3.3
求立体表面上点、线的投影

确定立体表面上点、线的投影，是后面求截切体与相贯体投影的基础。本节叙述立体表面上求点、求线的方法，并对其可见性进行判别。

3.3.1
平面体上点和直线的投影

点和直线位于立体表面的位置不同，求其投影的方法会不同。因此在求其投影之前应先通过认真看图，明确点和直线的具体位置，并分析点所在平面或直线的空间位置，然后确定合适的求解方法，最后再对求出的点的投影进行标记（若是求直线，只需确定两端点的投影，然后将所求点的同面投影连接成线，并判定可见性，即为该直线的投影；若为曲线，则除确定两端点外，尚需确定适量的中间点及可见与不可见分界点的投影，判定可见性，再行连线）。常见的求解方法有以下几种。

1.位于棱线或边线上的点（线上定点法）

当点位于立体表面的某条棱线或边线上时，可利用线上点的“从属性”直接在线的投影上定点，这种方法即为线上定点法，亦可称为从属性法。

例3.1：M，N分别是立体表面上的两个点。已知M点的正面投影m'，N点的水平投影。试求点M，N的另外两面投影，如图3.16所示。

读图及分析：由基本体的投影特征“三三为锥”可知，图3.16所示的是一正三棱锥，点M和N分别是其棱线SA和SB上的点。本例中正三棱锥的棱线SA是一条一般位置直线，其上的M点的水平和侧面投影可直接利用从属性求出。而梭线SB是侧平线，必须先求出N点的侧面投影，然后再求出它的正面投影；或者利用比例法直接求出其正面投影。

求解：如图3.16（b），（c）所示。

（1） 过m'作铅垂线与直线SA的水平投影：a相交于m点，过m'水平线与直线SA的侧面投影S"a"相交于m'，m，m"即为棱线SA上点M的水平与侧面投影。

（2） 过n作水平线与45度斜线相交，过此交战作铅垂线与直线SB的侧面投影S"B"相交于n"过n"作水平线与直线SB的正面投影面s'b'相交于n'，n'、n"即为标线SB上点N的正面与侧面投影

2.位于特殊位置平面上的点（积聚性法）

当点位于立体表面的特殊位置平面时，可利用该平面的积聚性，直接求得点的另外两个投影，这种方法称为积聚性法。

例3.2：已知立体表面上直线MK的正面投影m'k'，试作直线MK的水平投影mk和侧面投影m"k"，如图3.17所示。

读图及分析：由基本体的投影特征“梯梯为台”可知，图3.17所示的是一四棱台。图中直线MK的投影m'k'是可见的，因此可判定该直线在台体前面的棱面上。因M点在棱线上，可利用从属性求解；而K点所在的表面是一侧垂面，其侧面投影具有积聚性，因此求解时应先利用所在表面的积聚性求出K点的侧A投影k"，然后再求其他投影。

求解：如图3.17（b）所示。

（1） 利用“线上定点法”（“从属性法”）过，m'作水平直线和铅垂直线分别与四棱台的另两投影交寸m，m"。

（2） 利用“积聚性法”过K作水平直线与四棱台的侧而投影相交于K"再由点的投影规律，求出K点的水平投影k。

（3） 连接mk，m'k'，m"k"即为直线MK的投影

3.位于一般位置平面上的点（辅助线法）

当点位于立体表面的一般位置平面上，因所在平面无积聚性，不能直接求得点的投影，而必须先在一般位置平面上做辅助线（辅助线可以是一般位置直线或特殊位置直线），求出辅助线的投影，然后再在其上定点，这种方法称为辅助线法

例3.3：已知，该立体表面点K的正面投影K'，试求其水平与侧面投影k，k"，如图3.17所示。

读图及分析：读图3.18可知，该立体是一正三棱锥，点K的正面投影可见，K点在棱锥左棱面上，因为左棱面是一般位置平面，其投影无积聚性，所以求点时需要用辅助线法

求解：如图3.18（a）所示，常用的辅助线法有两种。

A：连接锥顶S和待求点K，交底边AB于M点，SM（一般位置直线）即为所作的辅助一。

B：过待求点K作底边AB的平行线KN交棱线SA于N点，此时KN（特殊位置直线）为辅助线。

具体作图步骤如图3.18（b）（c）所示。

3.3.2
曲面体上点和直线的投影

与平面立体一样，曲面立体上求点和直线的投影也有如下几种方法。

1.线上定点法（从属性法）

当点或线位于曲面立体的轮廓素线上时，可利用“线上定点（从属性）法”求解。

例3.4：如图3.19（a）所示，已知立体表上的点K的正面投影K'，求其另外两面的投影k、k"。

读图及分析：山“圆圆为球”几r知，该立体为一球体，K点在其侧视方向的轮廓素线上。根据线上定点法，其投影一定在相应的轮廓素线的投影上

求解：如图3.19（b）所示，过K'点根据“高平齐、宽相等”即可求得K点的另两投影k、k"。

2.积聚性法

当点或线所在的立体表面有积聚性时，可利用“积聚性法”求解。

例3.5：如图3.20（a）所示，已知圆柱表面上线段AB的正面投影a"b"，求其另外两向上的投影。

读图及分析；由题意及图3.20（a）可知，线段AB是一段位于前半个圆柱面h 的椭圆弧。而求曲线的投影需要求出一系列的特殊点（本题中的A、B、C点）和中间点（D，E点）。因为该圆柱面的侧面投影积聚为圆，故线段AB的侧而投影就是在此圆上的一段圆弧。

求解：如图3.20（b）所示。

（1） 先在圆柱的正面投影图L标出特殊点a'、b'、c'和中间点d'、e'。

（2） 利用所在圆柱面的积聚件，分别过a'、b'、c'、d'、e'作水平线与圆柱的侧面投影。交于a"、了”、c"、d"、e"。

（3） 由“长对正、宽相等”作出对应的水平投影a、b、c、d、e。

（4） 光滑地连接abcde并判别其可见性（以C点为界，ADC段为可见画成实线，而CEB段为不可见画成虚线），即得曲线弧AB的水平投影。

3.辅助素线或辅助纬圆法

当点或线所在的曲面立体表面无积聚性时，则必须利用“辅助线法”求解，如位于圆锥（圆台）的锥面上的点或线，可利用辅助素线或辅助纬圆法；而位于圆球的球面上的点或线可利用辅助纬圆法。

例3.6：如图3.21所示，已知圆锥上点K的正面投影k'求其另两面上的投影。

读图与分析：由图可知，点K在圆锥体的左前1/4圆锥面上。因圆锥面无积聚性，故应用辅助素线或辅助纬圆法。

求解：如图3.21（b）所示。

（1） 连接s'k'并延长交底面圆周于l'， s'l'即为辅助素线SL的正面投影。

（2） 利用“从属性”，求得L点的水平投影1，连接S1，即得SL的水平投影。

（3） 由“长对正”，求得K点的水平投影k。

（4） 由“宽相等、高平齐”，求得K点的侧面投影k"。因K点在圆锥的左前表面上，故k，k"均可见。

例3.7：如图3.22（a）所示，已知球面上K点的正面投影k'，求其另两面投影k，k"。

读图与分析：由图3.22（a）可知，点K在球体的左上前1/8球面t=o可过K点可作一水平纬圆，该纬圆的正面投影积聚为一水平线；而水平投影为一反映实形的圆，点K到球竖直轴线的距离即为该圆的半径。

利用辅助纬圆法的求解步骤如图3.22（b）所示。

（1） 过K点水平直线与圆球的轮廓线相交，求得纬圆的半径。

（2） 在水平投影图上作圆球轮廓线的同心圆（纬圆）。

（3） 根据“长对正”，在纬圆求出K点的水平投影k。

（4） 由点的投影规律求得k"。

该题也可以用平行于侧面的辅助圆作图，可以自行分析。

总结

本章主要讲解了基本体投影图的特征及画法，基本体表面上点与线的求法，如线上定点法、积聚性法、辅助线法。这几种画法在工程图中是较为常见的，所以要把握并要能够灵活的应用。

作业

根据立体图，补全投影图中的图线作组合三视图，如图3.23所示。

扩展练习

正确识别下列图的投影关系，如图3.24所示。