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量子计算基于量子力学原理，而量子系统可以用一个复希尔伯特空间（完备的复内积空间）表示。
设L是复数域 C 上的线性空间。如果对于L中的任意两个向量 x 和 y ，都对应着一个复数，则记为〈 x ， y 〉，并且满足以下条件：
（1）共轭对称性，对L中的任意两个向量 x 和 y ，有〈 x ， y 〉=〈 y ， x 〉 ∗ （ ∗ 表示共轭）。
（2）可加性，对L中的任意3个向量 x ， y ， z ，有
（3）齐次性，对L中的任意两个向量〈 x ， y 〉及复数 α ，有
（4）正定性，对L中的任意向量 x ，有〈 x ， x 〉≥0，并且〈 x ， x 〉=0的充分必要条件是 x = 0 ，则〈 x ， y 〉称为L中 x 和 y 的一个内积。定义了内积的复线性空间称为复内积空间。
狄拉克符号是量子力学的基本符号。狄拉克（Dirac）符号又称作bra-ket符号，是于1939年由狄拉克提出的。它有两种类型，一种是右矢|·〉，表示列向量；另一种是左矢〈·|，表示行向量。在此基础上，还可以表示内积、外积、Kronecker积运算，见表2-1。
表2-1 狄拉克符号
需要注意的是，内积空间也可在实数域上定义，这里在复数域上作定义是为了后文描述量子系统。
在经典计算中，信息是以比特（bit）来存储和计算的。一个比特的状态是一个确定的离散值0或1。量子计算的基本单元是量子比特（qubit），又称量子位。量子系统的状态称为量子态（Quantum State），数学上可以用向量形式表示。
量子态空间假设表明，希尔伯特空间中的归一化向量，完备地描述了封闭量子系统的状态。具体而言，一个单量子比特的量子态可以由二维希尔伯特空间H 2 上的一组标准正交基线性表示。
空间H 2 的标准计算基为
任意单量子比特的量子态可表示为标准计算基的线性组合，即
其中， α 和 β 为复数，并且满足归一性〈 ψ | ψ 〉=1，即| α | 2 +| β | 2 =1。复数 α 和 β 被称作概率幅（Probability Amplitude）。
封闭量子系统指的是跟外界没有能量交换和物质交换的量子系统，它的量子态是一个纯态。根据量子力学测量原理，当测量量子态| ψ 〉时，量子态将会以| α | 2 的概率塌缩到状态|0〉，以| β | 2 的概率塌缩到状态|1〉。量子计算机无法准确测量并得到量子比特的 α 和 β 值。
根据系数的归一性，单量子比特上的量子态也可表示为
其中， ω 、 θ 和 φ 都为实数。
由于在态向量的定义中e i ω 是一个没有物理意义的全局相位，不具有任何可观测效应，所以可以将括号外的e i ω 省略，于是可以将式（2-5）改写成如下的形式：
通过式（2-6），单量子比特可以可视化为三维单位球面上的一个点，如图2-1所示，这个球被称为Bloch球。Bloch球是单量子比特状态的几何表示法，不能用于描述多量子比特上的状态。在这样一个球体上经典位只能位于“北极”或“南极”，分别位于|0〉和|1〉的位置，Bloch球表面的其余部分是经典位所无法接近的。一个纯量子位状态（简称纯态）可以用表面上的任何一点来表示。例如，纯态
位于正
y
轴的球体赤道上。
图2-1 Bloch球
一个 n 量子比特的量子态通常可表示为
其中，
α
x
∈
C
且
。
状态| ψ 〉可表示为一个列向量 ψ =[ ψ i ]，并且 ψ i = α x ，其中 i 是 x 的十进制表示。
例如，双量子比特系统具有一组正交基{|00〉，|01〉，|10〉，|11〉}，该系统上任一量子态|
ψ
〉可以表示成|
ψ
〉=
α
00
|00〉+
α
01
|01〉+
α
10
|10〉+
α
11
|11〉，其中
α
00
，
α
01
，
α
10
，
α
11
∈
C
，并且
。
对于 n 阶矩阵 A ={ a ij }和 m 阶矩阵 B ={ b kl }，可定义矩阵的张量积（又称Kronecker积）为
（1）Kronecker积运算满足双线性和结合律：若 A 与 B 是相同维数的矩阵，则有
（2）Kronecker积运算具有混合乘积性质：若在4个矩阵 A 、 B 、 C 和 D 中，矩阵乘积 AC 和 BD 都存在，则有
假设 C 取 A -1 ， D 取 B -1 ，则有
例如，对于一个相互独立的双量子比特系统（没有纠缠），各自作用一个酉算子，有
（3）Kronecker积转置运算符合分配律：若 A 和 B 是两个矩阵，则有
在经典计算中，连线和逻辑门构成了经典计算机线路，其中逻辑门负责处理信息，将信息从一种形式转换为另一种形式。类似地，在量子计算中，量子门用来处理量子态的演化。量子计算是通过在量子位上应用量子门实现的。根据量子力学量子态演化假设，封闭量子系统的状态随时间演化的过程是幺正（Unitary）的。封闭量子系统指的是跟外界没有能量交换和物质交换的量子系统。形式上，量子门可以用幺正算子（或者叫酉算子） U 来表示，即满足 U † U = I ，其中 U † 为酉矩阵 U 的共轭转置， I 为单位矩阵。酉性重要的特性是可逆性，从而量子态是可逆的，因此量子计算是可逆计算。
通常使用的单量子比特门有Pauli-X门、Pauli-Y门、Pauli-Z门、Hadamard门等，其中Pauli-X门用于翻转量子比特的当前状态，Pauli-Z门用于改变量子比特的局部相位，Hadamard门用于将量子比特置为叠加态，它们的矩阵表示如下。
除了作用于单量子比特的量子门外，也有多量子比特门。受控门（CNOT门）是常用的双量子比特门，它有两个输入量子位，一个是控制量子位；另一个是目标量子位。控制量子位的状态决定对目标量子位执行何种操作。当控制量子位是|0〉时，目标量子位不变；当控制量子位是|1〉时，目标量子位翻转。CNOT门的矩阵表示如下。
CNOT门可以看作经典异或门的推广，使| A ， B 〉→| A ， A ⊕ B 〉，即控制量子位和目标量子位做异或操作，并将操作结果存放在目标量子位。
量子电路是由作用在量子比特上的一系列量子门连接而成的结构。量子电路用平行的横线表示，每一条横线表示一个量子比特；用方框表示量子门，将方框置于对应的横线上表示量子门作用于量子位。
Hadamard门和CNOT门的电路如图2-2和图2-3所示。
图2-2 Hadamard门
图2-3 CNOT门
一个简单的量子电路如图2-4所示，表示的是Bell态的制作。假设输入的量子态是|00〉，则输出的量子态为
图2-4 由Hadamard门和CNOT门组成的一个简单量子电路
量子测量由一组测量算子{ M m }描述，其中，测量算子满足归一性方程：
这些算子作用在被测系统状态空间上，角标 m 表示实验中可能的测量结果。若在测量前，量子状态为| ψ 〉，则结果 m 发生的可能性由
给出，测量后得到的状态为
归一性方程保证了所有可能发生的结果的概率和为1，即
密度算子是量子态的另外一种表示，能表示混合态
密度算子为不完全已知的量子态提供了一种表示方式，设可能的量子态为{ ψ i }，量子系统以概率 p i 处在量子态 ψ i ，其密度算子表示为
其中，
。
可以用密度算子描述量子态的演化。设有一个酉算子 U 作用在密度算子 ρ 上，其演化为
也可以用密度算子描述量子态的测量。设有一组测量算子{ M m }，可以计算从初态| ψ i 〉得到结果 m 的概率为
得到的量子态为
因此，由全概率公式
测量
ρ
得到结果
m
的概率为
测量后，得到相应的密度算子 ρ m 为
一个算子 ρ 定义为密度算子，当且仅当满足以下条件时：
（1） ρ 的迹等于1，即tr（ ρ ）=1。
（2） ρ 是半正定算子，即 ρ 的特征值都大于或等于0。
证明： 首先证明必要性。由于 ρ 是密度算子，有
设| φ 〉是状态空间中任意一个向量，有
必要性得证；其次，证明充分性。因为 ρ 是半正定算子，所以 ρ 有谱分解：
其中，
λ
i
是
ρ
的特征值；|υ
i
〉是
λ
i
对应的特征向量。由tr（
ρ
）=1，可知
ρ
的特征值之和为1，即有
。可以将{
λ
i
，|υ
i
〉}看作
ρ
的某个可能的初态及其对应的概率，以概率
λ
i
处于状态|υ
i
〉，因此
ρ
是密度算子。
判断一个量子态 ρ 是纯态还是混合态，只需计算tr（ ρ 2 ）。若tr（ ρ 2 ）=1，则 ρ 是纯态；若tr（ ρ 2 ）＜1，则 ρ 是混合态。
由于
，因此由
可以推导出存在一个
k
。使
p
k
=
1，此时
ρ=|ψ
k
〉〈
ψ
k
|，可知
ρ
是纯态。
基于Pauli算子，定义3种常用的带参数的酉算子。关于
和
轴角度为
θ
的旋转算子（Rotation Operator），定义如下：
设
为三维空间中的实单位向量，可将上述定义推广为关于
角度为
θ
的旋转算子，定义如下：
其中， σ 表示Pauli算子的三元向量（ X ， Y ， Z ）。
任意一个单量子比特酉算子都可以表示成
其中，
α
和
θ
是两个实数；
是三维实单位向量。
单量子比特的 z-y 分解：设 U 是单量子比特上的酉算子，则存在实数 α ， β ， γ 和 δ ，使
由此可定义广义旋转门 U 3 （ θ ， ϕ ， φ ）
其矩阵表示为
约化密度算子是描述复合量子系统的有效工具。假设有两个量子系统Q和R，其状态由 ρ QR 表示，针对量子系统Q的约化密度算子定义为
其中，tr R 是一个算子映射，称为系统R上的偏迹。偏迹定义为
以一个不平凡的例子Bell态为例。Bell态位于双量子比特系统，其密度算子表示为
对该密度算子关于第二量子比特做偏迹运算，得到对第一量子比特的约化密度算子为
由于
，该状态是一个混合态。这表示虽然Bell态的状态是纯态，但对于其中某个量子比特而言，其状态是混合态，并非完全已知。这个奇特性质，即系统的联合状态完全已知，而子系统却处于混合态，这是量子纠缠现象的一个特点。
在经典信息论中，用基于事件发生的概率定义自信息，用基于条件的概率定义互信息，用随机变量的概率分布来定义信息熵。
在定义量子态之间的距离之前，首先回顾经典比特串间的距离，以及两个概率分布之间的距离。
可以用汉明（Hamming）距离来定量表示两个经典比特串间的距离。汉明距离被定义为两个比特串之间不相等比特位的个数。举个例子，比特串001和100之间的距离是2。
在经典信息论中，信源通常被建模为随机变量。随机变量有概率分布，那么如何量化两个随机变量，或者说概率分布之间的距离呢？
设同一个指标集 x ∈ X 下，两个概率分布分别为{ p x }和{ q x }，它们的迹距离为 D （ p x ， q x ），又称柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）距离，定义为
当两个概率分布越接近时，它们的迹距离越小；反之，则迹距离越大。
迹距离满足非负性、对称性和三角不等式。
（1）非负性： D （ p x ， q x ）≥0，其中，等号成立当且仅当对于指标集 X 中任意 x ，有 p x = q x 。
（2）对称性： D （ p x ， q x ）= D （ q x ， p x ）。
（3）三角不等式：设同一个指标集下有3个概率分布{ p x }、{ q x }和{ r x }，则有 D （ p x ， r x ）≤ D （ p x ， q x ）+ D （ q x ， r x ）。
设同一个指标集 x 下，两个概率分布分别为{ p x }和{ q x }，它们的保真度 F （ p x ， q x ）定义为
当两个概率分布越接近时，它们的保真度越大；反之，则保真度越小。当两个概率分布完全相同时，可得
。几何意义上，保真度解释为位于单位球上的向量
和
之间的内积。
保真度满足非负性和对称性，但不满足三角不等式。
（1）非负性：
F
（
p
x
，
q
x
）≥0，其中，等号成立当且仅当向量化的
与
相互垂直。
（2）对称性： D （ p x ， q x ）= D （ q x ， p x ）。
两个量子态有多近？即，如何量化两个量子态之间的距离？常用的量子距离包括量子迹距离和量子保真度，这是经典概念在量子领域的扩展。
设两个相同比特数的量子态 ρ 和 σ ，它们的量子迹距离定义为
其中，矩阵的模具体指
，因为
A
†
A
是半定矩阵，所以可以开平方根。
量子迹距离的度量性质满足非负性、对称性和三角不等式。
（1）非负性： D （ ρ ， σ ）≥0，其中，等号成立当且仅当 ρ = σ 。
（2）对称性： D （ ρ ， σ ）= D （ σ ， ρ ）。
（3）三角不等式：设有3个量子态 ρ ， σ 和 γ ，且满足 D （ ρ ， γ ）≤ D （ ρ ， σ ）+ D （ σ ， γ ）。
开放量子系统相对于封闭量子系统，体现在可能存在环境噪声而对主系统产生一定影响。一个开放量子系统的行为可建模为
其中，运算元
E
k
满足
。如果量子运算保迹，即tr（
ε
（
ρ
））
=
1，则等号成立。原因如下：
设 ε 为保迹量子运算， ρ 和 σ 为两个密度算子，量子迹距离的压缩性（保迹量子运算具有压缩性）表示为
其中，保迹量子运算指对任意密度算子
ρ
都有tr（
ε
（
ρ
））=1，即
。
设两个相同比特数的量子态 ρ 和 σ ，它们的量子保真度定义为
两个量子态越相似，它们的保真度越大；反之，则保真度越小。
量子保真度有一个重要定理——Uhlmann定理：设 ρ 和 σ 为量子系统Q的状态，现引入另一量子系统R，则有
其中，| ψ 〉和| φ 〉表示 ρ 和 σ 在复合系统RQ中的纯化。
证明过程需要知道矩阵的极分解、关于Hilbert-Schmidt内积的Cauchy-Schwarz不等式、迹的循环性质和Schmidt分解，还需要了解写引入额外系统后，原量子态在复合系统上的纯化。
上述定理能直观地得到量子保真度的一些性质。①对称性： F （ ρ ， σ ）= F （ σ ， ρ ）。②上下界范围：0≤ F （ ρ ， σ ）≤1。若 ρ = σ ，则 F （ ρ ， σ ）=1；若 ρ ≠ σ ，则 ρ 和 σ 的任一纯化| ψ 〉和| φ 〉，都有| ψ 〉≠| φ 〉，所以 F （ ρ ， σ ）＜1。 F （ ρ ， σ ）=0，当且仅当 ρ 和 σ 具有正交支集。
迹距离和保真度是密切相关的。在纯态下，迹距离和保真度是等价的。设两个纯态分别为|0〉和cos θ |0〉+e i φ sin θ |1〉，对应的密度算子是|0〉〈0|和cos 2 θ |0〉〈0|+e i φ cos θ sin θ |0〉·〈1|+e i φ cos θ sin θ |1〉〈0|+e 2i φ sin 2 θ |1〉〈1|。它们的保真度是|cos θ |；它们的迹距离是
由此可知在纯态下，迹距离和保真度是等价的。一般情况下，迹距离和保真度的关系是
Deutsch问题：阿姆斯特丹的Alice，在从0到2 n -1的数中选择一个数 z ，通过信把它邮寄给波士顿的Bob，Bob计算出某个函数值 f ，不是0则是1，并把它寄回给Alice。Bob保证只用两类函数之一：要么 f （ x ）对所有的 x 是常数函数；要么 f （ x ）是平衡的（balanced），即恰好有一半基数的 x 使函数为1，另一半使函数取0。Alice的目的是用尽可能少的通信，确定出Bob用的是常数函数还是平衡函数。他能做到多快？
通常Alice需要问2 n -1 +1次才能得出结论，但Deutsch算法能更高效地求解以上问题。在两量子比特系统上运行Deutsch算法的量子电路如图2-5所示。
图2-5 两量子比特系统运行Deutsch算法的量子电路
判断该函数是常数函数还是平衡函数，经典方法需要计算2 n -1 +1次，Deutsch算法仅需计算 n 次。
以两量子比特系统为例，设初始态为|00〉，
当 f （0）= f （1）时，测量得到|0〉，函数为常数函数；当 f （0）≠ f （1）时，测量得到|1〉，函数为平衡函数。
判断一个函数的类型，经典方法需要计算2次，Deutsch算法仅需计算1次。