 个节点的电路,只能列出 n -1个独立的节点电流方程。因此,电路独立节点数为 n -1个。

3.基尔霍夫电压定律(KVL)

KVL的研究对象为电路中的回路和电压。它指出:对电路中的任一回路,在任何时刻,沿某一方向绕行一周,构成该回路的所有元件(或支路)电压的代数和恒为零。数学表达式为

u =0或 ∑ U =0(直流时)

上式称为KVL方程或回路电压方程。在写电压方程式时,首先需要指定一个回路的绕行方向,凡电压的参考方向与回路绕行方向一致时,该电压前面取“+”号;电压参考方向与回路绕行方向相反时,则前面取“-”号。具体到电阻和电压源时,当电阻上的电流 I 的参考方向与回路绕行方向一致时,电阻上的电压 I R 前面取“+”号;否则取“-”号。当绕行方向的箭头先遇到电压源的正极,电压源的电压前面取“+”号;否则取“-”号。

如图2-13所示,由KVL可得

I 1 R 1 + I 2 R 2 -I 3 R 3 -U S =0

KVL不仅适用于闭合回路,而且可以推广到任意未闭合的回路,在列KVL方程时,只要把开口处两端的电压也列入方程即可。这时KVL多用来计算电路中任意两点间的电压。

图2-14为电路的一部分,在a、b两点处未闭合,则由KVL可得

U ab -U S2 + IR 1 -U S1 + IR 2 =0

U ab = U S2 -IR 1 + U S1 -IR 2

图2-13 闭合KVL例图

图2-14 未闭合KVL例图

【例2-5】 如图2-13所示,已知 R 1 = R 2 = R 3 =4Ω, I 1 =2A, I 2 =3A, I 3 =1A,试求 U S

解: 回路的绕行方向如图2-13所示,由KVL得

I 1 R 1 + I 2 R 2 -I 3 R 3 -U S =0

U S = I 1 R 1 + I 2 R 2 -I 3 R 3 =2A×4Ω+3A×4Ω-1A×4Ω=16V

【例2-6】 求图2-15中各段电路的电压 U ab

图2-15 例2-6图

解: 由KVL适用于未闭合的回路可得

1) U ab =-2A×2Ω+4V=0V

2) U ab =2A×5Ω-2V=8V

【例2-7】 如图2-12所示电路,试列出各回路的KVL方程。

解: 选定回路的绕行方向均为顺时针方向。根据KVL列出

网孔a3b2a: -I 3 R 3 + U S3 -I 2 R 2 =0

网孔a2b1a: I 2 R 2 -U S1 + I 1 R 1 =0

回路a3b1a: -I 3 R 3 + U S3 -U S1 + I 1 R 1 =0

上面三个方程中的任一个方程都可以由其他两个方程导出,因此,只有两个KVL方程是独立的。可以证明,对于具有 b 条支路、 n 个节点的电路,独立回路数为 b -( n -1)个。

在平面电路中独立的回路数等于网孔数,通常选网孔列写回路电压方程。

2.2.2 技能训练:基尔霍夫定律的验证

(续) RcTCjPg/FvVjFAbPyPPf7w+zA5Smguplx+8fW0N5m6Nbc5uNyeTlmbL+CQ7ehv7j



任务2.3
支路电流法与叠加定理

2.3.1 支路电流法

支路电流法是以电路中各支路电流为未知量,然后应用KCL和KVL分别对节点和回路列出所需要的方程组,而后解出各未知支路电流。

支路电流法的解题步骤如下:

①判断电路节点数和支路条数;②标出各支路电流的参考方向;③根据KCL列出 n -1个节点电流方程;④标出电源的参考方向,选取网孔作为独立回路,标出各回路绕行方向,根据KVL列出 b -( n -1)个独立回路电压方程;⑤联立方程,求出各支路电流,若某一电流为负值,说明该电流的实际方向与参考方向相反。

【例2-8】 如图2-17所示,用支路电流法求解各支路电流。其中, U S1 =12V, U S2 =11V, U S3 =7V,电阻 R 1 = R 2 = R 3 =10Ω。

图2-17 支路电流法例图

解: 依据解题步骤:

1)判断电路节点数 n 和支路条数 b

电路节点数: n =2。支路数: b =3。

2)标出各支路电流的参考方向,如图2-17所示。

3)根据KCL列出 n -1个节点电流方程。

对于节点A有: I 3 = I 1 + I 2

4)标出电源的参考方向,选取网孔作为独立回路,标出各回路绕行方向,根据KVL列出 b -( n -1)个独立回路电压方程。

对于左边网孔( U S1 R 1 U S2 R 2 ),列写KVL方程

联立方程,求得: I 1 =0.2A, I 2 =0.1A, I 3 =0.3A。

2.3.2 叠加定理与应用

叠加定理是在线性电路中,有 n 个电源同时作用时,各支路中的电流(或电压)等于各个电源单独作用时在该支路产生的电流(或电压)的代数和。其等效电路如图2-18所示。

图2-18 叠加定理等效电路

下面通过例子来说明叠加定理的正确性。求支路电流 I 1 可用支路电流法,列出的方程组如下

解得

若设

很明显, 是当电路中只有电压源单独作用,电流源不作用时,在第一条支路上所产生的电流,如图2-18b所示; 是当电路中只有电流源单独作用,电压源不作用时,在第一条支路上所产生的电流,如图2-18c所示。由于 的方向与 I 1 的方向相反,因此取负号。

应用叠加定理的步骤:

1)把含有若干个电源的复杂电路分解为若干个电压源和电流源单独作用的分电路。应注意分电路中当一个电源单独作用时,其他电源作零值处理,即电压源用短路代替,电流源用开路代替;原电路中所有电阻,包括电源内阻,都应保留,电阻元件的参数和连接方式不变。

2)标出原复杂电路和分电路中各电流的参考方向。

3)计算各电源单独作用时的电流或电压。

4)将各分电路中相应支路的电流或电压叠加,求其代数和。

使用叠加定理时应注意:

1)只适用于线性电路,该定理不能用于分析非线性电路。

2)在直流电路中,不能用叠加定理直接计算功率。

3)独立电源单独作用是指每次只考虑一个独立电源作用,其余独立电源均置零,即不作用的电压源用短路替代,不作用的电流源用开路替代。电路结构保持不变。

4)可以叠加的量只能是电流或电压。在叠加时要注意各独立源单独作用时所产生的电压分量或电流分量的正负。当电压分量的参考极性或电流分量的参考方向与待求的电压的参考极性或待求的电流参考方向一致时,各分量前面取“+”号,反之取“-”号。

图2-19 叠加定理

5)对于含有受控源的电路,受控源不能视为独立电源,在各独立源单独作用的各电路中受控源都必须像电阻一样保留。

【例2-9】 试用叠加定理求如图2-19所示电路中的电压 U

解: 按叠加定理作出两个电源单独作用时的等效电路如图2-20所示。

图2-20 等效电路

根据图2-20a可得:

根据图2-20b可得:

原电路的电压 U 为: U = U ′+ U ″=2V

2.3.3 技能训练:叠加定理的验证

(续)

2.3.4 拓展:戴维南定理

1.戴维南定理定义

任何一个有源二端网络,总可以用一个电压源 U S 和一个电阻 R S 串联组成的实际电压源来代替,其中:电压源 U S 等于这个有源二端网络的开路电压 U OC ,内阻 R S 等于该网络中所有独立电源均置零(电压源短接,电流源开路)后的等效电阻 R eq U S R S I S R S 称为有源二端网络的等效参数。电压源和电阻串联组成的电压源模型,称为戴维南等效电路,该电阻称为戴维南等效电阻,二端口等效网络如图2-23所示。

图2-23 二端口等效网络

用戴维南等效电路置换单口网络后,对外电路的求解没有任何影响,即外电路中的电流和电压仍然等于置换前的值。

2.戴维南定理应用

应用戴维南定理,关键需要求出端口的开路电压以及戴维南等效电阻。求解步骤如下。

步骤1:求开路电压,利用所学知识,或结合叠加原理。

步骤2:求戴维南等效电阻。

1)串并联法:令独立电源为0,根据网络结构,用串并联法求 R eq

2)外加电源法:令网络中独立电源为0,外加一电压源/电流源,分别如图2-24、图2-25所示,用欧姆定律求 R eq

3)开短路法:原电路不变,将原二端网络端口开路,如图2-26所示,求出开路电压 U oc ;将原二端网络的两个端钮a、b短接,求出 I ab 电流大小。最后通过端口的开路电压 U oc 和短路电流 I ab 之比得出 R eq 的值。

图2-24 外加电压源法

图2-25 外加电流源法

图2-26 开短路法

【例2-10】 如图2-27所示, U S1 =1V, R 2 =2Ω, R 3 =3Ω, R 4 =4Ω, R 5 =5Ω, U S5 =5V, I S6 =6A, R 1 可变,试问: R 1 取值多大时, I 1 =-1A?

解: 采用戴维南定理分析。

1)开路电压 U OC 。将可调电阻 R 1 所在的支路1从图中移去后,电路如图2-28所示。

在外围电路中应用KVL、KCL求得开路电压。

图2-27 例2-10图

图2-28 R 1 支路移去后的电路

2)求戴维南等效电阻。将图2-28中的独立源置零后的电路如图2-29所示。

3)化简电路,如图2-30所示。

图2-29 独立源置零后的电路

图2-30 化简电路 1oJqAE42F3wIVrKFQQxtBp7EDJ4MBUOz0UmHVrj3QJGjculEuQ5hkVW3HogkuaUa



任务2.4
认识正弦交流电

2.4.1 交流电的表示

交流电是指大小和方向都随时间变化的电压和电流,任一瞬间的电压、电流值叫作瞬时值,一般用小写字母 u i 表示。交流电与直流电的区别在于:直流电的方向、大小不随时间变化;而交流电的方向、大小都随时间做周期性的变化,并且在一周期内的平均值为零。

交流电由于其来源不同,形式是多种多样的,包括正弦波、三角波和方波等形式。按正弦规律变化的交流电称为正弦交流电,也称为正弦量。正弦交流电瞬时值表达见式2-1,表示瞬时值随时间变化的图形称为波形图。图2-31为正弦电流波形图,与其相对应的瞬时值表达式为

u t )= U m sin( ωt + ψ u

式中,三个常数 I m ω ψ i 表示正弦电流的特征,称为正弦量的三要素。

图2-31 正弦电流波形图

2.4.2 交流电的三要素

1.频率、周期和角频率

正弦交流电随时间变化的快慢程度可以由频率、周期和角频率来反映。

(1)频率

在单位时间内,交流电周期性变化的次数称为频率,用小写字母 f 表示,单位是赫兹(Hz),常用的频率单位还有千赫(kHz)、兆赫(MHz)。

(2)周期

正弦量是周期性信号,变化一个循环所用的时间称为周期,用大写字母 T 表示,单位是秒(s)。频率与周期互为倒数关系,即

(3)角频率

ω 是正弦量的角频率,也称角速度,指正弦量1s所经历的弧度数。由于正弦量一个周期所经历的电角度是2π弧度,即 ωT =2π,故有

角频率的单位是弧度/秒(rad/s)。频率、周期和角频率从不同的角度反映了同一个问题,即正弦量随时间变化快慢的程度。

2.瞬时值、最大值和有效值

(1)瞬时值

交流电任一时刻的数值称为瞬时值,用小写字母表示,如: u i 分别表示正弦交流电压、电流的瞬时值。式(2-1)为正弦交流电流的瞬时值表达式。

(2)最大值

在电流瞬时值表达式中, I m 是正弦电流 i 在一个周期变化过程中的最大值,是波形的幅值,用大写字母 I 与下标m表示。正弦电压的最大值用 U m 表示。

(3)有效值

交流电的有效值等于该交流电的均方根值,用不带下标的大写字母 U I 表示。若交流电流为正弦量,即

i t )= I m sin( ωt + ψ i

正弦电流的有效值:

同样正弦电压的有效值为

这样正弦交流电的瞬时值表达式又可写为

在工程上,通常所说的正弦电压、电流的大小一般指的是有效值。例如:民用交流电压220V及工业用电电压380V都是指有效值;交流测量仪表指示的电压、电流读数,电气设备与电子仪器的额定电压与额定电流都是指有效值。但是,在选择元器件的耐电压时,应按使用电压的最大值来考虑。

例2-11 】某电容器的耐压值为300V,能否接在有效值为220V的交流电源上使用?

交流电压的最大值

显然电源电压的最大值超过了电容器的耐压值,故不能接在此电源上。

3.相位、初相位和相位差

(1)相位

正弦量的变化进程常常用随时间变化的电角度来反映,式(2-1)中的( ωt + ψ i )就是反映正弦交流电流 i 在变化过程中任一时刻所对应的电角度,这个随时间变化的电角度称为正弦量的相位角,简称相位。

(2)初相位

t =0时对应的相位 ψ i (或 ψ u )称为初相位,简称初相。初相反映了正弦量计时起点的状态,其取值范围规定为| ψ 0 |≤π。选择的计时起点不同,初相位的大小和正负也随之不同。通常规定正弦量由负值变化到正值经过的零值点叫作该正弦量的零点。初相 ψ 0 的正负可以这样确定:如果零点在纵坐标轴的左侧,初相 ψ 0 为正;如果零点在纵坐标轴的右侧, ψ 0 为负。如图2-32所示,电压 u 的初相 ψ u >0,电流 i 的初相 ψ i <0。

图2-32 初相大于零的电压与初相小于零的电流波形

(3)相位差

在同一正弦交流电路中,电压与电流都是同频率的正弦量,分析电路时常常要比较它们的相位之差。图2-32中,设同频率的电压与电流分别为:

u t )= U m sin( ωt + ψ u

i t )= I m sin( ωt + ψ i

则电压与电流之间的相位之差称为相位差,用 φ 表示,即

φ =( ωt + ψ u )-( ωt + ψ i )= ψ u i

可见,两个同频率正弦量的相位差就是它们的初相之差,与时间 t 无关,而且与计时起点的选择无关。当计时起点改变时,它们的相位与初相都随之改变,但二者的相位差保持不变。因此,在分析正弦交流电路时,为了方便起见,往往令电路中某一正弦量的初相等于零,该正弦量叫作参考正弦量。相位差的取值范围与初相的取值范围规定相同,即| φ |≤π。

上述分析中,因 ψ u ψ i ,所以 φ >0,则电压比电流先达到零值或最大值,称电压超前电流 φ 角,或者说电流滞后电压 φ 角。

当两个同频率正弦量之间的相位差为90°时,二者相位具有正交关系;当两个同频率正弦量之间的相位差为零时,二者相位具有同相关系;当两个同频率正弦量之间的相位差为180°时,二者相位关系为反相。

【例2-12】 已知两个正弦量分别为电压 u t )= U m sin( ωt +30°)以及电流 i t )= I m sin( ωt -60°),试问电压与电流的相位差为多少? u i 的相位关系如何?

解: 由题可知 ψ u =30°, ψ i =-60°,由此可得电压与电流的相位差为

φ = ψ u i =30°-(-60°)=90°

说明电压超前电流90°。

【例2-13】 已知同频率的三个正弦电流 i 1 i 2 i 3 的有效值分别为4A、3A和5A,频率为50Hz。如果 i 1 i 2 超前60°, i 2 i 3 超前30°,试任选一个电流为参考正弦量,写出三个电流的瞬时值表达式。

解: 如选择 i 2 为参考正弦量,则 ψ i2 =0; i 1 i 2 超前60°,故 ψ i1 =60°; i 2 i 3 超前30°,所以 ψ i3 =-30°。

这样,三个电流的瞬时值表达式分别为

2.4.3 技能训练:使用示波器观测交流电

(续) 1oJqAE42F3wIVrKFQQxtBp7EDJ4MBUOz0UmHVrj3QJGjculEuQ5hkVW3HogkuaUa

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