4.6 双筋矩形截面的正截面受弯承载力计算

4.6.1 双筋矩形截面的形成及纵向受压钢筋的强度设计值

当单筋截面梁不满足第一个适用条件（x≤ξ _b h ₀ ），而截面高度又受到使用要求的限制不能增大，同时混凝土强度等级也不宜再提高时，可采用双筋截面。即在截面的受压区配置纵向钢筋以补充混凝土受压能力的不足。在一般情况下采用双筋截面是不经济的，应该避免。

双筋截面也可能在另一种情况下出现，即受弯构件在不同的荷载组合情况下产生变号弯矩，如在水平荷载作用下的框架横梁。这是为了承受正负号弯矩分别作用时截面出现的拉力，须在截面的顶部和底部均配置纵向钢筋，因而形成了双筋截面。此外，受压钢筋的存在可以提高截面的延性，因此，抗震设计中要求框架梁必须在受压区配置一定比例的纵向钢筋。

双筋截面相当于在单筋截面的基础上通过增配受压钢筋和增加与其对应的受拉钢筋来承担在单筋截面基础上所增加的一部分弯矩。试验研究表明，只要满足ξ≤ξ _b 的条件，双筋梁就仍然具有适筋梁的塑性破坏特征，即受拉钢筋首先屈服，然后经历一个或长或短的变形过程，受压区混凝土才被压碎。因此，在进行抗弯强度计算时，受压区混凝土仍可采用等效矩形应力图形和换算的弯曲抗压设计强度α ₁ f _c 。在此，我们遇到的唯一的新问题就是如何确定受压钢筋的抗压设计强度 。

试验表明，当梁内适当地布置封闭箍筋（图4.22）从而在侧向约束了受压钢筋时，受压钢筋就不会过早向外屈服凸出，能够与受压混凝土共同变形，直到混凝土压碎为止。受压钢筋合力点到构件受压边缘的距离为

式中c——混凝土保护层厚度；

d——受压钢筋直径。

因此，当受压边缘的极限压应变取为ε _cu 时，根据各构件的受压区高度，即可按几何关系求出受压钢筋合力点处混凝土纤维的压应变 。由于受压钢筋的应变与同一高度的混凝土纤维应变相等，即 ，故受压钢筋所能发挥的强度为

如果认为最不利的情况是受压区按矩形应力分布图形计算时的换算受压区高度只有

即理论受压区高度只有

则从如图4.23所示可知

这也就是当受压区混凝土压碎时，处于最不利情况下的受压钢筋所能发挥出的应变值。于是，相应的应力为

因此，可按以下原则确定钢筋的抗压设计强度：

①由于钢筋的抗拉屈服强度与抗压屈服强度相等，故当钢筋的抗拉设计强度f _y 小于或等于式（4.40）中求得的400 N/mm ² 时，就取钢筋的抗压设计强度等于其抗拉设计强度，即

这意味着钢筋在达到应变0.002之前就已受压屈服。

②当钢筋抗拉设计强度大于400 N/mm ² 时，取钢筋的抗压设计强度为

这意味着虽然钢筋的抗压屈服强度较高，但在最不利情况下，当受压区混凝土压碎时，其强度只能发挥到400 N/mm ² 。

4.6.2 基本计算公式

在考虑了受压钢筋参加工作后，就可得出如图4.24（a）所示的双筋矩形截面抗弯强度计算的应力图式。由平衡条件即可写出以下基本公式：

式中 ——钢筋的抗压设计强度；

——受压钢筋的截面面积；

——受压钢筋的合力点到截面受压边缘的距离。

其他符号同前。

双筋截面受弯矩承载力可视为两项之和，并取极限状态，即

M=M _u1 ＋M _u2

式中M _{u 1} ——压区混凝土与部分受拉钢筋截面A _{s 1} 所提供的相当于单筋矩形截面的受弯承载力［图4.24（b）］，可写为

M _{u 2} ——受压钢筋 与部分受拉钢筋A _{s 2} 所提供的受弯承载力［图4.24（c）］，可以写为

受拉钢筋总面积为

以上基本公式的适用条件如下：

①为防止出现超筋破坏，应满足

或

或

②为保证受压钢筋达到规定的抗压设计强度，应满足

或

在实际设计中，若不能满足式（4.50）的要求，即 时，近似取 （即 _γ sh ₀ ＝h ₀ - ），这意味着受压钢筋的合力点与混凝土受压区的合力点相重合（图4.25）。如对受压钢筋合力点取矩，即可得出这种情况下形式更为简单的正截面抗弯强度计算公式为

还须指出的是，从理论上说，根据式（4.43）通过配置受压钢筋 和与它对应的受拉钢筋A _{s 1} ，可把截面的抗弯强度提高到任意需要的数值。但配置的受压钢筋过多，将使钢筋排列过分拥挤，难以保证施工质量，而且不经济，因此根据设计及施工经验应将双筋截面中的钢筋用量控制在合理的范围之内。

双筋截面中的受拉钢筋通常面积较大，因此，一般没有必要对是否满足最小配筋率进行验算。

4.6.3 双筋矩形截面正截面受弯承载力的截面设计方法

（1）截面设计

在进行双筋截面设计时可能遇到以下两种情况：

①已知设计弯矩M、材料强度等级f _c ，f _y 及 和截面尺寸b，h，要求确定所需的受压和受拉钢筋，即 和A _s 。

为了判断是否需要配置受压钢筋，先计算 ，如α _s ≤α _smax ［α _{s max} ＝ξ _b （1-0.5ξ _b ）］说明不需要配置受压钢筋，可按单筋矩形截面计算A _s ；如α _s ＞α _{s max} ，说明计算上需要配置受压钢筋。这种情况下，在两个基本方程中有3个未知数，即 ，A _s 和x。因此，可以有各种不同的解。这时理论上应根据使钢筋面积（A _s ＋ ）为最小的原则来进行。设f _y = ，由基本公式可得

将上式对ξ求导，令d（A _s ＋ ）/dξ=0，可得

显然，上式必须符合ξ≤ξ _b 的条件，但按上式得出ξ＞ξ _b 时，应取ξ=ξ _b 。对于常用的HRB400钢和一般的 比值情况下，0.5（1＋ ）≥ξ _b ，故实用上为了便于记忆并简化计算，可直接取ξ＝ξ _b ，即取 ，相应的 。

M _{u 1} 确定以后，则M _u 2=M- M _{u 1} ，由式（4.47）得

总的受拉钢筋面积为

②已知设计弯矩M、截面尺寸b，h、材料强度等级f _c ，f _y 及 和受压钢筋面积 ，要求确定受拉钢筋面积A _s 。

这种情况下，为了使总用钢量最小，应首先利用给定的、已经设在截面内的受压钢筋 ， 所提供的承载力为

设计弯矩值中的其余部分应由单筋矩形截面提供，故

计算得

如α _s ＞α _{s max} ，说明给定的 尚不足，需按 未知的第1 种情况计算 及A _s ；如α _s ≤α _{s max} ，由α _s 利用式（4.38）可求得γ _s ，这时应验算条件式（4.50b），如 ，则

全部受拉钢筋面积为

如 ，可近似取 ，按式（4.51）计算A _s ，即

（2）截面复核

已知截面尺寸b，h，材料强度等级f _c ，f _y ， 和钢筋用量 及A _s ，要求复核截面的抗弯强度。此时应首先利用式（4.46）求出A _{s 2} ，并用式（4.47）计算出相应的M _{u 2} 。由A _s 减去A _{s 2} 得A _{s 1} ，然后即可按复核单筋截面的同样步骤求得M _{u 1} 。将M _{u 1} 与M _{u 2} 相加即可得出截面所能承担的弯矩M _u 。若算得 ，则应改按式（4.51）统一计算截面所能承担的弯矩M _u 。若出现x＞ξ _b h ₀ 的情况，说明截面已属超筋。可近似用式（4.34）计算M _{u 1} ，即

把M _{u 1} 与前面算得的M _{u 2} 相加，即可求得截面所能承担的弯矩M _u 。

例4.3 已知梁截面尺寸为b=200 mm，h=450 mm（图4.26），混凝土强度等级选用C30（f _c =14.3 N/mm ² ），钢筋选用HRB400级（ ＝ 360 N/mm ² ）。若梁承受的设计弯矩为M=230kN·m，试计算截面配筋。

解 1）验算是否需要采用双筋截面

因设计弯矩值较大，预计钢筋需排成两排，故取h ₀ =450 mm-65 mm=385 mm根据式（4.34），单筋矩形截面所能承受的最大弯矩为

其中，ξ _b 由表4.1查得。计算结果表明需要采用双筋截面。

2）确定A _{s 1}

为使钢筋总用量最少，可令x=ξ _b h ₀ ，于是

3）确定A _{s 2}

由受压钢筋及相应的受拉钢筋承担的弯矩为

因此所需受压钢筋面积为

与其对应的那部分受拉钢筋面积为

4）求A _s

受拉钢筋总面积为

5）实际选用受压钢筋2 18（ ＝ 509 mm ² ）

受拉钢筋6 22（A _s =2281 mm ² ）。截面配筋如图4.26所示。

例4.4 已知数据同例4.3（图4.27）。此外，还已知梁的受压区已配置受压钢筋3 20（ ＝ 941 mm ² ），试求受拉钢筋面积A _s 。

解 1）求M _{u 2}

充分发挥受压钢筋 的作用，于是

2）由弯矩M _{u 1} 按单筋矩形截面求A _{s 1}

根据a _s 由附表22查得

3）受拉钢筋总面积为

实际选用3 22＋3 20（A _s =1140mm ² ＋941mm ² =2081mm ² ）

截面配筋如图4.27所示。

比较以上两例可知，由于例题4.3充分利用了混凝土的抗压能力，其计算总用钢量A _s ＋ ＝2173mm ² ＋491mm ² =2664mm ² ，比例题4.4中A _s ＋ ＝1910mm ² ＋942mm ² ＝2852mm ² 较为节省。 slLY+PNSWhJRLGmIBbTWNu3DiXM0BTbhCkwRV9ZIxj/WoGdnseCM2YrshNI0SNY/