4.4 正截面承载力计算的基本假定及应用

4.4.1 正截面承载力计算的基本假定

①构件正截面在弯曲变形后依然保持平面，即截面中的应变按线性规律分布。

②不考虑截面受拉区混凝土承担拉力，即认为拉力全部由受拉钢筋承担。

③当混凝土的压应变ε _c ≤ε ₀ 时，应力与应变关系曲线为抛物线；ε _c＞ ε ₀ 时，应力与应变关系曲线为水平线，其极限压应变取ε _cu ，相应的最大压应力为σ ₀ （图4.14）。如图4.14所示的混凝土应力应变曲线的数学表达式可写为

当0≤ε _c ≤ε ₀ 时

当ε _0＜ ε _c ≤ε _cu 时

式中f _c ——混凝土轴心抗压强度设计值；

ε _c ——受压区混凝土压应变；

σ _c ——对应于混凝土压应变为ε _c 时的混凝土压应力；

ε ₀ ——对应于混凝土压应力刚达到f _c 时的混凝土压应变，当计算的ε ₀ 值小于0.002时，应取为0.002；

ε _cu ——正截面处于非均匀受压时的混凝土极限压应变，当计算的ε _cu 值大于0.0033时，应取为0.0033；正截面处于轴心受压时的混凝土极限压应变应取为0.002；

f _cu ——混凝土立方体抗压强度标准值；

n——系数，当计算的n值大于2.0时，应取为2.0。

④钢筋应力σ _s ，取等于钢筋应变ε _s 与其弹性模量E _s 的乘积，但不得大于其设计强度f _y 。这意味着钢筋取用如图4.15所示的理想化应力应变曲线，其数学表达式为

当0≤ε _s ≤ε _y 时

当ε _s＞ ε _y 时

式中σ _s ——受拉钢筋拉应力；

ε _s ——受拉纵筋拉应变，纵向受拉钢筋极限拉应变取为0.01；

E _s ——钢筋弹性模量；

f _y ——钢筋设计强度。

还须指出的是，在图4.14中，混凝土的最大应力取f _c ，因为在受弯构件的受压区中，混凝土的应变并非均匀分布，其中的最大应力并不等于混凝土棱柱体轴心受压时的最大应力，但是为了计算方便考虑差值较小仍用f _c 。

4.4.2 受压区混凝土应力的计算图形

以单筋矩形截面为例，根据上述4项基本假定就可得出截面在承载能力极限状态下，也就是第Ⅲ阶段末的应变分布和应力分布，如图4.16所示。此时截面受压边缘达到了混凝土的极限压应变ε _cu ，若假定这时截面受压区高度为x _c ，则受压区某一混凝土纤维的压应变为

受拉钢筋的应变为

受压区混凝土压应力的合力C为

分别将式（4.2）、式（4.3）代入式（4.11），并取ε ₀ =0.002，ε _cu ＝ 0.0033，n=2（C50以下混凝土，y=ε _c ）积分可得

适筋梁破坏时，受拉钢筋应力已达到屈服强度。钢筋承受的总拉力T为

由水平平衡条件，即C=T的条件，可求得受压区高度x _c 为

由图4.16，根据弯矩平衡，即 ＝ 0，可有

将式（4.14）中的x _c 代入式（4.15），并以受拉钢筋所承受的拉力表示，可有

利用公式（4.16）虽然可计算出截面的抗弯强度，但计算过于复杂，在实际设计工作中，特别是采用手算时难以接受。国内外规范多采用将压区混凝土应力图形化为等效矩形应力图形的实用计算方法。因为从承载力设计角度来看，确定受压区的实际应力分布图形的意义并不大，而更加关心的问题是受压区应力图的合力及其作用点。其具体做法是采用如图4.17所示的等效矩形应力图形来代替二次抛物线加矩形的应力图形。其条件如下：

①等效矩形应力图形的形心位置应与理论应力图形的总形心位置相同，即压应力合力C的位置不变。

②等效矩形应力图形的面积应等于理论应力图形（二次抛物线加矩形）的面积，即压应力合力C的大小不变。

当符合上述两个条件时，应力图形的代换就不会影响抗弯强度的计算结果。

为了推导出如图4.17（b）所示的理论应力分布图形和如图4.17（c）所示的换算矩形应力分布图形之间的具体关系，假定图4.17（b）中的理论受压区高度为x _c ，而图4.17（c）换算受压区高度为x，并假定x=βx _c ，则要满足条件①，从式（4.12）及图4.17不难看出，有

再假定矩形应力分布图形的压应力值为α ₁ f _c ，则要满足条件②，可有

又由式（4.12）知，得

于是

为了简化计算，《规范》中建议采用为

式中β ₁ ——当混凝土强度等级不超过C50时，取β ₁ =0.8；当混凝土强度等级为C80时β ₁ 取0.74，其间按线形内插法取值；

α ₁ ——当混凝土强度等级不超过C50时，取α ₁ =1；当混凝土强度等级为C80 时α ₁ 取0.94，其间按线形内插法取值。

这样，就可以根据如图4.17（c）所示单筋矩形截面的应力分布规律按照基本平衡条件 写出

C＝T

所以

而截面所能承担的弯矩则为

或

式（4.22）、式（4.23）和式（4.24）即为单筋矩形截面抗弯强度计算的3个基本公式。利用这些公式就可进行受弯构件正截面的强度设计。

4.4.3 相对界限受压区高度

适筋梁与超筋梁的界限为“平衡配筋梁”，即梁破坏时钢筋应力到达屈服的同时受压区混凝土边缘纤维应变也恰好达到混凝土受弯时的极限压应变值ε _cu 。平衡配筋梁中的相对受压区高度即为界限相对受压区高度。

如图4.18所示，设钢筋开始屈服时的应变为ε _y ，则

式中E _s ——钢筋的弹性模量。

设界限破坏时受压区的真实高度为x _cb ，则有

由式（4.21）知，矩形应力分布图形的折算受压区高度x=β ₁ x _c ，即x _b =β ₁ x _cb ，代入式（4.26）可得

设 ，则

当梁相对受压区高度ξ＜ξ _b 时，或ε _s＞ ε _y ，属于适筋梁；若ξ＞ξ _b 时，或ε _s＜ ε _y ，属于超筋梁。

当ξ=ξ _b ，可求出界限破坏时的特定配筋率，即适筋梁的最大配筋率ρ _max 值。在式（4.22）中，以x _b 代x，以ρ _max bh ₀ 代A _s ，则

故

在普通钢筋混凝土结构中，常用钢材的ξ _b 值见表4.2。