2.3
点的投影

点是构成线、面、体的最基本的几何元素，因此，掌握点的投影是学习线、面、体投影图的基础。

2.3.1
点的三面投影

1.点三面投影的形成

如图2.12（a）所示，在三投影面体系中，通过空间点A分别向三个投影面作垂线（正投影），垂足a'，a，a"即为点A的三面投影。点的投影依然是点。a'称为点A的正面投影；a称为点A的水平面投影；a"称为点A的侧面投影。

移去空间点A，将三个投影面摊平在一个平面上，便得到点A的三面投影图，如图2.12（b）所示。

用投影图来表示空间点，其实质是在同一平面上用点在三个不同投影面上的投影来表示点的空间位置。

2.点的投影规律（特性）

点的投影规律，如图2.13所示。

2.3.2
点的空间坐标

若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用三个坐标（X、Y、Z）来确定，点的投影就反映了点的坐标值，如图2.12所示。其投影与坐标值之间存在着如下的对应关系。

（1） A点到W面的距离Aa"，称为A点的横坐标，用X表示，即X＝Aa"。

（2） A点到V面的距离Aa'，称为A点的纵坐标，用Y表示，即Y＝Aa'。

（3） A点到H面的距离Aa，称为A点的高坐标，用Z表示，即Z=Aa。

点的一面投影反映了点的两个坐标。已知点的两面投影，则点的X， Y， Z三个坐标就可确定，即空间点是唯一确定的。因此，若已知一个点的任意两面投影，即可求出其第三面投影。

2.3.3
特殊位置的点

位于投影面、投影轴以及原点上的点，统称为特殊位置的点。

各种位置点的投影特点如下。

（1） 空间点。点的X， Y， Z三个坐标均不为零，其三面投影都不在投影轴或投影面上。

（2） 投影面上的点。点的某一个坐标为零，其一面投影与投影面重合，另外两面投影分别在投影轴上。如图2.14（a）所示，点A， B， C分别处于V面、H面、W面上，它们的投影如图2.14（b）所示。

（3） 投影轴上的点。点的两个坐标为零，其两面投影与所在投影轴重合，另一面投影在原点上。如图2.14所示，当点D在OY轴上时，点D和它的水平投影、侧面投影重合于OY轴上，点D的正面投影位于原点。

（4） 与原点重合的点。点的三个坐标均为零，三面投影都与原点重合。

2.3.4
两点的相对位置

1.两点的相对位置

两点的相对位置是指空间两点的上下、左右和前后的关系。可根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）来确定。

（1） 按x坐标判别两点的左、右关系，x坐标值大的点在左。

（2） 按Y坐标判别两点的前、后关系，Y坐标值大的点在前。

（3） 按Z坐标判别两点的上、下关系，Z坐标值大的点在上。

根据一个点相对于另一点上下、左右、前后的坐标差，可以确定该点的空间位置并作出其三面投影。如图2.15所示，A， C两点的相对位置：易>及，因此点A在点C之上；YA>YC，则点A在点C之前；XA<X，点A在点C之右，结果是点A在点C的右前上方。

2.重影点及可见性判别

当空间两点的某两个坐标相同，即位于同一条垂直于某投影面的投射线上时，则这两点在该投影面上的投影重合，此空间两点称为对该投影面的重影点。

从投影方向观看，重影点必有一个点的投影被另一个点的投影遮住而不可见。判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面的投影，坐标值大的点投影可见；反之不可见，不可见点的投影加括号表示。如图2.15所示，A， B两点位于垂直于V面的同一条投射线上（XA=XB I ZA=ZB），正面投影a'和b'重合于一点。山水平投影（或侧面投影）可知Z _A >Z _C ，即点A在点B的前方。因此点B的正面投影b'被点A的正面投影a'遮挡，是不可见的，规定在b'加圆括号以示区别。

2.3.5
点直观图的画法

为了便于建立空间概念，加深对投影原理的理解，常常需要画出具有立体感的直观图。

根据点的投影，画其直观图的方法步骤。

例1.1：已知A（28，O，20）、B（24，12，12）、0（24，24，12）、D（O，0，28）四点，试画出其直观图与投影图。

解分析：由于我们已经把三投影面体系与空间直角坐标系联系起来了，所以已知点的三个坐标就可以确定空间点在三投影面体系中的位置，此时点的三个坐标就是该点分别到三个投影面的距离。

作图：作直观图，如图2.16（a）所示，以B点为例，在ox轴上量取24，OY轴上量取12，0Z轴上量取12，存三个轴上分别得到相应的截取点bx、by和bi，过各截点作对应轴的平行线，则在V、H、W面上分别得到b'，b和b"。自此三投影分别作OX，OY，OZ轴的平行线，交于B点即为其直观图。

同样的方法，可作出点A，C，D的直观图。其中A点在V面上（因为Y _A =0），其正面投影a与A重合，水平投影a在OX轴上，侧面投影a"在OZ轴上。D点在OZ轴上X _D =Y _D ＝0），其正面投影d'、侧面投影d'与D点重合于OZ轴上，水平投影d在原点O处。点B和点C有两个坐标相同（X _B ＝X _C 、Z _B ＝Z _C ），所以它们是对V面的重影点。它们的第三个坐标Y _B <Y _C ，正面投影C'可见，b'不可见，因此应加上圆括号。