2.3 基于概率理论的极限状态设计法

结构必须满足预定的功能要求。设结构的功能函数为Z=g（x ₁ ，x ₂ ，…，x _n ），其中x ₁ ，x ₂ ，…，x _n 为影响结构作用效应和抗力的诸多因素。根据极限状态的定义可得

式中，Z=R- S=0称为极限状态方程。

设S和R均符合正态分布，则Z也符合正态分布，其概率密度函数为f（Z），μ _Z 和σ _Z 分别为功能函数Z的平均值和标准差（或称均方差），μ _R 和σ _R ，μ _S 和σ _S 分别为抗力和效应的平均值和标准差，如图2.2所示。结构设计的目的就是要保证结构具有足够的可靠性，即结构的失效概率足够小。结构的失效概率P _f 可计算为

式（2.7）所表示的失效概率是对R和S联合概率密度的积分。此式，计算失效概率比较麻烦，为此引入可靠指标β为

失效概率P _f 和可靠指标β的关系为

显然，β越大，P _f 越小；反之，P _f 则越大。对于正态分布，P _f 和β的大小关系见表2.4。β可作为衡量结构可靠性的定量指标。

由于R，S都是随机变量，要绝对保证R总是大于S是不可能的，因此只能做到大多数情况下使R≥S，并使R＜S的概率即失效概率P _f 小到人们可接受的程度，这时便认为结构是可靠的。

结构按承载能力极限状态设计时，要保证其完成预定功能的概率不低于某一允许的水平，应对不同情况下的目标可靠指标β值作出规定。结构和构件的破坏类型分为延性破坏和脆性破坏两种。延性破坏有明显的预兆，可及时采取补救措施，所以目标可靠指标可定得低些。脆性破坏通常是突发性破坏，破坏前没有明显的预兆，所以目标可靠指标就应该定得高一些。如表2.5所示的目标可靠指标是根据结构的安全等级和破坏类型，在对代表性的构件进行可靠度分析的基础上，规定的按承载能力极限状态设计时的指标。