(一)集合 A 与集合 B :
设 A 是以 3 为首元素的奇数集,有序有穷,记作:
得集合 B ,记作:
( N 为自然数集,下同)
则有集合 A 、 B 的元素一一对应。
(二) A 数列与 B 点列:
把 A 集全体元素,从左至右依序递增排列成一行,即为一个以 3 为首项,以 2 l +1为尾项的奇数数列,见下:
3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,………,2 l + 1.
称 A 数列,其中 l ∈ N 。
把 B 集元素,从左至右依序递增排列成一行,如下:
0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1……… b l
以上共个 l 点位 b l = f ( a l ) l ∈ N
称 B 点列。
A 数列的“项”与 B 点列的“点”仍有一一对应。
(三)逆向的 A 数列、 B 点列:
已知 A 数列与 B 点列,是集合 A 、 B 的元素自左向右依序递增排列成一行。如果把集合 A 、 B 的元素逆向(自右向左)依序递增排列成一行,称为逆向的 A 数列、 B 点列,记作 、 。
已知 A 数列的项与 B 点列的点一一对应;则 数列的项与 点列的点也一一对应。
(四) A 与 相加:
把 A 与 数列排成上下两行,数值相加,见下:
A 2( l +2),........,(同一偶数共 l 项)........,2( l +2)
当两数列的项上下对齐数值相加,结果为 l 项数值均为 2( l +2)的偶数列,记为 。
(五) B 与 叠合:
把 B 与 点列排成上下两行“叠合”,以 l = 32 为例:
两点列叠合成一个新的点列,记为 B 点列。
所谓叠合: B 、 两点列上下对齐的点,互相“叠起来重合”。
叠合规则:0 + 1= 1,1+ 0 = 1,1+ 1= 1,唯 0 + 0 = 0。
(六) 与 相关:
因为 偶数列的每一项均为偶数 2( l +2),所以在 点列上无论白点、黑点,它们相对应的奇数值之和均为偶数 2( l +2)。
由此可以推出:
①若 存在一个白点。根据叠合规则,唯 0 + 0 = 0;则该白点必由其点位上的、原先分属 B 和 的两个白点叠合而成。
②而“原先分属 B 和 的两个白点”,其相应奇数项必为质数。
③又因 的所有项均为偶数 2( l +2),上述两质数之和也必为 中的一项。所以,该两质数之和等于偶数 2( l +2)。
④因 l ∈ N ,故 2( l +2)可表为一个充分大的偶数。
⑤所以有:一个点列长度为 l 的 ,如果存在一个白点。一个2( l +2)的偶数就可以表为 2 个质数之和,其中 l ∈ N 。
不过事实上,必须证明 点列≥ 2 个白点。为什么?
实例说明,把下面 l = 12 的奇数列 A 与 相加:
就是 12 个相同的偶数,即 2( l +2)= 2(12+2)= 28。
相应的把 l =12 的 B 与 两点列叠合,见下:
B 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1
可见叠合后的 排列形状左右对称。如最左边的一个白点表示5+23,最右边的一个白点则表示 23+5;但这两个白点只是一个哥德巴赫数。故欲命题得证, 至少必须有≥ 2 个白点。
综上所述,当 l ∈ N ,2( l +2)即为一个充分大_的偶数。 l 每次取值,除可得到一个偶数,必对应存在一个长度为 l 的 点列。
则证明 点列的白点数≥ 2,等价于证明猜想命题。
已知 B 点列是 B 与 的叠合, 与 B 的区别仅排列方向相反;则探究 B 点列的构造乃为首选。
原以为,草根的叠合方法难登数学大雅之堂。但读了张景中的书“形形式式的加法”一节后,深感宽慰。原来它就是“加法群”:满足定义之结合律、交换律和有零元素。而未设“有负元素”,一是无此需要,二是叙述起来还有点烦。
所以“遣词造句”时,称点列的加法为“叠合”。