2.5
平面的投影

2.5.1
平面的表示法

1.用几何元素表示平面

用几何元素表示平面有5种形式。

（1） 不在同一直线上的三点，如图2.24（a）所示。

（2） 直线和直线外一点，如图2.24（b）所示。

（3） 平行两直线，如图2.24（c）所示。

（4） 相交两直线，如图2.24（d）所示。

（5） 任意平面图形，如三角形、多边形、圆形等，如图2.24（e）所示。

在上述5种形式中，采用较多的是用平面图形来表示一个平面。而平面图形的投影就是组成该平面图形的各线段投影的集合。

2.用迹线表示平面

平面可以理解为是无限广阔的，这样的平面必然会与投影面产生交线。平面与投影面的交线称为迹线。

设空间一平面P，它与H面的交线称为水平迹线，用马表示；与V面的交线称为正面迹线，用P。表示：与W面的交线称为侧面迹线，用Pw表示，如图2.25所示。

2.5.2
各种位置平面的三面投影

按其在三投影面体系中所处的位置，空间平面可分为3种：投影面平行面、投影面垂直面和一般位置平面。前两种又称为特殊位置平面。

1.投影面平行面

与一个投影面平行，而与另两个投影面垂直的平面为投影面平行面。投影面平行面可分为以下几种（见表2.3）。

（1） 水平面—与if面平行，与V， W面垂直。

（2） 正平面—与V面平行，与H， W面垂直。

（3） 侧平面—与W面平行，与V， H面垂直。

投影面平行面的投影特性（“一框两线”）如下：

（1） 在所平行的投影面上的投影反映实形。

（2） 另两投影均积聚为一直线，且分别平行于它所平行的投影面上的两轴。

2.投影面垂直面

与一个投影面垂直，而与另两个投影面倾斜的平面为投影面垂直面。投影面垂直面可分为以下几种（见表2.4）。

（1） 铅垂面——与H面垂直，与V，W面倾斜。

（2） 正垂面——与V面垂直，与H，W面倾斜。

（3） 侧垂面——与W面垂直，与V，H面倾斜。

投影面垂直面的投影特性（“一线两框”）如下：

（1） 在所垂直的投影面上的投影积聚为一直线。

（2） 另两投影均为小于实形的类似图形。

3.一般位置平面

与三个投影面都倾斜的平面为一般位置平面（如图2.26所示）。

一般位置平面的投影特性（“三框”）：三面投影均为小于实形的类似形。

2.5.3
平面上点和直线的投影

平面上的直线；直线在平面上的几何条件如下：

（1） 通过平面上的两点。

（2） 通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。

1.平而上的点

点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。

在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决二类问题：判别已知点、线是否属于已知平面，完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影。

2.平面上的投影面的平行线

平面上的投影面平行线的投影，既有投影面平行线具有的特性，又要满足直线在平面上的几何条件。

如图2.27（a）所示的直线AB和CD， AB通过平面上的1，II两个点，而CD通过平面上的H点又与平面上的直线JK平行，所以直线AB和〔扣都在P平面上。若一个点在某一平面内的直线上，则该点必定在该平面上，如图2.27（b）所示的点B和点D，其中点B是在直线AC上，而AC在平面Q上；而点D是在平面上直线JK的延长线上，所以点B和点D都在Q平面上。

在平面上取点，首先要在平面上取线。下面举例说明其作图方法。

例2.5：已知三角形ABC的两面投影，如图2.28（a）所示，在三角形ABC平面上取一点K，使K点在A点之下15mm，在A点之前13mm，试求K点的两面投影。

解分析：由已知条件可知K点在A点之下15mm，A点之前13mm，我们可以利用平面上的投影面平行线作辅助线求得。K点在A点之下15mm，可利用平面上的水平线，K点在A点之前13mm，可利用平面上的正平线，K点必在两直线的交点上作图方法与步骤如下及如图2.28（b）所示。

（1） 从a'向下量取15mm，作一平行于ox轴的直线，与a'b'交于m'，与a'c'交于n'。

（2） 求作水平线MN的水平投影mn。

（3） 从a向前量取13mm，作一平行于X轴的直线，与ab交于g，与ac交于h，则mn与动的交点即为k。

（4） 由g，h求g'，h'，则g'h'与m'n交于k'，k'即为所求。

总结

本章主要讲解的内容有，投影的概念、分类及正投影的基本性质、面投影图的形成及投影规律，各种位置点、直线、平面的投影特性及作图方法。投影是建筑工程中最主要的知识点，而投影又是比较难懂的，所以，在日常生活中还要加强练习。

作业

作图题：已知A点（30，20，20）作出其三面投影，如图2.29所示。

扩展练习

根据已学内容，画出如图2.30所示的图的正确投影。

解析图，如图2.31所示。