前言

有人云：一个人的故事只是故事，一千个人的故事就是历史。此话若可当真，那么发生在几十年前的至今余温尚存的哥德巴赫猜想热，就是我国业余数学爱好者证明世界数学难题的一段数学史，尽管是数学野史。

作为该历史事件的万千名参与者之一，我愿自称“草根”、“菜鸟”，唯独对“民科”的称呼，不以为然。因为说到草根，毋庸讳言，无论中外，人数一般多而滥，且一向不招人待见，还一定都自以为是。而“以为然”的即便是专业人士，表面自持甚高，但其实腹中珠玑有限；且不论嘲讽非应有之义，他们里边能使用数学语言为草根解释常识性疑问的，窃以为至今一个也未曾见。

一、什么常识性的疑问？

1978 年 8 月 18 日《光明日报》刊登了王元的一篇文章，题目也叫《哥德巴赫猜想》。其中有一段话这么说：

我国数学家华罗庚早在 20 世纪 30 年代就开始研究这一问题，得到了很好的成果，他证明了对于“几乎所有”的偶数，猜想（1）都是对的。

当时，第一反应是具有冲击性的惊奇！怎么连华罗庚都已做过的数学题目也可以不算数？刹那间，下意识其实已做了反证：如果算数，何来徐迟的文章？

因此一心想知道为什么不算数？不算数的地方在哪里？草根、菜鸟能看懂吗？还有王元、陈景润作为华罗庚的学生，他们的证明哪怕至今还差一步，为什么凡是做过的又都可以算数的呢？

不久陆续读到了包括王连笑的科普书《从哥德巴赫猜想谈起》在内的一些文章，似乎知道了一个大概：

华罗庚在 1938 年，证明了命题（1）对几乎所有的偶数都成立。就是命 M （ x ）表示不超过 x 而又不能表示成为两个素数之和的偶数（即非哥德很巴小赫数的，）用的极个限数来（表又示称，例就外可集以合写）为，他证明了 M 。（ x 也）不就很是大几，乎比所起有 x 的来偶数是都是哥德巴赫数。换句话说，使命题（1）成立的偶数出现的概率为 1。

经反复揣摩，毛病应该是在取极限的概率上。王元在 1958 年证明了：偶数=（2+3）；1962 年又证明了：偶数=（1+4）；一直到 1973 年陈景润证明了：偶数=（1+2）。老师把着关，当然不会重蹈自己的复辄，所以他们做过的都算数。

最初的强烈色彩虽已逐渐褪去，但更深的疑问，或者说更大的好奇，始终挥之不去：为什么就不能取极限？为什么就不能与概率沾边？可笑自已那时甚至还想到了“阴谋论”。

合乎情理的常识性疑问，长期无人作答，称为“缄默”。

王连笑他们没有明说，当然也不回答为什么。但无论如何，多亏读了他的书，令我有了早期的“免疫力”。

直到 2009 年读到了张景中的书《数学与哲学》，称“醍醐灌顶”也并不过分，实在是相见恨晚！尤其在读到书中第七章【是真的，但又不能证明】时，真的惊出了一身冷汗。

此乃平生第一次读到的不可思议的数学定理——哥德尔定理：“在包含了自然数的任一形式系统中，一定有这样的命题，它是真的，但不能被证明”。接着又说：“哥德尔定理表明，‘真’与‘可证’是两回事。从道理上想，倒也可以理解。比如哥德巴赫猜想……”。还有：哥德尔接着又证明了一个定理：“任何包含了自然数的形式系统，如果它是协调的，那么它的协调性不可能在系统之内得到证明”。

尽管仍未回答“为何不算数”的疑问，但真的像是开了一扇窗，令我大有所悟。由此引发的疑问是：

难道 1938 年的华罗庚会不知道 1931 年的“哥德尔定理”？

二、菜鸟的领悟？

根据哥德尔的第一定理，愚以为：其不算数的原因就在于证明中采用了 x →∞并取极限的数学运算。这就掉入了哥德尔定理的“陷阱”，即其指称的“包含了自然数的任一形式系统”。

虽然哥德尔定理并非针对哥德巴赫猜想，不过据说哥德尔本人确实说过与哥德巴赫猜想有关的话：

湖南科学技术出版社《不完备性》[美]丽贝卡·戈德斯坦著，唐璐译的一书，第 100 页：他（注：即哥德尔）一直等到总结讨论就快要结束的时候，然后在一句简短而直接的话里提到，有可能存在不可证但却为真的算术命题，此外他还证明（注：原文如此）了：

（假定古典数学具有[形式]一致性）甚至能举出按内容

[事实上]为真但在古典数学的形式系统中却又不可证命题

（也的确有像哥德巴赫和费马这种类型）的例子。

如若这种菜鸟级的领悟成立，就容易解释网上网下所发表的证明文章，为何极大多数都不算数。因为全国东西南北中的文章作者们，无论原创还是传统，几乎都不约而同地掉入了哥德尔定理所指称的“陷阱”。回过神来，在家中翻出秦正党所赠的《三证哥德巴赫猜想》共 50 页的小册子，在第40 页，也见到了使用极限运算来证明命题，所以也不能算数了。

我最早是在上海图书馆读到秦正党的书《试证哥德巴赫猜想》，很厚，中英文双语出版。主动联系后得知：他 1949 年毕业于上海交大航空系，毕生从事国家的航空事业，退休前后才落“草”为“根”。虽然他的论文较难看懂，但在我的心目中是一位值得敬重的前辈先行者。他最早以“立此存照”的方式走在众多草根前面，给了我坚持到底的信心。

后来从浦东图书馆还陆续读到过：唐国胜《用分层对应筛法对“哥德巴赫猜想”的证明》、乔鸿彬《正奇数为素数的判断方程——哥德巴赫猜想的证明》、陈礼《素数逐次排除法》等等。多数似懂非懂，但知道了“哥德尔定理”后，只要翻到后面看一看：有没有文字或符号，表示当某变量要趋于无穷大而取极限？如果有，就不算数了。可惜他们均中了哥德尔定理的“招”。

据王连笑说，源自古希腊数学家埃拉托色尼的筛法，它是先设定一个不大于 N 的自然数 n ，然后再对 n 进行讨论，那 x 肯定在 n 中。这才明白哥德尔定理奈何它不得的原因。如果令 x →∞并取极限那就不但与前面 x 限定小于 n 的这个设定相悖，而且概率论是研究或然性的数学模式，不适合证明数论命题。

上述菜鸟式的“自圆其说”未必精准，可我还想进而再问：这些频频“中招”的现象，难道是一个无迹可寻的谜吗？

不是。张景中在书中第六章【数是什么】，从数学史的角度作了令我信服的回答：“ 以希尔伯特为领袖的形式主义学派，对近代数学产生了最大影响”。“希尔伯特的两个目标虽然落空，但是将数学形式化的基本思想作为一种原则几乎被广泛接受”。

正因为此，1938 年的华罗庚不可能不受到“以希尔伯特为领袖的……最大影响”。其实一篇论文不算数，学术上是极平常的事情。大名鼎鼎的法国数学家柯西在 1857 年还曾代表法国科学院，承认自己 10 年前对费马大定理的证明不算数，尽管只是间接承认。

从 1938 年起过了四十年，对中国的广大草根而言，他们是在“将数学形式化的基本思想作为一种原则几乎被广泛接受”，而又在不知道哥德尔定理，或者在未与证明联系起来的情况下失败的，属高等级的错误，虽败犹荣也。

三、欲借“点猜想”，助草根之我张目：

所谓“点猜想”是一道平面几何题，从 1893 年后开始流传，四十多年后才被证明。据 1983 年上海教育出版社《计数》（黄国勋、李炯生著）一书介绍：这件事表明，寻找一种优美的（可能看起来是简单的）解题技巧，有时比掌握一种复杂的（甚至还是深奥的）数学工具更为困难。

同时窃以为，证明“点猜想”的就是草根。理由一：佚名；理由二：“只涉及极少数的数学”。此外，这位草根应该不是中国人，因为当时的中国，尚无适合草根生存的环境。而现今的中国，不但草根总体的素质不逊于他国，还有数量肯定是世界第一。

在我国这段历时至今的数学野史中，除了数学家张景中开哥德尔定理之窗，透进一缕纯数学的阳光，整个“后徐迟时代”的混沌局面并未有所改观。

据数学史上的“无限猴子定理”，个别草根能证明猜想是接近于零的小概率事件。但数量高居世界第一、成千上万个比猴子要聪明千百倍的草根，时间长达几十年的研究，难道绝无“靠谱”的个案之可能？难道“愚者千虑必有一得”之古训真可以不屑一顾？

在《数学与哲学》第 91 页，张景中说：

“于是我们希望证明它，发现一个共同的理由来说明它应当可以表为两个素数之和”。即“一个有限的统一证明”。

拙著《点列三章》正试图发现这个理由并给予证明。

又及，西蒙·辛格（外国科普作家）把数学论文中的错误，形象地分为：瑕疵、裂缝、裂口、大深沟、地狱五个等级。反躬自忖，全文瑕疵、裂缝在所难免；若有裂口、大深沟、地狱，最有可能依次出现在：第一章§5，第二章§3，第三章§4。交代已毕，谨望细察。

词曰：

奇数偶数自然数，质数就是素数。

哥德巴赫有猜想，二百七十年，至今未拿下。

殿堂学者差一步，凡夫俗子争抢。

如此尴尬不待讲。菜鸟留雁声，总比缄默强。