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08 从题海到题根

“题海战术”有广义与狭义的区分。在狭义上,这一词汇的意思是为达成某一任务(多指考试或检测),大量、不受时间和地点限制地做相关习题,并不考虑其质量与效率。在广义上,这一词汇也可引申为依靠数量而非质量取得胜利。

不论是狭义的界定还是广义的界定,我们都不难理解“题海战术”用于教学的情形。事实上,中小学教师对这个词会有更深刻的感受。

时至今日,中小学生课业负担过重的问题并没有得到彻底解决,仍是困扰基础教育发展的一项顽疾。造成这一问题的因素很多,从教育的角度来说,课堂教学效率低,课业负担必然加重。由于应试教育的流弊,课程改革倡导的以学生为主体、转变学生的学习方式等新理念难以推进,一些教师在教学观念、教学方法、教学手段等方面还比较单一、落后,无法适应新课改的要求,还是靠“题海战术”来提高教学质量,造成教师苦、学生累、负担重、效率低的现象。

学校是减负的主体,学校在减负的同时要注意增效才能达到真正意义上的减负:一要培育优质高效课堂,二要优化作业和练习,三要通过课改整体、综合地改进。

要“优化作业和练习”,就不能再依靠“题海战术”。“题海无边,何处是岸?”从某种角度说,我以为“题海无边,题根是岸”。

说到“题根”,在这里很有必要把万尔遐老师的部分研究成果和大家一起分享,万老师在这方面研究了多年,他的研究成果很有借鉴意义。

题根是什么?万老师认为——

题根是个问题:题根不是概念,不是结论,不是一般性的话题、标题、主题。从句法上讲,话题、标题、主题都是陈述句,而题根是个疑问句,它是个问题。

题根是个题目:问题规范化后就是一个题目,就像讲课时的例题,课本上的习题,考卷上的考题,会场上的讨论题或研究题。

题根是题目的根基:题根不是一个孤立的题目,也不是一堆题中的一个单一的个体。它是一个题族的根祖,一个题系中的根基,一个题群中的代表。抓到了一个题根,就等于抓到了这个题族,这个题群,这个题系。

题根有生长性:题根不同于题源,题源那里似乎有现成的题目,只是在源源不断地流出来。而题根不然,在那里,现在不一定有现成的题目,众多的新题目要从题根上长出来。因此题根不是题库而是题圃。

题根有渗透性:题根不刻意对学科内容在形式上覆盖,但着重考虑题根与题根之间自然、深刻、纵横的渗透。因为覆盖的只是一个“平面”,而渗透将得到的一个“三维立体”。因此,题根之前不要考点罗列,以便让题根“自主地”去进行“地下串联”。

题根有实用性:题根在课堂教学中应是课堂“主例”,并成为课堂的“课根”,课堂的其他例题要视作是“主例”的迁移、补充和拓展。题根在考场上应成为“考根”,应与考卷上的板块考题相约、相吻、相关、相近,而不一定要相同。

题根的可接受性:内容在教纲和考纲范围内,难度在中等水平上(0.65)。题根不是高难题(题顶),也不是简答题(题支或题叶)。题根是学生很想得到但又不能伸手而得,是要跳起来摘到的果实。因此,题根在“行文”上要特别讲究科学性与趣味性的结合,使学生在学习中尝到“苦中之乐”。

想必读者已经初步感受到“题根”之大意了,我这里再举一个数学的例子,让大家再具体体验一下,其他学科可类比思考。

游戏引入:①全班学生每人任意写下一个真分数;②分子、分母分别加上一个正数;③新分数与原分数的大小关系怎样?

学生结论:一个真分数的分子和分母分别加上一个正数后其值增大。

引出问题:已知: a b m ∈R + ,且 a < b ,求证:

一题多解的教学价值:

第一节课,师生共同探讨了分析法、综合法、求差比较法、求商比较法、反证法进行证明,课堂练习之后,再探讨放缩法、构造函数法、增量法进行证明。这节课的作业是“研究本题的第九种新证法”,学生可独立思考也可集体攻关。

第二节课,让有新证法的学生讲新证法,师生又共同探讨了定比分点法、斜率法、三角法、几何模型法新证法,课堂练习之后,继续探究,师生又得到用正弦定理法、相似三角形法、换元法、双换元法、综合法及放缩法、定义域及值域法的新证法,让学生感受到“柳暗花明又一村”。这节课的作业是“研究本题的第二十种新证法”,学生可独立思考也可集体攻关。

第三节课,老师问学生:有谁还能再开动脑筋、挖掘潜能,探寻新证法,老师继续引导学生探索用椭圆离心率法、双曲线离心率法、函数图象法、两直线位置关系法、矩形面积法、定积分法进行证明,全班沸腾了!这节课的作业是“在未来的日子里,研究本题的第二十六种新证法”,学生可独立思考也可集体攻关。

这道题让学生“透视”一个简单不等式问题背后博大精深的“世界”,学生在探索新证法的过程中进一步体会到数学知识之间的联系,启迪学生更深刻地“悟道”数学解题的奥妙与真谛。

一题多变的教学价值:

师生共同探索“变式”,层层深入,共变出8个新的命题,最后一个是:

a i b i ∈R + i =1,2,…, n

“真过瘾!”这是学生们用换元法或增量法证得“猜想”成立时发出的感叹。

一题多用的教学价值:

利用本题的结论“借题发挥”,可解决多个数学问题,其中包括某年高考最后一题所要证的不等式:

(1+1)( )( )…( )> n ∈N, n ≥2)。

当学生得知他们无意中解决了高考“压轴题”时,先是目瞪口呆,继而露出会心的微笑。他们感觉到了自身的力量,进一步增强了学好数学的信心。 SRcazx6K00ILC1T08GT9JN5XMt8vN/nwBaFbuEdm7K7Ap6MRzpDhIkxEgVYNxtni

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